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Ich verzweifel an folgender Aufgabe:
Es sei V eine Abbildung ([0,1] [mm] ,\IR) [/mm] der [mm] \IR [/mm] Vektorraum der Abbildungen von
[0,1] nach [mm] \IR [/mm] .
Betrachten sie die Abbildungen fj, j [mm] \in \IN [/mm] definiert als
[mm] fj(x)=\begin{cases} 1, & \mbox{falls } x \in (1/(j+1) , 1/j \mbox{ } \\ 0, & \mbox{sonst} \mbox{ } \end{cases}
[/mm]
Zeigen sie, dass fj für j =1,2 , ... n paarwiese linear unabhängig sind für beliebiges n [mm] \in \IN.
[/mm]
Anmerkung: Hieraus folgt sofort, dass V unendliche Dimensionen hat.
Ich weiß überhaupt nicht wie ich an die Aufgabe rangehen muss.
Kann mir da jemand helfen ?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:41 Mi 19.01.2011 | | Autor: | fred97 |
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
> Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise
> auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung
> gefunden (siehe rote Markierung)
>
> Ich verzweifel an folgender Aufgabe:
>
> Es sei V eine Abbildung ([0,1] ,\IR) der \IR Vektorraum der
> Abbildungen von
> [0,1] nach \IR .
>
> Betrachten sie die Abbildungen fj, j \in \IN definiert als
>
>
> fj(x):= { 1 falls x \in (1/(j+1) , 1/j
> 0 sonst.
>
>
> Zeigen sie, dass fj für j =1,2 , ... n paarwiese linear
> unabhängig sind für beliebiges n \in \IN.
> Anmerkung: Hieraus folgt sofort, dass V unendliche
> Dimensionen hat.
>
>
> Ich weiß überhaupt nicht wie ich an die Aufgabe rangehen
> muss.
> Kann mir da jemand helfen ?
Ja, wenn Du es lesbar machst
FRED
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
K
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:44 Mi 19.01.2011 | | Autor: | Loddar |
Hallo Fred!
Ich habe es mal editiert. Hoffentlich auch im sinne des Fragestellers.
Gruß
Loddar
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Vielen Dank.
Jetzt wo es editiert wurde, kann mir da jemand helfen?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:18 Mi 19.01.2011 | | Autor: | fred97 |
Du mußt zeigen: sind [mm] t_1, [/mm] ..., [mm] t_n \in \IR [/mm] und gilt
(*) [mm] t_1f_1+...+t_nf_n=0,
[/mm]
so ist [mm] t_1= ...=t_n=0.
[/mm]
Aus (*) folgt:
(**) [mm] t_1f_1(x)+...+t_nf_n(x)=0 [/mm] für jedes x [mm] \in [/mm] [0,1]
Nun nimm mal $x [mm] \in [/mm] (1/(j+1) , 1/j )$
Was ist dann [mm] f_k(x) [/mm] für k [mm] \ne [/mm] j und was ist [mm] f_j(x) [/mm] ?
FRED
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also das mit t verwirrt mich jetzt total ... das hilft mir nicht wirklich weiter :/
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:09 Mi 19.01.2011 | | Autor: | fred97 |
> also das mit t verwirrt mich jetzt total ... das hilft mir
> nicht wirklich weiter :/
Ohne das "t" gehts aber nicht . Ebenso gehts nicht, wenn man nicht weiß was "linear unabhängig" in einem Vektorraum bedeutet. Mach Dich schlau, dann hilft Dir meine Antwort weiter.
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:23 Mi 19.01.2011 | | Autor: | Marcel |
Hallo Fred,
> > also das mit t verwirrt mich jetzt total ... das hilft mir
> > nicht wirklich weiter :/
>
> Ohne das "t" gehts aber nicht . Ebenso gehts nicht, wenn
> man nicht weiß was "linear unabhängig" in einem
> Vektorraum bedeutet. Mach Dich schlau, dann hilft Dir meine
> Antwort weiter.
oder man nerve den Aufgabensteller, der da irgendwas von "paarweise linear unabhängig" faselt. Das kann man zwar noch einfacher einsehen, dennoch frage ich mich, wie diese(r) dann zu dem Dimensionsargument kommt...
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:33 Mi 19.01.2011 | | Autor: | fred97 |
> Hallo Fred,
>
> > > also das mit t verwirrt mich jetzt total ... das hilft mir
> > > nicht wirklich weiter :/
> >
> > Ohne das "t" gehts aber nicht . Ebenso gehts nicht, wenn
> > man nicht weiß was "linear unabhängig" in einem
> > Vektorraum bedeutet. Mach Dich schlau, dann hilft Dir meine
> > Antwort weiter.
>
> oder man nerve den Aufgabensteller, der da irgendwas von
> "paarweise linear unabhängig" faselt. Das kann man zwar
> noch einfacher einsehen, dennoch frage ich mich, wie
> diese(r) dann zu dem Dimensionsargument kommt...
Hallo Marcel,
Du hast recht . Das "paarweise linear unabhängig" ist mir gar nicht aufgefallen, und damit auch nicht aufgestoßen.
Gruß FRED
>
> Gruß,
> Marcel
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:21 Mi 19.01.2011 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> also das mit t verwirrt mich jetzt total ... das hilft mir
> nicht wirklich weiter :/
weil es um einen [mm] $\IR$-Vektorraum [/mm] geht, ist [mm] $t_i \in \IR$ [/mm] für jedes [mm] $i\,.$ [/mm] Du sollst die lineare Unabhängigkeit nachrechnen, mehr schreibt Fred nicht, wenn er sagt, dass (*) nur dann gelten darf, wenn alle [mm] $t_i=0$ [/mm] sind..
