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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:59 Sa 22.01.2005 | | Autor: | ThomasK |
Hi
V sei ein K-Vektorraum und [mm] v_{1}, [/mm] . . . , [mm] v_{n} \in [/mm] V . Wir definieren eine Abbildung f : [mm] K^{n} \to [/mm] V durch
[mm] f(x_{1}, [/mm] . . . , [mm] x_{n}) [/mm] := [mm] x_{1}v_{1} [/mm] + . . . + [mm] x_{n}v_{n}.
[/mm]
Zeigen Sie:
(1) f ist eine lineare Abbildung von K-Vektorraumen.
Also muss doch gezeigt werden das,
f(x + y) = f(x) + f(y) und f(ax) = a*f(x)
Also
x = [mm] (x_{1},...,x_{n})
[/mm]
y = [mm] (y_{1},...,y_{n})
[/mm]
d.h.
f(x + y) = [mm] f(x_{1},...,x_{n} [/mm] + [mm] y_{1},...,y_{n}) [/mm] = [mm] x_{1}+v_{1},...,x_{n}+v_{n}+y_{1}+v_{1},...,y_{n}+v_{n} [/mm] = f(x) + f (y)
f(ax) = [mm] f(a*x_{1},...,a*x_{n}) [/mm] = [mm] a*(x_{1}+v_{1}),...,a*(x_{n}+v_{n}) [/mm]
= [mm] a*(x_{1}+v_{1},...,x_{n}+v_{n}) [/mm]
= a*f(x)
stimmt das so?
Thomas
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:28 Sa 22.01.2005 | | Autor: | DaMenge |
Hi Thomas,
leider hast du kleine Fehler eingebaut:
> Also
> x = [mm](x_{1},...,x_{n})
[/mm]
> y = [mm](y_{1},...,y_{n})
[/mm]
>
> d.h.
> f(x + y) = [mm]f(x_{1},...,x_{n}[/mm] + [mm]y_{1},...,y_{n})[/mm] =
> [mm]x_{1}+v_{1},...,x_{n}+v_{n}+y_{1}+v_{1},...,y_{n}+v_{n}[/mm] =
> f(x) + f (y)
Das ist richtig gedacht, aber falsch aufgeschrieben, es sollte so heißen:
$ [mm] f(x+y)=f(\vektor{x_1 \\...\\x_n}+\vektor{y_1\\...\\y_n })=f(\vektor{x_1 +y_1\\...\\x_n +y_n})=(x_1 +y_1 )*v_1+...+(x_n +y_n )*v_n [/mm] $
hier darf man jetzt ausmultiplizieren (in V) und dann sieht man, dass es das gleiche ist wie f(x)+f(y), wenn man die beiden mal nach Definition hinschreibt.
> f(ax) = [mm]f(a*x_{1},...,a*x_{n})[/mm] =
> [mm]a*(x_{1}+v_{1}),...,a*(x_{n}+v_{n})[/mm]
> = [mm]a*(x_{1}+v_{1},...,x_{n}+v_{n})[/mm]
> = a*f(x)
ich weiß leider nicht genau, wo du da einen Denkfehler hast - vielleicht hast du nur falsch kopiert - jedenfalls sollte es so heißen:
$ [mm] f(a*x)=f(\vektor{a*x_1\\..\\a*x_n})=(a*x_1 )*v_1 +...+(a*x_n )*v_n [/mm] $
hier (in V) darf man jetzt überall a ausklammern und erhält deshalb a*f(x), wenn man sich die Definition von f(x) ansieht.
Also : wie gesagt : fast richtig !
viele Grüße
DaMenge
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:03 Sa 22.01.2005 | | Autor: | ThomasK |
Hi DaMenge
Danke für deine Hilfe, ich glaub ich hab das jetzt verstanden.
Ich soll jetzt noch zeigen
f ist genau dann surjektiv, wenn {v1, . . . , vn} ein Erzeugendensystem von V bildet.
Kann mir da jemand weiterhelfen,
surjektiv ist doch wenn zu jeden Punkt vom Urbild mindestens 1 Punkt im Bild gibt, also wenn hier N [mm] \in [/mm] V
[mm] f(x_{1},...,x_{n}) [/mm] = N
ist so richtig und was ist ein Erzeugendensystem?
Thomas
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(Antwort) fertig | | Datum: | 02:22 So 23.01.2005 | | Autor: | Micha |
Hallo Thomas!
