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| Aufgabe | Gegeben sei die Menge der Funktionen [mm]V = {f:[0,2\pi] \to \IR; f(x) = c_1 + c_2 sin(x) + c_3 sin(2x); c_1, c_2, c_3 \in \IR}[/mm].
Mit der punktweisen Addition von Funktionen [mm]((f+g)(x) = f(x) + g(x))[/mm] und der skalaren Multiplikation [mm]((cf)(x) = cf(x), c \in \IR)[/mm] bildet diese Menge einen Vektorraum.
a) Welche der folgenden Funktionen sind Elemente von V?
[mm]g(x) = 1[/mm]
[mm]h(x) = 2 + sin(x)[/mm]
[mm]l(x) = 2sin(x)[/mm]
[mm]k(x) = 5sin^2(x) + 3[/mm]
[mm]m(x) = 2sin(x)cos(x)[/mm]
b) Zeigen Sie, dass für beliebige [mm] \alpha, \beta, \gamma \in \IR [/mm] die Funktion [mm] \alpha [/mm] g + [mm] \beta [/mm] h + [mm] \gamma [/mm] l ein Element von V ist.
c) Sind die Funktionen {g,h,l} linear unabhängig?
d) Geben Sie eine Basis von V an und bestimmen Sie die Komponenten von g, h und l in dieser Basis.
e) Welche Dimension hat der Vektorraum V? |
Hallo an alle Leser,
ich habe jetzt Theoretische Chemie an der Uni. Dafür wird sehr viel Mathematik benötigt (u.a. die Aufgabe oben).
Leider gab es das Mathemodul, wo man sowas gelernt hat, nur für die Chemie-Studenten und ich studiere Biochemie.
Mein Problem also: Ich habe keine Ahnung, wie ich diese Aufgabe lösen soll.
Vektoren kenne ich aus der Schule nur in folgender Form:
[mm] \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}
[/mm]
Wie können denn Funktionen Vektoren sein?
Ich habe schon versucht, im Internet rauszufinden, was ein Vektorraum ist. --> Menge von Vektoren, die man addieren und skalar-multiplizieren kann, jedes Ergebnis davon ist wieder Teil des Vektorraums.
Ich habe aber leider keine Ahnung, was das jetzt heißt. Auch weiß ich nicht, was die Basis und die Dimension eines Vektorraums sind (d,e) oder wie man bestimmt, welche Funktionen nun Elemente dieses Vektorraums sind (a).
Lineare Unabhängigkeit (c) kenne ich aus der Schule nur so, dass
[mm]a_1 x + a_2y + a_3z = 0[/mm] nur gilt, wenn [mm]a_1 = a_2 = a_3 = 0[/mm] sind.
Wie ich das mit Funktionen bestimmen könnte, weiß ich aber auch nicht.
Ich will auch gar nicht, dass ihr mir die Lösungen postet. Ich möchte das schon gerne selbst hinkriegen, habe nur leider keine Grundlagen.
Wäre euch also SEHR dankbar, wenn ihr mir an einem anderem Beispiel erklären könntet, wie das geht! Bitte möglichst ohne komplizierte mathematische Operatoren, die kenne ich eh alle nicht ;)
Voraussetzen könnt ihr gutes Abi-Grundkurs-Niveau.
Schöne Grüße,
Princess
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:08 Fr 08.04.2011 | | Autor: | Blech |
Hi,
wir sind kein Kurs in Linearer Algebra. Es gibt einen Grund, daß den Leuten dieses Zeug in 4+2 Vorlesungen verklickert wird.
Lineare Algebra von Albrecht Beutelspacher ist ein Buch, das gut zu lesen ist, und das auch ohne parallele Vorlesung funktioniert.
Ich starte trotzdem mal einen Versuch für die Aufgabe:
> Vektoren kenne ich aus der Schule nur in folgender Form: $ [mm] \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} [/mm] $
aber was ist x, y und z? Du wirst sagen, die x-Richtung, die y-Richtung und die z-Richtung. Nur setzt das voraus, daß Dein Gegenüber weiß, was denn jetzt x, y und z-Richtung sind.
