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| Aufgabe | Es sei [mm] \IK [/mm] ein belieber Körper, U , V seien [mm] \IK-Vektorräume. [/mm] Zeigen Sie:
U x V = [mm] \{(u,v) | u\in U, v \in V\} [/mm] ausgestattet mit den komponentenweise definierten Operationen, gegeben durch
[mm] \lambda\*(u,v):=(\lambda\*u, \lambda\*v), [/mm] (u,v)+(u'+v'):=(u+u',v+v'),
ist ein [mm] \IK-Vektorraum. [/mm] (Man nennt ihn das direkte Produkt von U und V.) |
hallo,
leider konnte ich die woche die vorlesung und seminare nicht besuchen.
So dass mit meiner aktuellen Hausarbeit etwas ratlos dastehe.
Vielleicht könnt ihr mir einen hinweis geben, womit ich anfangen kann.
gruß
richard
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Hiho,
wie wärs, wenn du erstmal die Definitionen aufschreibst.
Kannst du sie nicht => nacharbeiten. Ohne wird das nix.
Was ist ein [mm] $\IK$-Vektorraum?
[/mm]
Wenn du das hast, bist du schon so gut wie fertig.
MFG,
Gono.
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hallo gono,
ein vektorraum ist eine Menge V zusammen mit einer Verknüpfung
[mm] +:V\times V\to [/mm] V, [mm] (v,w)\mapsto [/mm] v+w
genannt Addition, und mit einer Abbildung
[mm] \IK\times V\to [/mm] V, [mm] (\lambda,v)\mapsto \lambda\* [/mm] v, genannt skalare Multiplikation, so dass
1) (V,+) eine kommutative Gruppe ist, d.h. es gilt:
i) v+w=w+v
ii) (u+v)+w=u+(v+w)
iii) es gibt [mm] 0\in [/mm] V, so dass v+0=v
iv) zu jedem [mm] v\in [/mm] v existiert -v, so dass v+(-v)=0
2)für alle [mm] \lambda, \mu \in \IK, [/mm] v, [mm] w\in [/mm] V gilt:
i) [mm] (\lambda*\mu)v=\lambda(\mu*v)
[/mm]
ii) 1*v=v
iii) [mm] (\lambda+\mu)*v=\lambda*v+\mu*v
[/mm]
iv) [mm] \lambda*(v+w)=\lambda*v+\lambda*w
[/mm]
ok, und wie kann damit zeigen, dass mein [mm] U\times [/mm] V ein [mm] \IK-Vektorraum [/mm] ist?
gruß
richard
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Hiho,
genau das ist die Definition eines VR, nun musst du nur noch zeigen, dass deine Gegebene Menge all diese Eigenschaften erfüllt.
Rechne das mal nach.
MFG,
Gono.
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hallo gono,
steh noch ein wenig aufm schlauch.
könntest du viel. beispielhaft vorführen, wie ich zeigen kann, dass 1)i (kommutativgesetz) gilt?
vielen dank!
gruß
richard
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Ok, wir nehmen
$(u,v) + (u',v') [mm] \overbrace{=}^{\text{Def}} [/mm] (u + u', v + v') [mm] \overbrace{=}^{\IK \text{ kommutativ }} [/mm] (u' + u, v' + v) [mm] \overbrace{=}^{\text{Def}} [/mm] (u',v') + (u,v)$
MFg,
Gono.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:36 Do 14.01.2010 | | Autor: | tobit09 |
Kleine Korrektur: Statt [mm] $\IK$ [/mm] kommutativ muss es "Additionen von U und V kommutativ" heißen.
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hallo gono,
schönen dank!
werd nun versuchen dass assoziativgesetz zu zeigen:
es gilt (u+v)+w=u+(v+w)
wenn ich u,v,w als einfache Vektoren ansehe kann ich den vorgang nachvollziehen
(u+v)+w=((u+v)+w)=(u+(v+w)=u+(v+w)
wenn ich das aber auf meine definition beziehe, finde ich es gar nicht so klar, was ich tun soll
trotzdem hier mein versuch:
((u,v)+(u',v'))+w=(((u,v)+(u',v'))+w)=((u,v)+((u',v')+w))=(u,v)+((u',v')+w)
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:06 Fr 15.01.2010 | | Autor: | tobit09 |
Hallo Richard,
> ((u,v)+(u',v'))+w=(((u,v)+(u',v'))+w)=((u,v)+((u',v')+w))=(u,v)+((u',v')+w)
Im ersten und letzten Schritt machst du gar nichts, außer ganz außen Klammern zu setzen bzw. wegzulassen. Das ändert überhaupt nichts an der Bedeutung des Ausdrucks. Die mittlere Gleichung ist dann die, die du zeigen sollst. Du hast kein Argument geliefert, warum sie gelten sollte.