Ich hoffe DaMenge ist nicht böse, wenn ich mich an einer Antwort versuche:
> Hi DaMenge
>
>
> Danke für deine Hilfe, ich glaub ich hab das jetzt
> verstanden.
>
> Ich soll jetzt noch zeigen
>
> f ist genau dann surjektiv, wenn {v1, . . . , vn} ein
> Erzeugendensystem von V bildet.
>
> Kann mir da jemand weiterhelfen,
> surjektiv ist doch wenn zu jeden Punkt vom Urbild
> mindestens 1 Punkt im Bild gibt, also wenn hier N [mm]\in[/mm] V
> [mm]f(x_{1},...,x_{n})[/mm] = N
>
> ist so richtig und was ist ein Erzeugendensystem?
>
Ein Erzeugendensystem von V ist eine Menge von Vektoren [mm] $(v_1 \dots v_n)$ [/mm] für die jeder Vektor v aus V dargestellt werden kann als Linearkobination der Vektoren des Erzeugendensystems:
Also: [mm] $\forall_{v \in V} \exists_{\alpha_1 \dots \alpha_n} [/mm] : v = [mm] \alpha_1 v_1 [/mm] + [mm] \dots [/mm] + [mm] \alpha_n v_n$
[/mm]
Das sieht schon sehr verdächtig nach unserer linearen Abbildung aus, nicht wahr?
Und jetzt sollst du zeigen, dass f genau dann surjektiv ist, wenn dieses Erzeugendensystem linear unabhängig ist. Was war linear unabhängig nochmal? Achja: Der Nullvektor ist nur trivial darstellbar mit allen Koeffizienten gleich 0. Mathematisch in Formeln ausgedrückt:
[mm] $(v_1 \dots v_n)$ [/mm] ist linear unabh. [mm] $\gdw$[/mm] [mm]( 0 = \alpha_1 v_1 + \dots + \alpha_n v_n ) \Rightarrow ( \alpha_1 = \dots = \alpha_n = 0 )[/mm]
Glücklicherweise muss man für die Surjektivität von linearen Abbildungen nur zeigen, dass nur der Nullvektor auf 0 abgebildet wird. Wieder in Formeln ausgedrückt:
Aus $f(x) = 0 [mm] \Rightarrow [/mm] x = 0$. Wobei $ x = [mm] (x_1, \dots x_n)$
[/mm]
Diese [mm] $x_i$ [/mm] sind also alle gleich 0...
Nuja ich glaub den Rest kannst du dir allein zusammenbasteln. Einmal den Beweis in die eine Richtung und dann in die andere Richtung halte ich am geeignetsten. Wenn nicht, dann frage noch einmal nach!
Gruß Micha 
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:01 So 23.01.2005 | | Autor: | ThomasK |
Hi Micha
Wie soll man zeigen das: dass f genau dann surjektiv ist, wenn dieses Erzeugendensystem linear unabhängig ist
In der aufgaben stellung steht doch:
wenn [mm] (v_{1},...,v_{n}) [/mm] Erzeugendensystem von V bildet, oder ist das das gleiche?
Thomas
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:41 So 23.01.2005 | | Autor: | Micha |
Hallo!
> Hi Micha
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> Wie soll man zeigen das: dass f genau dann surjektiv ist,
> wenn dieses Erzeugendensystem linear unabhängig ist
>
> In der aufgaben stellung steht doch:
> wenn [mm](v_{1},...,v_{n})[/mm] Erzeugendensystem von V bildet,
> oder ist das das gleiche?
>
Ich fürchte ich muss hier mich korrigieren (man sollte so spät keine Antworten im Matheraum geben)...
Also ein Erzeugendensystem von V ist wie gesagt eine Menge von Vektoren, für die jedes v aus V darstellbar ist als Linearkombination der Vektoren aus dem Erzeugendensystem.
Ist zusätzlich dieses Erzeugendensystem linear unabhängig (das ist gleichbedeutend in dem Fall dass es minimal erzeugend ist), so nennt man dieses Erzeugendensystem eine Basis.
Insofern habe ich den Beweis dafür angerissen, dass es eine basis ist, und kein Erzeugendensystem...
Gruß Micha
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(Frage) für Interessierte  | | Datum: | 13:20 So 23.01.2005 | | Autor: | ThomasK |
Hi Micha
wie kann man sowas für ein Erzeugungsystem lösen?
mfg
Thomas
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