Weil man das skalare Produkt zwischen einer Zahl aus [mm] $\IR$ [/mm] und einer Funktion so definiert, dass eine neue Funktion (mit gleichem Def.- und Zielbereich) entsteht, die aber durch "punktweise normale Multiplikation der Zahl mit dem entsprechenden Funktionswert" entsteht, liefert (*) dann (**) bzw. ist dazu äquivalent.
Wenn man also schon für endlich viele Werte für [mm] $x\,$ [/mm] (des entsprechenden Definitionsbereichs der betrachteten Funktion) schon ein Gleichungssystem (in [mm] $t_1,\ldots,t_n$) [/mm] erhält, welches [mm] $t_1=...=t_n=0$ [/mm] impliziert, so ist man fertig, weil dann auch (*) nur für [mm] $t_1=...=t_n=0$ [/mm] gelten kann.
P.S.:
In der Aufgabe steht was von "paarweise linear abhängig". Irgendwie stört mich das paarweise, denn zum einen glaube ich nicht, dass es hier wirklich "nur" um paarweise lineare Unabhängigkeit geht. Zum anderen frage ich mich, was die Bemerkung dann für einen Sinn hat. Auch im [mm] $\IR^2$ [/mm] (als gewöhnlicher [mm] $\IR$-VR [/mm] betrachtet) kann ich unendlich viele linear unabhängige Vektoren finden, die alle paarweise linear unabhängig sind (Betrachte alle Vektoren auf einem Halbkreis um den Ursprung und entferne mindestens den einen der beiden Vektoren, die auf einer gemeinsamen Geraden liegen!). Dennoch hat der [mm] $\IR^2$ [/mm] als [mm] $\IR$-Vektorraum [/mm] Dimension [mm] $2\,.$
[/mm]
Gruß,
Marcel
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okay.. müsste ich dann:
t1 * (1/ (j+1)+ t1 * (1/ j) = 0
berechnen ?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:46 Mi 19.01.2011 | | Autor: | fred97 |
> okay.. müsste ich dann:
>
> t1 * (1/ (j+1)+ t1 * (1/ j) = 0
>
> berechnen ?
nein. nochmal:
Sei x [mm] \in [/mm] (1/(j+1) , 1/j ).
Berechne den Funktionswert [mm] f_k(x) [/mm] , falls k [mm] \ne [/mm] j ist. Und berchne [mm] f_j(x)
[/mm]
FRED
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also wenn ich für fj(X) einmal 0 und 1 einsetze dann komm ich auf die werte 1 und 1/2
so jetzt sagtest du k ist ungleich j .. und ich soll fk(x) berechnen... aber was ist denn fk(X) :/ sry für diese frage ..
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:55 Mi 19.01.2011 | | Autor: | Marcel |
Hallo Jessica,
> also wenn ich für fj(X) einmal 0 und 1 einsetze dann komm
> ich auf die werte 1 und 1/2
>
> so jetzt sagtest du k ist ungleich j .. und ich soll fk(x)
> berechnen... aber was ist denn fk(X) :/ sry für diese
> frage ..
ich befürchte, dass Dir die ganze Aufgabe nicht klar ist. Man merkt es an Deinem Wortgebrauch, denn es klingt so, als wenn Du mehr oder weniger verzweifelt nach einer Anleitung suchst und versuchst, irgendwas aus dem bisher gesagten zusammenzubasteln.
Wir nehmen mal ein anderes Beispiel, welches Deinem aber sehr ähneln sollte. Wir betrachten die Funktionen
[mm] $$f_j: \IR \to \IR$$
[/mm]
mit
[mm] $$f_j(x):=\begin{cases} 1, & \mbox{für } x \ge j \\0 , & \mbox{für } x < j \end{cases},\;\;\;(x \in \IR)$$
[/mm]
für jedes $j [mm] \in \IN\,.$
[/mm]
Und [mm] $(f_j)_{j \in \IN}$ [/mm] ist eine Familie von Vektoren des [mm] $\IR$-Vektorraums $(V,\oplus,\odot)\,$ [/mm] (man könnte auch sagen: eine Folge in [mm] $V\,$) [/mm] mit
[mm] $$V:=\{f: \IR \to \IR\}\,.$$
[/mm]
Du siehst, dort oben steht "bei dem Vektorraum [mm] $V\,$" [/mm] noch etwas dabei, nämlich zwei Verknüpfungen (und der Körper [mm] $K=\IR\,,$ [/mm] das ist alleine schon wichtig wegen der Verknüpfung [mm] $\odot\,,$ [/mm] siehe unten). [mm] $V\,$ [/mm] besteht aus allen Funktionen [mm] $\IR \to \IR\,.$ [/mm] D.h. hier sind Funktionen die Elemente des Vektorraums, also: Eine Funktion hat hier die Rolle eines Vektors.
Damit es überhaupt Sinn macht, von einem Vektorraum zu sprechen, muss man aber auch wissen, wie denn die Addition [mm] $\oplus$ [/mm] zweier Vektoren und die Multiplikation eines Körperelements (hier ist der Körper [mm] $\IR$ [/mm] bzw. genauer [mm] $(\IR,+,*)$) [/mm] mit einem Vektor [mm] $\odot$ [/mm] definiert sind. Denn bzgl. [mm] $\oplus$ [/mm] und [mm] $\odot$ [/mm] sind ja gewisse Eigenschaften zu prüfen, um zu testen, ob [mm] $(V,\oplus,\odot)$ [/mm] überhaupt einen Vektorraum bildet (vgl. Vektorraumaxiome).
Jetzt haben wir erstmal zwei bzw. drei Dinge zu klären:
1.) Wie können wir die Addition $(f [mm] \oplus [/mm] g)$ zweier Funktionen $f,g [mm] \in [/mm] V$ (bzw. [mm] $\oplus [/mm] (f,g)$ für $(f,g) [mm] \in [/mm] V [mm] \times [/mm] V$) sinnvoll definieren? Ein Kriterium ist ja, dass
[mm] $$\oplus: [/mm] V [mm] \times [/mm] V [mm] \to V\,,$$
[/mm]
d.h. jedenfalls sollte des Ergebnis $(f [mm] \oplus g):=\oplus [/mm] (f,g)$ zweier Vektoren $f,g [mm] \in [/mm] V$ auch wieder ein Element aus [mm] $V\,,$ [/mm] also eine Funktion [mm] $\IR \to \IR$ [/mm] ergeben.