In Wahrheit beginnt das ganze so: Du legst 3 Vektoren fest, [mm] $e_x, e_y, e_z$, [/mm] die Einheitsvektoren in x, y und z-Richtung (und einen Ursprung 0). Von jetzt an kannst Du jeden Vektor $v$ im 3-dim Raum beschreiben, indem Du angibst, wie oft Du [mm] $e_x$, $e_y$ [/mm] bzw. [mm] $e_z$ [/mm] aneinanderlegen mußt, um $v$ zu erhalten. Sagen wir v hat die gleiche Richtung wie [mm] $e_x$ [/mm] ist aber doppelt so lang, dann ist
[mm] $v=2*e_x [/mm] + [mm] 0*e_y [/mm] + [mm] 0*e_z$
[/mm]
Wenn die Einheitsvektoren und ihre Reihenfolge klar sind, dann schreibt man kürzer
[mm] $v=\vektor{2\\0\\0}$
[/mm]
Nochmal:
[mm] $v=\vektor{2\\0\\0}=2*e_x+0*e_y+0*e_z$
[/mm]
Das ist die Definition der Schreibweise [mm] $\vektor{2\\0\\0}$.
[/mm]
Zur Aufgabe:
Für die Aufgabe ist nun
[mm] $e_x=1$
[/mm]
[mm] $e_y=\sin(x)$
[/mm]
und
[mm] $e_z=\sin(2*x)$
[/mm]
Versuch erstmal nicht, Dir das graphisch darzustellen, reines Rechnen reicht.
$ h(x) = 2 + sin(x) $
h ist 2mal der x-Einheitsvektor und einmal der y-Einheitsvektor, denn:
[mm] $h(x)=\vektor{2\\1\\0} [/mm] = [mm] 2*e_x [/mm] + [mm] 1*e_y+0*e_z= [/mm] 2* 1 + [mm] 1*\sin(x) [/mm] + [mm] 0*\sin(2x)=2+\sin(x)$
[/mm]
Dein Vektor ist also: [mm] $\vektor{c_1\\c_2\\c_3}$, [/mm] die 3 Konstanten der Funktionenschar.
Das kannst Du jetzt für die anderen auch machen (ist g(x) in der Funktionenschar? Was sind dafür die Konstanten). Für die letzten beiden nimmst Du ne Formelsammlung, ich weiß das Zeug auch nicht auswendig (ich denke k geht nicht, m schon)
(b)
Nach Definition ist V ein Vektorraum, also sind Linearkombinationen von Elementen wieder Elemente von V.
Soll heißen [mm] $\beta*h(x)$ [/mm] ist z.B. wieder in V, weil
[mm] $\beta*\vektor{2\\1\\0}=\vektor{2*\beta\\1*\beta\\0}$
[/mm]
Das ist einfach wie man mit Vektoren rechnet.
(c)
Wann sind 3 (oder beliebig viele) Vektoren linear unabhängig?
Sind
[mm] $\vektor{1\\0\\0}, \vektor{0\\1\\0}, \vektor{2\\5\\0}$
[/mm]
linear unabhängig?
(d) und (e) schauen wir später.
ciao
Stefan
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Hallo Stefan,
vielen Dank schonmal für deine Hilfe! Du hast mir schon sehr weitergeholfen.
Habe ich das dann richtig verstanden, dass ein Vektorraum definiert wird über je einen Einheitsvektor in alle drei Raumrichtungen und einen Nullpunkt, von dem aus "gemessen" wird?
Bei a) habe ich jetzt folgende Ergebnisse:
[mm]g(x) = \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}[/mm]
[mm]l(x) = \begin{pmatrix} 0 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix}[/mm]
[mm]m(x) = 2 sin(x) cos(x) = sin(2x) = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}[/mm]
Dass [mm]2 sin(x) cos(x) = sin(2x)[/mm] ist, habe ich im Internet gefunden (Doppelwinkelfunktion). Herleiten kann ich das leider nicht.
Bei k(x) frage ich mich, ob ich das Kommutativgesetz anwenden darf.
[mm]k(x) = 5sin^2(x) + 3 = 3 + 5 sin^2(x)[/mm]?
Dann wäre [mm]k(x) = \begin{pmatrix} 3 \\ 5 sin(x) \\ 0 \end{pmatrix}[/mm]
Aber darf ich denn [mm] e_x [/mm] und [mm] e_y [/mm] einfach vertauschen? Kommt mir komisch vor. Falls nicht, weiß ich nicht, wie ich das dann lösen soll.
