Vektorraum < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Sei x= [mm] \vektor{x_1 \\ x_2 \\ x_n } [/mm] ein Vektor aus [mm] \IR^n (n\ge2). [/mm] Welche der folgenden Mengen sind Untervektorräume des [mm] \IR^n [/mm] ?
a) U :={x [mm] \in \IR^n| x_i [/mm] = 0} für ein fest gewähltes i [mm] \in [/mm] {1, 2, ..., n} |
zu a) Ich überprüfe nun die Kriterien des unterraums:
Da (0, 0, ..., 0) [mm] \in [/mm] U folgt: U [mm] \not= \emptyset
[/mm]
Seien x = [mm] (x_1, x_2, [/mm] ... , [mm] x_n) [/mm] und x' = (x'_1, x'_2, .... x'_n) [mm] \in [/mm] U.
Dann gilt ja: x= (0, 0, ..., 0) und x' = (0, 0, ..., 0). Darau folgt:
x + x' = (0, 0, ...., 0) und deshalb (x+x') [mm] \in [/mm] U
Seien x = (0, 0, ..., 0) [mm] \in [/mm] U und [mm] \lambda \in [/mm] K.
Dann ist: [mm] \lambda*x [/mm] = (0, 0, ..., 0) und daraus folgt: [mm] (\lambda*x) \in [/mm] U
Da jetzt die Kriterien eines Unterraums erfüllt sind, ist U Unterraum von [mm] \IR^n
[/mm]
Kann ich das so begründen oder ist die Begründung falsch oder nicht vollständig genug?
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:43 Fr 14.11.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
Du hast die Aufgabe falsch verstanden!
nur fuer EIN festgewaehltes i ist [mm] x_i=0
[/mm]
also sehen die allgemeinen Vektoren so aus: [mm] (x1,..x_{i-1},0,x_{i+1)..x_n}
[/mm]
Gruss entsprechend laeuft der Beweis, ist aber auch einfach!
Gruss leduart.
|
|
|
| |
|
Achso, ich war mir auch wegen dem [mm] x_i [/mm] unsicher.
Ich habe nämlich noch einen andere Menge, bei der ich auch überprüfen soll, ob sie ein Vektorraum ist. Ich verstehe nicht ganz den Unterschied
V:= {x [mm] \in \IR^n| [/mm] es gibt ein i [mm] \in [/mm] {1, 2, ..., n} mit [mm] x_i [/mm] = 0}
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 23:57 Fr 14.11.2008 | | Autor: | koepper |
Hallo,
> Achso, ich war mir auch wegen dem [mm]x_i[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
unsicher.
>
> Ich habe nämlich noch einen andere Menge, bei der ich auch
> überprüfen soll, ob sie ein Vektorraum ist. Ich verstehe
> nicht ganz den Unterschied
>
> V:= {x [mm]\in \IR^n|[/mm] es gibt ein i [mm]\in[/mm] {1, 2, ..., n} mit [mm]x_i[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
> = 0}
Der Unterschied ist: Bei der vorgenannten Menge war in allen Vektoren eine fest bestimmte Koordinate gleich Null.
Diese hier genannte Menge besteht aus Vektoren, bei denen jeweil irgendeine Koordinate Null ist.
Tipp: Die Lösung dieser Aufgabe hängt von n ab!
LG
Will
|
|
|
| |
|
Habe es nochmal probiert und frage mich jetzt, ob es richtig ist?
zu a)
(0, ..., 0, ...., 0) [mm] \in [/mm] U, also U [mm] \not= \emptyset
[/mm]
Seien v [mm] (v_1, [/mm] ..., 0, ..., [mm] v_n) \in [/mm] U und w [mm] (w_1, [/mm] ..., 0, ..., [mm] w_n) \in [/mm] U
Dann ist (u+w) = [mm] (v_1+w_1, [/mm] ..., 0, ..., [mm] v_n+w_n) \Rightarrow [/mm] (u+w) [mm] \in [/mm] U
Sei v [mm] (v_1, [/mm] ..., 0, ..., [mm] v_n) \in [/mm] U und [mm] \lambda \in [/mm] K.
Dann ist [mm] \lambda*v [/mm] = [mm] (\lambda*v_1, [/mm] ..., 0, ..., [mm] \lambda*v_n) \Rightarrow \in [/mm] U
Also ist U Unterraum.
zu b)
Da (0, ..., 0, ...., 0) [mm] \in [/mm] V, folgt: V [mm] \not= \emptyset
[/mm]
Seien v [mm] (v_1, [/mm] 0, ..., [mm] v_n) [/mm] und w (0, [mm] w_2, [/mm] ..., [mm] w_n) \Rightarrow [/mm] (v+w) [mm] \not\in [/mm] V
Nur wenn [mm] v_i [/mm] = [mm] w_i [/mm] ist (v+w) [mm] \in [/mm] V.
Muss ich jetzt weitermachen oder kann ich sagen, dass es kein Unterraum ist?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:27 Sa 15.11.2008 | | Autor: | koepper |
Hallo,
> Habe es nochmal probiert und frage mich jetzt, ob es
> richtig ist?
>
> zu a)
> (0, ..., 0, ...., 0) [mm]\in[/mm] U, also U [mm]\not= \emptyset[/mm]
>
> Seien v [mm](v_1,[/mm] ..., 0, ..., [mm]v_n) \in[/mm] U und w [mm](w_1,[/mm] ..., 0,
> ..., [mm]w_n) \in[/mm] U
> Dann ist (u+w) = [mm](v_1+w_1,[/mm] ..., 0, ..., [mm]v_n+w_n) \Rightarrow[/mm]
> (u+w) [mm]\in[/mm] U
>
> Sei v [mm](v_1,[/mm] ..., 0, ..., [mm]v_n) \in[/mm] U und [mm]\lambda \in[/mm] K.
> Dann ist [mm]\lambda*v[/mm] = [mm](\lambda*v_1,[/mm] ..., 0, ...,
> [mm]\lambda*v_n) \Rightarrow \in[/mm] U
> Also ist U Unterraum.
>
> zu b)
> Da (0, ..., 0, ...., 0) [mm]\in[/mm] V, folgt: V [mm]\not= \emptyset[/mm]
>
> Seien v [mm](v_1,[/mm] 0, ..., [mm]v_n)[/mm] und w (0, [mm]w_2,[/mm] ..., [mm]w_n) \Rightarrow[/mm]
> (v+w) [mm]\not\in[/mm] V
> Nur wenn [mm]v_i[/mm] = [mm]w_i[/mm] ist (v+w) [mm]\in[/mm] V.
> Muss ich jetzt weitermachen oder kann ich sagen, dass es
> kein Unterraum ist?
die Grundgedanken sehen sehr gut aus, nur die formale Darstellung könnte etwas überarbeitet werden.
Aber was ist los, wenn n=1 ist, dann besteht ja gar nicht die Möglichkeit, daß die Nullen an unterschiedlichen Stellen stehen 
LG
Will
|
|
|
|