2.) Gleiche Frage bzgl. [mm] $\odot\,.$ [/mm] Allgemein sollte bei einem Vektorraum [mm] $(V,\oplus,\odot)$ [/mm] (hier ist jetzt nicht der spezielle VR der Funktionen wie oben gemeint) dann die Abbildung
[mm] $$\odot: [/mm] K [mm] \times [/mm] V [mm] \to [/mm] V$$
für [mm] $\lambda \in [/mm] K$ und $v [mm] \in [/mm] V$ stets ein Ergebnis [mm] $\lambda \odot [/mm] v$ liefern, so dass [mm] $\lambda \odot [/mm] v$ auch wieder ein Element aus [mm] $V\,$ [/mm] ergibt.
Oben heißt das: Wenn ich einen Skalar [mm] $\lambda \in \IR$ [/mm] mit einem Vektor $f [mm] \in V\,$ [/mm] (hier ist [mm] $V\,$ [/mm] wieder im konkreten Sinne als Menge aller Abbildungen [mm] $\IR \to \IR$ [/mm] gemeint), also mit einer Funktion $f: [mm] \IR \to \IR\,,$ [/mm] multipliziere, so soll das Ergebnis [mm] $\lambda \odot [/mm] f$ wieder in [mm] $V\,$ [/mm] liegen, also [mm] $(\lambda \odot [/mm] f): [mm] \IR \to \IR$ [/mm] bzw. mit anderen Worten: [mm] $\lambda \odot [/mm] f$ soll eine Funktion [mm] $\IR \to \IR$ [/mm] ergeben.
Beachten wir diese beiden ersten Punkte nicht bei der Definition einer Addition [mm] $\oplus$ [/mm] auf $V [mm] \times [/mm] V$ und der einer skalaren Multiplikation [mm] $\odot$ [/mm] auf [mm] $\IR \times V\,$ [/mm] bzw. kontrollieren wir nicht, dass sichergestellt ist, dass die Operationen [mm] $\oplus$ [/mm] und [mm] $\odot$ [/mm] nicht beide aus [mm] $V\,$ [/mm] herausführen, so können wir Probleme bekommen; jedenfalls in Bezug auf die Frage, ob [mm] $(V,\oplus,\odot)$ [/mm] ein [mm] $\IR$-VR [/mm] ist. Wenn sie allerdings beide nicht aus [mm] $V\,$ [/mm] herausführen, dann können wir uns daran machen, weiter zu prüfen, ob [mm] $(V,\oplus,\odot)$ [/mm] ein [mm] $\IR$-Vektorraum [/mm] ist.
Um Dir nicht alles vorzukauen, was Du auch nachlesen oder nachprüfen kannst, gebe ich Dir nun zwei Vorbemerkungen, die dem Verständnis Deiner Aufgabe dienlich sind:
I.) Sei [mm] $V:=\{f: \IR \to \IR\}$ [/mm] und sei die Addition [mm] $\oplus$ [/mm] durch
[mm] $$\oplus: [/mm] V [mm] \times [/mm] V [mm] \to [/mm] V$$
durch
$$(f,g) [mm] \in [/mm] V [mm] \times [/mm] V [mm] \Rightarrow [/mm] f [mm] \oplus g:=\oplus [/mm] (f,g)$$
definiert, wobei
$$(f [mm] \oplus g)(x)=\oplus (f,g)(x):=\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\underbrace{f(x)+g(x)}_{\substack{\text{beachte }f(x), g(x) \in \IR\\\text{ und }+ \text{ sei die Addition reeller Zahlen}}}\;\;\;(x \in \IR)$$
[/mm]
(d.h. die Summe $f [mm] \oplus [/mm] g$ zweier Funktionen wird "punktweise" durch die Summe der Funktionswerte definiert)
und es sei
II.) die skalare Multiplikation [mm] $\odot$ [/mm] durch
[mm] $$\odot: \IR \times [/mm] V [mm] \to [/mm] V$$
durch
[mm] $$\lambda \in \IR \text{ und }f \in [/mm] V [mm] \Rightarrow \lambda \odot v:=\odot (\lambda,f)$$
[/mm]
definiert, wobei
[mm] $$(\lambda \odot f)(x)=\odot (\lambda,f)(x):=\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\underbrace{\lambda*f(x)}_{\substack{\text{beachte }\lambda, f(x) \in \IR\\\text{ und }* \text{ sei die Multiplikation reeller Zahlen}}}\;\;\;(x \in \IR)$$
[/mm]
(d.h. das Ergebnis der Multiplikation eines Skalar [mm] $\lambda \in \IR$ [/mm] mit einer Funktion $f [mm] \in [/mm] V$ wird "punktweise" definiert: Die so entstehende Funktion [mm] $\lambda \odot [/mm] f : [mm] \IR \to \IR$ [/mm] hat die Eigenschaft, dass sie an der Stelle [mm] $x\,$ [/mm] den [mm] $\lambda$-fachen [/mm] Funktionswert von [mm] $f\,$ [/mm] hat, für alle $x [mm] \in \IR$).