Bei b) kann ich nachvollziehen, was du schreibst. Ich glaube aber, dass das hier irgendwie bewiesen werden soll. Eigentlich steht es ja aber in der Aufgabenstellung schon mit drin ;)
Zu c) denke ich, dass die von dir angegeben Vektoren linear abhängig sind, weil das Gleichungssystem (wenn ich eine Matrix mit der letzten Spalte = 0 aufstelle) nicht eindeutig lösbar ist und es somit unendlich viele Lösungen gibt.
Aber wie das mit den Funktionen geht, weiß ich nicht. Bei Wikipedia unter "Lineare Unabhängigkeit" wird eine Funktion abgeleitet, da sind aber auch nur zwei Funktionen gegeben.
d und e) keine Ahnung
Ich freue mich, wenn du mir das weiter erklärst!!
Schöne Grüße,
Princess
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:00 So 10.04.2011 | | Autor: | Blech |
Hi,
zu (a)
alles bis auf k(x) stimmt.
> Dass 2 sin(x) cos(x) = sin(2x) ist, habe ich im Internet gefunden (Doppelwinkelfunktion). Herleiten kann ich das leider nicht.
Ich glaub nicht, daß Du das sollst, folgt aber aus
[mm] $\sin(x)=\frac{e^{ix}-e^{-ix}}{2i}$
[/mm]
und
[mm] $\cos(x)=\frac{e^{ix}+e^{-ix}}{2}$
[/mm]
> Bei k(x) frage ich mich, ob ich das Kommutativgesetz anwenden darf.
Ja. Die Addition von Vektoren ist kommutativ. In [mm] $\vektor{a\\b\\c}$ [/mm] ist die Reihenfolge natürlich fest vorgegeben, weil man sonst nicht wüßte, was was sein soll.
Aber auch da kannst Du bei mehreren umstellen:
[mm] $\vektor{a\\b\\c}+\vektor{d\\e\\f}=\vektor{d\\e\\f}+\vektor{a\\b\\c}$
[/mm]
Das Problem ist ein anderes:
> [mm] $\begin{pmatrix} 3 \\ 5 sin(x) \\ 0 \end{pmatrix} [/mm] $
x darf nicht in den Koeffizienten auftauchen. Die Koeffizienten müssen Konstanten (oder zumindest von x unabhängige Variablen sein). In der Funktionenschar
$ [mm] {f:[0,2\pi] \to \IR; f(x) = c_1 + c_2 sin(x) + c_3 sin(2x); c_1, c_2, c_3 \in \IR} [/mm] $
würdest Du für [mm] $c_1$ [/mm] ja auch nicht einfach x einsetzen (hoff ich. =) Damit wäre auch jede beliebige Funktion Teil der Schar, für irgendein g(x) nimmst Du einfach
[mm] $\vektor{g(x)\\ 0\\ 0}$
[/mm]
Das geht nicht. (bzw. Du kannst so was definieren, aber es ist dann kein Vektorraum mehr)
Zu (c)
> Zu c) denke ich, dass die von dir angegeben Vektoren linear abhängig sind, weil das Gleichungssystem (wenn ich eine Matrix mit der letzten Spalte = 0 aufstelle) nicht eindeutig lösbar ist und es somit unendlich viele Lösungen gibt.
Ja.
> Aber wie das mit den Funktionen geht, weiß ich nicht. Bei Wikipedia unter "Lineare Unabhängigkeit" wird eine Funktion abgeleitet, da sind aber auch nur zwei Funktionen gegeben.
g, h und l sind
[mm] $\begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix},\vektor{2\\1\\0},\begin{pmatrix} 0 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix}$
[/mm]
das hast Du gerade richtig festgestellt. Sind die 3 linear unabhängig?
Zu (d)
> Bei b) kann ich nachvollziehen, was du schreibst. Ich glaube aber, dass das hier irgendwie bewiesen werden soll. Eigentlich steht es ja aber in der Aufgabenstellung schon mit drin ;)
Das hängt damit zusammen, daß ich (d) vorgezogen hab (weil (a), (b) und (c) damit fast trivial werden). 1, [mm] $\sin(x)$ [/mm] und [mm] $\sin(2x)$ [/mm] sind erstmal keine "Einheitsvektoren" (dazu bräuchte man noch eine Norm =) sondern Basisvektoren. (ich wollte das Wort Basis vermeiden ^^)
Die 3 sind eine Basis von V. Eine Basis ist ein linear unabhängiges Erzeugendensystem von V. Was heißt das:
Ein Erzeugendensystem ist eine Menge von Vektoren, mit der man jeden anderen Vektor von V erzeugen, d.h. als Linearkombination darstellen kann. Eine Linearkombination von 3 (oder wieviel auch immer) Vektoren ist einfach:
[mm] $a_1e_x+a_2e_y+a_3e_z$, [/mm] für [mm] $a_1,a_2,a_3\in\IR$.