Ich erläutere mal das Vorgehen von Gonozal_IX ausführlich:
Zeigen wollen wir, dass für alle Vektoren [mm] $a,b\in U\times [/mm] V$ gilt: $a+b=b+a$. Dazu nehmen wir uns also Vektoren [mm] $a,b\in U\times [/mm] V$. Nach Definition von [mm] $U\times [/mm] V$ haben a und b die Gestalt $a=(u,v)$, $b=(u',v')$ für gewisse [mm] $u,u'\in [/mm] U$, [mm] $v,v'\in [/mm] V$. Nun rechnen wir mal a+b und b+a aus:
Es gilt $a+b=(u,v)+(u',v')$. Rechnen wir nun die rechte Seite aus: Nach Definition der Addition von [mm] $U\times [/mm] V$ gilt $(u,v)+(u',v')=(u+u',v+v')$. Also haben wir berechnet: $a+b=(u+u',v+v')$.
Nun berechnen wir $b+a=(u',v')+(u,v)$. Wieder nach Definition der Addition in [mm] $U\times [/mm] V$ gilt $(u',v')+(u,v)=(u'+u,v'+v)$. Also haben wir berechnet: $b+a=(u'+u,v'+v)$.
Um nun $a+b=b+a$ zu zeigen, müssen wir zeigen, dass $(u+u',v+v')=(u'+u,v'+v)$ gilt. Gleichbedeutend damit sind die Gleichungen $u+u'=u'+u$ und $v+v'=v'+v$. Diese beiden Gleichungen gelten, da die Additionen von U und V kommutativ sind.
Am Ende kann und sollte man dann diese Überlegungen kürzer aufschreiben, wie Gonozal_IX es getan hat:
Seien [mm] $a,b\in U\times [/mm] V$. Dann haben a und b die Gestalt $a=(u,v)$, $b=(u',v')$ für gewisse [mm] $u,u'\in [/mm] U$, [mm] $v,v'\in [/mm] V$. Es gilt $a+b=(u,v)+(u',v')=(u+u',v+v')=(u'+u,v'+v)=(u',v')+(u,v)=b+a$.
Viele Grüße
Tobias
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hallo tobi,
vielen dank für deine ausführliche erläuterung.
die sache mit dem kommutativgesetz hab ich verstanden
hier noch ein versuch, dass assoziativgesetz zu zeigen:
es soll gezeigt werden, dass für alle vektoren [mm] $a,b,c\in U\times [/mm] V$ gilt:
(a+b)+c=a+(b+c)
nach def. haben die vektoren a,b,c die gestalt a=(u,v),b=(u',v'),c=w
ich rechne zuerst (a+b)+c aus:
[(u,v)+(u',v')]+w mit (u,v)+(u'v')=(u+u',v+v') folgt:
(u+u',v+v')+w=(u+u'+w,v+v'+w)
jetzt a+(b+c):
(u,v)+[(u',v')+w]=(u,v)+(u'+w,v'+w)=(u+u'+w,v+v'+w)
ok, ich sehe zwar das (a+b)+c=a+(b+c), aber ich habe kein argument für mein vorhaben gebracht und bin auch gar nicht sicher,ob das so formuliert werden darf.
gruß
richard
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Hallo Richard,
> hallo tobi,
>
> vielen dank für deine ausführliche erläuterung.
> die sache mit dem kommutativgesetz hab ich verstanden
>
>
> hier noch ein versuch, dass assoziativgesetz zu zeigen:
>
> es soll gezeigt werden, dass für alle vektoren [mm]a,b,c\in U\times V[/mm]
> gilt:
> (a+b)+c=a+(b+c)
>
> nach def. haben die vektoren a,b,c die gestalt
> a=(u,v),b=(u',v'),c=w
$c=(u'',v'')$ !!
>
> ich rechne zuerst (a+b)+c aus:
> [(u,v)+(u',v')]+w mit (u,v)+(u'v')=(u+u',v+v') folgt:
> (u+u',v+v')+w=(u+u'+w,v+v'+w)
Wie ist das letzte "+" da in den Komponenten definiert??
>
> jetzt a+(b+c):
> (u,v)+[(u',v')+w]=(u,v)+(u'+w,v'+w)=(u+u'+w,v+v'+w)
>
> ok, ich sehe zwar das (a+b)+c=a+(b+c), aber ich habe kein
> argument für mein vorhaben gebracht und bin auch gar nicht
> sicher,ob das so formuliert werden darf.
Das ist genau der richtige Ansatz, aber c hat doch auch die Gestalt $c=(u'',v'')$ Das musst du schon benutzen...
Rechne damit mal genau wie oben nach.
Und als Argument benutzt du (implizit) die Assoziativität in [mm] $\IR$, [/mm] die nimmst du als selbstverständlich [mm] ($\IR$ [/mm] ist ja ein Körper).
Die Operation "+" wird ja per Definition auf die ganz gewöhnliche Addition in [mm] $\IR$ [/mm] zurückgeschraubt ...
Schreib die Verbesserungen nochmal rein, das hast du's ...
Ist nur Schreibkram, viel denken musst du dabei nicht 
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> gruß
> richard
LG
schachuzipus
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