[/mm]
Mit diesen so definierten Verknüpfungen [mm] $\oplus\,$ [/mm] und [mm] $\odot$ [/mm] erfüllt [mm] $V\,$ [/mm] die Vektorraumaxiome als [mm] $\IR$-Vektorraum. [/mm] D.h.:
[mm] $$(V,\oplus,\odot)$$
[/mm]
ist ein [mm] $\IR$-Vektorraum. [/mm] Das neutrale Element ist hier gerade die Nullfunktion
$$N: [mm] \IR \to \IR\,, N(x):=0\;\;\;(x \in \IR)\,.$$
[/mm]
Weil man aber $f [mm] \oplus [/mm] g$ in eben so naheliegender Weise definiert hat, schreibt man der Einfachheit halber [mm] $f+g\,$ [/mm] anstatt $f [mm] \oplus [/mm] g$ und analog auch [mm] $\lambda [/mm] *f$ anstelle von [mm] $\lambda \odot f\,.$
[/mm]
Dennoch sollte man sich klarmachen, dass bei [mm] $f+g\,$ [/mm] das [mm] "$+\,$ [/mm] -Zeichen" eine andere Bedeutung wie die des [mm] "$+\,$ [/mm] -Zeichen zwischen [mm] $f(x)+g(x)\,$" [/mm] hat. Das erste steht für eine Addition zweier Funktionen, man hat also eine Abbildung auf $V [mm] \times V\,,$ [/mm] das zweite ist bzgl. der Addition [mm] $+:\IR \times \IR \to \IR$ [/mm] zu verstehen. Wenn aber nichts weiter dabeisteht, ist die Addition zweier Funktionen und die Multiplikation eines Skalaren mit einer Funktion im oben definierten Sinne (bzw. in Analogie dazu) zu verstehen.
Erst, wenn Du das verstanden hast, macht es überhaupt Sinn, Deine Aufgabe zu bearbeiten. Denn ansonsten wird es einfach nur eine Rechnerei nach Anleitung, deren Sinn und Zweck Dir unklar ist, und wo Du die einzelnen Schritte nicht kapierst.
Jetzt kommen wir zur eigentlichen Frage: Schau' Dir die oben definierten [mm] $f_j$ [/mm] an. Ich behaupte nun erstmal "nur", dass für jedes feste $n [mm] \in \IN$ [/mm] die Vektoren [mm] $f_1,\ldots,f_n$ [/mm] linear unabhängig sind (oder eine linear unabhängige endliche Familie [mm] $(f_1,\ldots,f_n)$ [/mm] bilden bzw. dass die Menge [mm] $\{f_1,\ldots,f_n\}$ [/mm] linear unabhängig ist; es gibt mehrere Möglichkeiten, dies sprachlich auszudrücken - was auch von Definitionen abhängen kann).
Was ist denn nun eigentlich zu prüfen? Zu prüfen ist (ich schreibe nun, wie Fred, der Einfachheit halber auch [mm] $t_j\,$ [/mm] für die Elemente/Skalaren [mm] $\lambda_j=t_j \in K=\IR$):
[/mm]
Folgt aus
[mm] $$(\star)\;\;\; t_1*f_1+t_2*f_2+...+t_n*f_n=0$$
[/mm]
schon [mm] $t_1=\ldots=t_n=0$?
[/mm]
Um diese Frage überhaupt zu verstehen, musst Du erstmal verstehen, was denn da oben und in der Gleichung [mm] $(\star)$ [/mm] wirklich steht. Eigentlich steht da:
Folgt aus
[mm] $$(\star)\;\;\; t_1 \odot f_1 \oplus t_2 \odot f_2 \oplus \ldots \oplus t_n \odot f_n=N$$
[/mm]
schon [mm] $t_1=\ldots=0$?
[/mm]
Denn [mm] $\oplus$ [/mm] und [mm] $\odot$ [/mm] sind ja die "Rechen-Operationen bzgl. [mm] $V\,$". [/mm] Und in der letzten Gleichung ist auch etwas wie
"Punktrechnung" [mm] ($\odot$) [/mm] vor "Strichrechnung" [mm] ($\oplus$)
[/mm]
vereinbart, sie ist also so:
[mm] $$(t_1 \odot f_1) \oplus (t_2 \odot f_2) \oplus \ldots \oplus (t_n \odot f_n)=N$$
[/mm]
zu lesen (wegen der Assoziativität von [mm] $\oplus$ [/mm] kann man sich noch weitere Klammern, die man sonst evtl. zu setzen hätte, sparen).
Beachte nämlich: [mm] $(V,\oplus,\odot)$ [/mm] hat als neutrales Element die Funktion $N [mm] \in [/mm] V$ mit $N: [mm] \IR \to \IR$ [/mm] und $N(x) [mm] \equiv 0\,.$
[/mm]
Und nun, endlich, können wir uns mal an die Aufgabe machen:
Nach Definition von [mm] $\oplus$ [/mm] und [mm] $\odot$ [/mm] wissen wir:
Die Gleichung
[mm] $$(t_1 \odot f_1) \oplus (t_2 \odot f_2) \oplus \ldots \oplus (t_n \odot f_n)=N$$
[/mm]
besagt nichts anderes, als dass
[mm] $$(t_1 \odot f_1)(x) \oplus (t_2 \odot f_2)(x) \oplus \ldots \oplus (t_n \odot f_n)(x)=N(x)$$
[/mm]
für alle $x [mm] \in \blue{\IR}$ [/mm] (beachte: [mm] $V=\{f: \blue{\IR} \to \IR\}$) [/mm] gilt.
Nach Definition von [mm] $\oplus\,,$ $\odot$ [/mm] und [mm] $N\,$ [/mm] heißt das nun wiederum nichts anderes, als dass
[mm] $$(\star \star)\;\;\;t_1 [/mm] * [mm] f_1(x) [/mm] + [mm] t_2 [/mm] * [mm] f_2(x) [/mm] + [mm] \ldots +t_n [/mm] * [mm] f_n(x)=0\;\;\;(=N(x))$$
[/mm]
für alle $x [mm] \in \IR$ [/mm] gilt.
