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| Aufgabe | Es sei V ein K- Vektorraum und S=(v1, v2,
,vn) ein System von Vektoren von V. Zeigen Sie:
Ist S ein minimales Erzeugendensystem von V, so ist S auch ein maximales System linear unabhängiger Vektoren von V. Benutzen Sie für den Beweis NICHT den Begriff der Basis!
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Hallo,
kann mir jemand bei dieser Aufgabe helfen. Mein Problem ist es, nicht den Begriff der Basis zu benutzen.
Es wäre wirklich nett wenn mir jemand helfen könnte... Danke
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Hallo Knöpfchen!
> Es sei V ein K- Vektorraum und S=(v1, v2,
,vn) ein System
> von Vektoren von V. Zeigen Sie:
> Ist S ein minimales Erzeugendensystem von V, so ist S auch
> ein maximales System linear unabhängiger Vektoren von V.
> Benutzen Sie für den Beweis NICHT den Begriff der Basis!
> Mein Problem
> ist es, nicht den Begriff der Basis zu benutzen.
Naja, S ist tatsächlich eine Basis von V, aber das weißt Du ja auch. Gehen wir es mal an: Da S ein Erzeugendensystem von V ist, kann jeder Vektor v [mm] \in [/mm] V als Linearkombination
[mm]v = \summe_{i=1}^{n}\lambda_i v_i[/mm]
mit geeigneten [mm]\lambda_i \in K[/mm], i [mm] \in [/mm] {1, ..., n} dargestellt werden. Angenommen, S wäre kein maximales System linear unabhängiger Vektoren von V, dann gibt es einen Vektor [mm]0 \not= v_{n+1} \in V[/mm], den wir zu S hinzunehmen können und [mm](v_1, ..., v_{n+1})[/mm] bliebe linear unabhängig. Es ist
[mm]v_{n+1} = \summe_{i=1}^{n}\lambda_i v_i[/mm]
mit geeigneten [mm]\lambda_i \in K[/mm], die nicht sämtlich 0 sind, denn [mm](v_1, ..., v_n)[/mm] ist ja ein Erzeugendensystem von V. Damit wäre
[mm]\summe_{i=1}^{n}\lambda_i v_i - v_{n+1} = 0 \gdw \summe_{i=1}^{n+1}\lambda_i v_i = 0[/mm]
und wir hätten eine Linearkombination des Nullvektors aus den [mm] v_i [/mm] gefunden, deren Koeffizienten nicht sämtlich 0 sind. Also wäre [mm](v_1, ..., v_{n+1})[/mm] linear abhängig. Widerspruch!
LG
Karsten
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