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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:22 Mo 20.02.2006 | | Autor: | sara_20 |
| Aufgabe | Seien V und V' Vektorraeume auf Feld K, und N Unterraum von V.
a) Ist die Menge aller linearen Abbildungen [mm] l\in(V,V'), [/mm] so dass Ker(l)=N ist, Unterraum von Hom(V,V')?
b) Zu beweisen ist dass die Menge aller linearen Abbildungen von Hom(V,V') dessen Ker N enthaelt, Unterraum des Raumes Hom(V,V') ist.
c) Sei T der Unterraum von b). Beweise T [mm] \cong [/mm] Hom(V/N,V')
d) Finde dim(T) wenn dimV=n, dimV'=m und dimN=k |
also, bei d) ist es da: dimT=(n-k)*m ???
Die meisten Schwierigkeiten habe ich unter b) und c).
Bei c) weiss ich nicht welches Hom ich defienieren muss, so dass es bijektiv ist. Es ist mir klar dass es von V/N nach V' gehen muss, weiss aber nichts anderes.
Kann mir jemad helfen diese Aufgabe zu verstehen?
Ich habe diese Frage in keinen anderen Foren gestellt. (Bin euch treu.  )
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:06 Mo 20.02.2006 | | Autor: | sara_20 |
Also unter a) und b) habe ich es geschafft zu loesen. Unter a) habe ich zwei Faelle:
der erste Fall ist wenn N=V ist, dann ist O Abbildung, also lineare Abbildung die alle x in 0 abbildet der Unterraum von Hom(V,V').
im zweiten Fall wenn N nicht [mm] \subset [/mm] V ist die Menge T (die Menge aller linearen Abbildungen so dass Ker(l)=N ist) nicht Unterraum von Hom(V,V') denn da ist auch nicht die O-Abbildung (die das neutale Element ist) nicht in T.
b) nun sieht man dass der erste Fall unter a) ein Spezialfall dessen ist.
1) [mm] O\in [/mm] T
2) (f+g)(x)=f(x)+g(x)=0+0=0, also f+g [mm] \in [/mm] T
3) [mm] \alfa \in [/mm] K, [mm] f\in [/mm] T
[mm] \alfa f(x)=\alfa [/mm] *0=0, also [mm] \alfa f\in [/mm] T
Ich hoffe dass ich das richtig gemacht habe.
Habe aber trotzdem Schwierigkeiten bei c)
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Hallo und guten Morgen,
also Dein Argument zu (a) ist richtig.
Zu (b): Ist Unterraum, da er die 0 (Null-Abbildung) enthaelt und abgeschlossen unter + ist
(das hattest Du wohl auch schon geschrieben, nicht wahr ?).
Zu (c) Sei also [mm] T=\{f\colon V\to V'\: |\: f\:\: linear,\:\: N\subseteq \: Kern(f)\}
[/mm]
Beh.: [mm] T\:\cong\: Hom(V\slash [/mm] N,V')
Also dass man auf natuerliche Weise eine Abbildung [mm] T\to\: Hom(V\slash [/mm] N,V') hat, sollte klar sein, oder ?
Denn bezeichne zu [mm] v\in V\:\:\: [v]\: [/mm] die Äquivalenzklasse von v modulo N, d.h.
[v] [mm] :=\{u\in V\: |\: u-v\in N\},
[/mm]
so ist diese Abbildung gegeben durch
[mm] f\mapsto f',\:\; f'\colon V\slash N\to V',\: [/mm] f'([v]) :=f(v)
Diese Abbildung ist wohldefiniert, denn falls [v]=[u] gilt, so heisst das per definitionem nichts anderes, als dass
[mm] v-u\in [/mm] N ist, also f(v-u)=0 und wegen der Linearitaet von f somit f(u)=f(v).
Nun muessen wir zeigen, dass diese Abbildung [mm] {\mathcal F}\colon T\to Hom(V\slash [/mm] N,V') ein Isomorphismus ist.
Sie ist surjektiv:
Sei [mm] F\colon V\slash N\to [/mm] V' eine lineare Abbildung (also ein Element von [mm] Hom(V\slash [/mm] N,V')).
Zu zeigen: Es gibt [mm] f\in [/mm] T, welches unter obiger Abbildung [mm] {\mathcal F} [/mm] auf F abgebildet wird.
Wir definieren [mm] f\in [/mm] T durch
f(v) := F([v]).
Dieses f ist linear, wie man sich leicht klar macht. Es gilt [mm] f\in [/mm] T, denn sei [mm] v\in [/mm] N, dann
ist [v]=[0] und f(v)=F([v])=F([0])= 0 (letzteres die 0 in V').
Es gilt weiter, dass [mm] {\mathcal F}(f)=F, [/mm] denn per definitionem von [mm] {\mathcal F} [/mm] gilt ja
fuer alle [mm] [v]\in V\slash [/mm] N
[mm] {\mathcal F}([v]) [/mm] = f(v) und nach Def. von f gilt f(v)=F([v]), somit insgesamt [mm] {\mathcal F}(f)=F.
[/mm]
Die Abbildung [mm] {\mathcal F} [/mm] ist auch injektiv:
Angenommen [mm] {\mathcal F}(f)={\mathcal F}(g) [/mm] fuer zwei Abbildungen [mm] f,g\in [/mm] T. Zu zeigen: f=g.
Es ist fuer alle [mm] v\in [/mm] V
f(v) = [mm] {\mathcal F} [/mm] (f) [mm] ([v])\:\:\:\: (nach\: Definition\:\: von\:\: {\mathcal F}
[/mm]
= [mm] {\mathcal F} [/mm] (g) [mm] ([v])\:\:\:\: (nach\: Annahme\:\: {\mathcal F}(f)={\mathcal F}(g))
[/mm]
= [mm] g(v)\:\:\:\: (nach\:\: [/mm] Definition [mm] \:\: [/mm] von [mm] \:\: {\mathcal F}(g))
[/mm]
also insgesamt f=g.
Somit ist (c) gezeigt.
Zu (d): Es ist [mm] dim(V\slash [/mm] N)=dim(V)-dim(N) und allgemein
dim(Hom(U,W))= [mm] dim(U)\cdot [/mm] dim(W).
Gruss in die Ferne,
Mathias
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