(Bei der letzten Gleichung sind nun definitionsgemäß die Rechenoperationen [mm] $+\,$ [/mm] und [mm] $*\,$ [/mm] bzgl. reeller Zahlen (wir rechnen also in [mm] $(\IR,+,*)$) [/mm] gemeint, und die [mm] $0\,$ [/mm] rechterhand ist die reelle Zahl [mm] $0\,.$)
[/mm]
Wenn die letzte Gleichung für alle $x [mm] \in \IR$ [/mm] gelten soll, dann muss sie auch für speziell gewählte $x [mm] \in \IR$ [/mm] gelten. Wir betrachten zunächst [mm] $x=1\,.$ [/mm] Die Gleichung [mm] $(\star\star)$ [/mm] liefert dann gerade
[mm] $$t_1*f_1(1)+t_2*f_2(1)+\ldots+t_n*f_n(1)=0$$
[/mm]
und nach Definition der [mm] $f_j$ [/mm] folgt dann
[mm] $$t_1*1+t_2*0+\ldots+t_n*0=0\,,$$
[/mm]
also wissen wir schonmal
[mm] $$t_1=0\,.$$
[/mm]
Nun betrachten wir in
[mm] $$(\star \star)\;\;\;t_1 [/mm] * [mm] f_1(x) [/mm] + [mm] t_2 [/mm] * [mm] f_2(x) [/mm] + [mm] \ldots +t_n [/mm] * [mm] f_n(x)=0\;\;\;(=N(x))$$
[/mm]
hier die Stelle [mm] $x=2\,.$ [/mm] Dann sehen wir, dass gelten muss
[mm] $$(\star \star)_{x=2}\;\;\;\;\;\;t_1 [/mm] * [mm] f_1(2) [/mm] + [mm] t_2 [/mm] * [mm] f_2(2) [/mm] + [mm] \ldots +t_n [/mm] * [mm] f_n(2)=0\;\;\;(=N(2))\,.$$
[/mm]
Nach Definition der [mm] $f_j$ [/mm] also
[mm] $$(\star \star)\;\;\;t_1 [/mm] * 1 + [mm] t_2 [/mm] * 1 + [mm] t_3*0+ \ldots +t_n *0=0\;\;\;(=N(2))\,,$$
[/mm]
also erstmal "nur":
[mm] $$t_1+t_2=0\,.$$
[/mm]
Jetzt haben wir aber schon mithilfe der Stelle [mm] $x=1\,$ [/mm] erkannt, dass [mm] $t_1=0\,$ [/mm] war, so dass
[mm] $$t_1+t_2=0$$
[/mm]
übergeht in
[mm] $$0+t_2=0\,,$$
[/mm]
also [mm] $t_2=0\,.$
[/mm]
Jetzt führst Du dieses Verfahren so fort und erkennst [mm] $t_1=\ldots=t_n=0\,.$ [/mm]
(Der Grundgedanke war: Wenn [mm] $(\star\star)$ [/mm] für alle $x [mm] \in \IR$ [/mm] gilt, dann auch für jede Wahl eines $x [mm] \in \IR\,.$ [/mm] Wählen wir $x=1 [mm] \in \IR\,,$ [/mm] so liefert dann [mm] $(\star\star)$ [/mm] sodann [mm] $t_1=0\,.$ [/mm] Wählen wir $x=2 [mm] \in \IR\,,$ [/mm] so liefert [mm] $(\star\star)$ [/mm] dann [mm] $t_1+t_2=0\,,$ [/mm] und wegen [mm] $t_1=0$ [/mm] folgt dann auch [mm] $t_2=0\,.$ [/mm] Setzt man in [mm] $(\star\star)$ [/mm] nun speziell [mm] $x=3\,,$ [/mm] so folgt [mm] $t_1+t_2+t_3=0\,.$ [/mm] Aber wir haben schon vorher [mm] $t_1=0$ [/mm] und [mm] $t_2=0$ [/mm] erkannt, so dass dann auch [mm] $t_3=0$ [/mm] folgt. Etc. pp..)
P.S.:
Wenn Du das hier alles im Wesentlichen verstanden hast, dann wird Dir Deine Aufgabe wie ein Klacks mit Soße erscheinen! Ich weiß: Es ist viel Arbeit, dass komplett durchzuarbeiten. Aber es ist wirklich wichtig, sich genau klarzumachen, was man rechnet, "wo" man rechnet (wo spielen sich die einzelnen Rechenoperationen ab!!), was das ganze soll und worauf man eigentlich hinaus will.
P.P.S.:
Wenn man allgmein "linear Unabhängigkeit von Funktionen" zu prüfen hat, so muss man halt entweder, bei Auswahl von [mm] $n\,$ [/mm] beliebigen Funktionen, wobei $n [mm] \in \IN$ [/mm] als beliebig, aber fest anzusehen ist, Stellen [mm] $x_1,\ldots,x_n$ [/mm] so finden, dass das in den Variablen [mm] $t_1\,ldots,t_n$ [/mm] entstehende (homogene) lineare Gleichungssystem nur für [mm] $t_1=\ldots=t_n=0$ [/mm] lösbar ist (wenn das gelingt, so hat man die lineare Unabhängigkeit der Funktionen nachgewiesen); oder aber "man findet für ein $n [mm] \in \IN$ [/mm] eine nichttriviale Linearkombination, die die Nullfunktion ergibt" (dann sind die Funktionen linear abhängig). Bei letzterem sollte es dann durch die Wahl gewisser [mm] $x\,$ [/mm] vielleicht gelingen, eine "Idee" für eine mögliche Linearkombination zu bekommen, um dann die so entstehende Behauptung auch konkret nachweisen zu können. (Evtl. kann man so dann Beziehungen zwischen den entsprechenden [mm] $t_k$'s [/mm] herstellen, die notwendige Bedingungen für eine (konkrete) Linearkombination der Funktionen liefert, so dass diese Linearkombination die Nullfunktion ergibt.)
Gruß,
Marcel
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Sie haben sich wirklich sehr viel Mühe gegeben.. ich bin ihnen wirklich sehr dankbar...
Vom Verfahren her müsste ich genauso vorgehen und zeigen dass t1=..=tn=0 ist.. um die lineare unabhängigkeit zu zeigen..
so aber jetzt stört mich die definition meiner funktion..
da steht ja x [mm] \in [/mm] 1/j+1 , 1/j und j= 1, 2, .. ,n
ich müsste doch so wie sie das gemacht haben eine linearkombination mit lambda ( oder t) aufstellen:
t1*f(x)+...+tn*f(x)=0 -> berechne ich hier einmal z.B. f(1) = 1/ 1+1 =1/2
und 1/j = 1/1 = 1 ? .. tut mir leid, aber ich will es wirklich verstehen.. bitte erklären sie mir das auch noch :/
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:26 Mi 19.01.2011 | | Autor: | Marcel |
Hallo Jessica,
> Sie haben sich wirklich sehr viel Mühe gegeben.. ich bin
> ihnen wirklich sehr dankbar...
da ich Dich duze, darfst Du das bei mir natürlich auch. Ich finde es angenehmer. Wenn es Dir lieber ist, kannst Du mich auch gerne siezen, bedingt aber, dass ich das gleiche dann bei Dir tue.
> Vom Verfahren her müsste ich genauso vorgehen und zeigen
> dass t1=..=tn=0 ist.. um die lineare unabhängigkeit zu
> zeigen..
Im Prinzip ja. Ob "man durch Wahl gewisser [mm] $x\,$ [/mm] einen genauso schönen Algorithmus" bekommt, das ist eher die Frage oder Kunst.
> so aber jetzt stört mich die definition meiner funktion..
>
> da steht ja x [mm]\in[/mm] 1/j+1 , 1/j und j= 1, 2, .. ,n
Du musst da an mehreren Stellen aufpassen.
1.) Du hast nicht eine Funktion, sondern Du hast [mm] $n\,$ [/mm] Funktionen, nämlich (in "aufgelisteter Form")
[mm] $$f_1,\ldots,f_n\,.$$
[/mm]
Diese prüfst Du auf lineare Unabhängigkeit. Dabei ist
[mm] $$f_j(x)=\begin{cases} 1, & \mbox{fuer } x \in \left(\frac{1}{j+1},\frac{1}{j}\right] \\ 0, & \mbox{fuer }x \in \left[0,\frac{1}{j+1}\right] \cup \left(\frac{1}{j},1\right] \end{cases}\,,$$
[/mm]
für [mm] $j=1,\ldots,n\,.$
[/mm]
(Beachte: [mm] $[0,\;\;1/(j+1)] \cup (1/(j+1),\;\;1/j] \cup (1/j,\;\;1]$ [/mm] ist (für $j [mm] \in \IN=\IN_{\ge 1}$) [/mm] eine disjunkte Vereinigung der Menge [mm] $[0,1]=D_{f_j}\,.$)
[/mm]
Ich hoffe jedenfalls, dass nach dem Bruch [mm] $1/j\,$ [/mm] eine solche $]$-Klammer steht. Aber ähnlich sähe das auch aus, wenn da eine [mm] $)\,$-Klammer [/mm] stünde, auch hier unter Beachtung dass im folgenden rechterhand eine disjunkte Vereinigung steht
[mm] $$[0,1]=[0,\;\;1/(j+1)] \cup (1/(j+1),\;\;1/j) \cup [1/j,\;\;1]\,.$$
[/mm]
Hierbei ist für $a,b [mm] \in \IR$ [/mm] dann
[mm] $$(a,b):=]a,b[:=\{x \in \IR: a < x < b\}\,,$$
[/mm]
[mm] $$(a,b]:=]a,b]:=\{x \in \IR: a < x \le b\}\,,$$
[/mm]
[mm] $$[a,b):=[a,b[:=\{x \in \IR: a \le x < b\}\,,$$
[/mm]
sowie
[mm] $$[a,b]:=\{x \in \IR: a \le x \le b\}\,.$$
[/mm]
(Rechterhand kann dabei die leere Menge stehen. In den ersten 3 Definitionen ist das sicher für $a [mm] \ge [/mm] b$ der Fall, in der letzten für $a > [mm] b\,.$ [/mm] Beachte auch [mm] $[a,a]=\{a\}\,,$ [/mm] und es gilt aber etwa [mm] $(a,a]=\emptyset\,.$)
[/mm]
2.) Du solltest also insbesondere darauf achten, Intervalle (bzw. Intervallgrenzen) richtig anzugeben, ohne Intervallgrenzen zu verlieren.
> ich müsste doch so wie sie das gemacht haben eine
> linearkombination mit lambda ( oder t) aufstellen:
>
> t1*f(x)+...+tn*f(x)=0 -> berechne ich hier einmal z.B. f(1)
> = 1/ 1+1 =1/2
3.) Siehst Du hier schon, dass da ein wenig "Unsinn" steht? Denn bei Dir steht
[mm] $$t_1*f(x)+...+t_n*f(x)=0\,,$$
[/mm]
linkerhand steht einzig [mm] $f(x)\,.$ [/mm] Korrekterweise muss da eine Linearkombination der [mm] $n\,$ [/mm] Funktionen [mm] $f_j\,,$ [/mm] für [mm] $j=1,\ldots,,n\,,$ [/mm] auftauchen. Genaugenommen steht da also:
Sei nun
[mm] $$t_1*f_1+\ldots+t_n*f_n=0\,,$$
[/mm]
wobei die [mm] $0\,$ [/mm] rechterhand die Nullfunktion ist; mithilfe der vorangegangenen Notation kann man also [mm] $0=N_{|[0,1]}: [/mm] [0,1] [mm] \to \IR$ [/mm] auffassen.
> und 1/j = 1/1 = 1 ? .. tut mir leid, aber ich will es
> wirklich verstehen.. bitte erklären sie mir das auch noch
> :/
Ich glaube, neben dem ganzen anderen, was ich Dir gesagt habe (lies' es alles nochmal in Ruhe durch, versuch', es nachzuvollziehen und mach' zwischendurch ruhig mal Pausen, um es ein wenig "sacken" zu lassen), machen wir uns erstmal klar, wie die [mm] $f_j$'s [/mm] hier eigentlich aussehen.
Dazu schreibe ich sie mal in eine "Intervallfreie" Form, weil Dir das von der Schule her vielleicht vertrauter ist:
[mm] $$f_j(x)=\begin{cases} 1, & \mbox{fuer } x \in \left(\frac{1}{j+1},\frac{1}{j}\right] \\ 0, & \mbox{fuer }x \in \left[0,\frac{1}{j+1}\right] \cup \left(\frac{1}{j},1\right] \end{cases}$$
[/mm]
besagt nichts anderes, als dass
[mm] $$f_j(x)=\begin{cases} 1, & \mbox{falls } \frac{1}{j+1} < x \le \frac{1}{j} \\ 0, & \mbox{falls } 0 \le x \le \frac{1}{j+1}\text{ oder falls }\frac{1}{j} < x \le 1 \end{cases}\,.$$
[/mm]
Beachte dabei auch, dass bei Eurer Vorgabe ja die [mm] $f_j\,$ [/mm] auf [mm] $[0,1]\,$ [/mm] definiert waren.
Ich bin mir sicher, dass auch diese Form Dir erstmal "fremd" oder "schwer zugänglich" erscheint, weil die Art, wie der Graph jeder Funktion [mm] $f_j$ [/mm] nun aussieht, zwar von [mm] $j\,$ [/mm] abhängt, aber "vielleicht anders, als gewohnt". Würde ich etwa [mm] $p_j: \IR \to \IR$ [/mm] mit [mm] $p_j(x):=x^j$ [/mm] ($x [mm] \in \IR$) [/mm] für jedes $j [mm] \in \IN_0$ [/mm] schreiben, so siehst Du da sozusagen "Dir vertraute Polynome". Warum? Naja, weil Du die Funktionen [mm] $\IR \to \IR$ [/mm] mit $x [mm] \mapsto 1\,,$ [/mm] $x [mm] \mapsto x\,,$ [/mm] $x [mm] \mapsto x^2\,,$ [/mm] $x [mm] \mapsto x^3$ [/mm] etc. pp. oft genug behandelt hast. Sie sind Dir "gängig" und daher auch "zugänglich(er)", als es vielleicht die obigen [mm] $f_j$'s [/mm] sind.
Wir müssen Dir diese also zugänglicher machen. Wie machen wir das? Naja, wir schauen uns mal für ein paar [mm] $j\,$ [/mm] an, wie [mm] $f_j$ [/mm] wirklich aussieht:
1.) Alle [mm] $f_j$ [/mm] sind auf [mm] $[0,1]\,$ [/mm] definiert. Wenn wir also den Graphen einer konkreten Funktion [mm] $f_j$ [/mm] sehen wollen, dann wird dieser also im ersten Quadranten verlaufen und zwar in dem Streifen, der durch die [mm] $y\,$-Achse [/mm] und der zur [mm] $y\,$-Achse [/mm] parallelen Geraden, die durch den Punkt $(1,0) [mm] \in \IR^2$ [/mm] läuft (also die Gerade [mm] $x=1\,$). [/mm] Auch an den Grenzgeraden des Streifens finden wir (je einen) Punkt des Graphen von [mm] $f_j\;$ [/mm] denn beachte:
[mm] $$Graph(f_j)=\{(x,f(x)) \in \IR^2: 0 \le x \le 1\}\,.$$
[/mm]
Aus einem gewissen Grund, denn Du später vielleicht einesehen wirst, empfehle ich Dir folgendes:
Trage mal auf der [mm] $x\,$-Achse [/mm] ab:
Die Stelle [mm] $x=1\,$ [/mm] mit rot und durch das Zeichen [mm] $\red{]}$ [/mm] an dieser Stelle, und auch in rot die Stelle [mm] $x=1/2\,,$ [/mm] aber mit dem (roten) Zeichen [mm] $\red{(}\,.$
[/mm]
Wir erstellen damit gleich einen Bezug zu [mm] $\red{f_1}\,.$
[/mm]
Nun gehst Du erneut zur Stelle [mm] $x=1/2\,$ [/mm] und trägst (links vom [mm] $\red{(}$) [/mm] dort dann das Symbol [mm] $\blue{]}$ [/mm] ab. Jetzt gehe zu [mm] $x=1/3\,$ [/mm] und trage dort das Symbol [mm] $\blue{(}$ [/mm] ab. Du ahnst es:
Wir erstellen gleich damit einen Bezug zu [mm] $\blue{f_2}\,.$
[/mm]
Nun gehst Du erneut zur Stelle [mm] $x=1/3\,$ [/mm] und trägst (links vom [mm] $\blue{(}$) [/mm] dort dann das Symbol [mm] $\green{]}$ [/mm] ab. Jetzt gehe zu [mm] $x=1/4\,$ [/mm] und trage dort das Symbol [mm] $\green{(}$ [/mm] ab. Du ahnst es:
Wir erstellen gleich damit einen Bezug zu [mm] $\green{f_3}\,.$
[/mm]
Um zu verstehen, wie die [mm] $f_j\,$ [/mm] - bzw. besser:
- deren jeweiliger Graph! -
nun ausschaut, reicht das eigentlich schon.
Definitionsgemäß must Du quasi, wenn Du den Graph von z.B. [mm] $f_2$ [/mm] sehen willst, Dir auf der [mm] $x\,$-Achse [/mm] angucken, welches (linksoffene und rechtsgeschlossene) Intervall zu [mm] $f_2$ [/mm] gehört. Bei [mm] $\blue{f_2}$ [/mm] war das durch die blauen Symbole [mm] $\blue{(}$ [/mm] und [mm] $\blue{]}$ [/mm] gegeben. Links, also beim Zeichen [mm] $\blue{(}$ [/mm] ist die Stelle [mm] $1/(2+1)=1/3\,$ [/mm] markiert, und rechts beim Zeichen [mm] $\blue{]}$ [/mm] ist auf der [mm] $x\,$-Achse [/mm] die Stelle [mm] $1/2\,$ [/mm] markiert. Und somit haben wir den Graphen von [mm] $f_2$ [/mm] so zu zeichnen, dass wir allen Stellen [mm] $x\,$ [/mm] mit $1/3 < x [mm] \le [/mm] 1/2$ den [mm] $y\,$-Wert $1\,$ [/mm] geben, und allen Stellen $x [mm] \in [0,1]\,,$ [/mm] die eben nicht $1/3 < x [mm] \le [/mm] 1/2$ erfüllen, den [mm] $y\,$-Wert $0\,$ [/mm] geben.
Und nun kommen wir mal zurück zu Deiner Aufgabe:
Man kann die Aufgabe auch ein wenig anders angehen (durch Betrachtung eines allgemeinen $x [mm] \in [/mm] [0,1]$), aber folgendes sollte man sich überlegen:
Ein wenig schlecht erscheint zunächst, dass offenbar
[mm] $$f_j(0)=0$$
[/mm]
für jedes natürlich [mm] $j\,$ [/mm] gilt.
Schöner ist schon die Tatsache, dass gilt:
[mm] $$(0,1]=\bigcup_{j=1}^\infty \left(\frac{1}{j+1},\frac{1}{j}\right]\,.$$
[/mm]
(Warum? Beweis?)
Besonders schön ist eigentlich, dass rechterhand eine disjunkte Vereinigung steht (d.h. für $k,l [mm] \in \IN_{\ge 1}$ [/mm] mit $k [mm] \not=l$ [/mm] ist
[mm] $$\left(\frac{1}{k+1},\frac{1}{k}\right]\cap\left(\frac{1}{l+1},\frac{1}{l}\right]=\emptyset\,.$$
[/mm]
Beweis?)
Damit kannst Du nun folgern (die Überlegung kann man auch elementarer führen, aber letztendlich läuft das doch auf das obige hinaus):
Wenn, für beliebiges, aber nun festgehaltenes, natürliche [mm] $n\,$ [/mm] die Gleichung
[mm] $$t_1*f_1(x)+t_2*f_2(x)+\ldots+t_n*f_n(x)=0$$
[/mm]
für alle $x [mm] \in [/mm] [0,1]$ erfüllt ist, dann betrachten wir sukzessive die folgenden [mm] $x\,$-Werte [/mm] aus [mm] $[0,1]\,$ [/mm] (für die die Gleichung dann auch erfüllt sein muss):
1.) Wir betrachten [mm] $x_1=1\,.$ [/mm] Dann gelten (weil $1 [mm] \in (1/2,\;\;1]$ [/mm] und $1 [mm] \notin (1/(k+1),\;\;1/k]$ [/mm] für jedes natürliche $k [mm] \ge [/mm] 2$)
[mm] $$f_1(x_1)=f_1(1)=1\,,$$
[/mm]
[mm] $$f_2(x_1)=f_2(1)=0\,,$$
[/mm]
$$.$$
$$.$$
$$.$$
[mm] $$f_n(x_1)=f_n(1)=0\,,$$
[/mm]
(Sofern $n [mm] \not=1\,.$)
[/mm]
Daher ist [mm] $t_1=0\,.$
[/mm]
2.) Wir betrachten [mm] $x_2=1/2\,.$ [/mm] Dann gelten (weil $1/2 [mm] \in (1/3,\;\;1/2]$ [/mm] und $1/2 [mm] \notin (1/(k+1),\;\;1/k]$ [/mm] weder für [mm] $k=1\,$ [/mm] noch für jedes natürliche $k [mm] \ge [/mm] 3$)
[mm] $$f_1(x_2)=f_1(1/2)=0\,,$$
[/mm]
[mm] $$f_2(x_2)=f_2(1/2)=1\,,$$
[/mm]
[mm] $$f_3(x_2)=f_3(1/2)=0\,,$$
[/mm]
$$.$$
$$.$$
$$.$$
[mm] $$f_n(x_2)=f_n(1/2)=0\,,$$
[/mm]
(Sofern $n > [mm] 2\,.$)
[/mm]
Daher ist [mm] $t_2=0\,.$
[/mm]
Allgemein:
Betrachtest Du für $j [mm] \in \IN_{\ge 1}$ [/mm] den Punkt [mm] $x_j:=\frac{1}{j}\,,$ [/mm] so ist [mm] $f_j(x_j)=f_j(1/j)=1$ [/mm] und für alle natürlichen $k [mm] \not= [/mm] j$ ist [mm] $f_k(x_j)=f_k(1/j)=0\,.$ [/mm] Das liefert [mm] $t_j=0\,,$ [/mm] und durch Betrachtung der [mm] $x_j=1/j$ [/mm] für [mm] $j=1,\ldots,n$ [/mm] folgt dann [mm] $t_1=\ldots=t_n=0\,.$
[/mm]
Gruß,
Marcel
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Hallo,
gerade ist eine komplette Antwort für Dich vom Bildschirm verschwunden, Aufenthaltsort unbekannt...
Mein Tip: versuch mal für n=3 die Unabhängigkeit der drei Funktionen zu zeigen.
Ich habe im Moment keine Zeit mehr, aber vielleicht später am Tag oder morgen, wenn bis dahin nicht alles klar ist.
Gruß v. Angela
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