[/mm]
Nachdem der Vektorraum V genau alle
$ [mm] {f:[0,2\pi] \to \IR; f(x) = c_1 + c_2 sin(x) + c_3 sin(2x); c_1, c_2, c_3 \in \IR} [/mm] $
enthält, ist denk ich ziemlich offensichtlich klar, daß unsere 3 Vektoren [mm] $e_x,e_y,e_z$ [/mm] ein Erzeugendensystem sind. =)
Ein Erzeugendensystem kann jetzt aber viele überflüssige Vektoren enthalten. Wieder im 3-dim Raum, wäre z.B.
[mm] $\left\{\vektor{1\\0\\0},\vektor{1\\1\\0},\vektor{1\\1\\1},\vektor{0\\1\\1},\vektor{0\\0\\1},\vektor{0\\1\\0},\vektor{1\\2\\3}\right\}$
[/mm]
ein Erzeugendensystem, aber offensichtlich kann ich daraus jede Menge Vektoren streichen und trotzdem noch jeden Vektor erzeugen.
Eine Basis ist also eine Menge von Vektoren, mit der ich alle anderen erzeugen kann, aber wo alle überflüssigen entfernt wurden.
Allgemein sind 3 - oder wieviel auch immer - Vektoren linear unabhängig, wenn
[mm] $c_1*e_x+c_2*e_y+c_3*e_z=0,\qquad c_1,c_2,c_3\in\IR$ [/mm]
nur die Lösung [mm] $c_1=c_2=c_3=0$ [/mm] hat (hast Du ja auch schon für das eine Beispiel gemacht).
hier also
[mm] $c_1*1+c_2*\sin(x)+c_3*\sin(2x)=0$ $\forall x\in [0,2\pi]$ [/mm] (nicht vergessen, alles was wir tun ist immer für alle x zwischen 0 und [mm] $2\pi$).
[/mm]
Weil die Gleichung für alle x gelten muß, kannst Du z.B. einmal [mm] $x=\pi$ [/mm] und einmal [mm] $x=\frac \pi [/mm] 2$ setzen (die beiden ergeben besonders einfache Gleichungen) und siehst dann, daß [mm] $c_1,c_2,c_3$ [/mm] gleich 0 sein müssen (nochmal von oben: [mm] $c_1,c_2,c_3$ [/mm] dürfen nicht von x abhängen, sondern müssen feste Zahlen sein, und da bleiben hier nur 0, 0 und 0 übrig)
Zu (e)
Die Dimension eines Vektorraums ist die maximale Anzahl linear unabhängiger Vektoren in einer Menge. Das ist gleich der Anzahl der Vektoren in einer Basis. Also hier 3 (angenommen es gäbe eine Menge aus 4 Vektoren, die linear unabhängig wäre, dann könnte man jeden als Linarkombination der Basisvektoren beschreiben und damit kriegt man mit etwas Überlegen und Rechnen einen Widerspruch)
Die Kurzfassung:
(d) [mm] $B=\{e_x,e_y,e_z\}$ [/mm] ist linear unabhängiges Erzeugendensystem und damit Basis.
(e) Also ist die Dimension 3
(a) Alles bis auf k(x) läßt sich als Linearkombination der Basis B beschreiben und ist damit in V
(b) Folgt mit normalen Rechenregeln für Vektoren in der üblichen Schreibweise.
(c) Auch das kannst Du wie im 3-dim Raum ganz normal rechnen.
ciao
Stefan
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Danke für deine Hilfe, Stefan! Mir ist schon fast alles klar :)
> > Bei k(x) frage ich mich, ob ich das Kommutativgesetz
> anwenden darf.
>
> Ja. Die Addition von Vektoren ist kommutativ. In
> [mm]\vektor{a\\b\\c}[/mm] ist die Reihenfolge natürlich fest
> vorgegeben, weil man sonst nicht wüßte, was was sein
> soll.
> Aber auch da kannst Du bei mehreren umstellen:
>
> [mm]\vektor{a\\b\\c}+\vektor{d\\e\\f}=\vektor{d\\e\\f}+\vektor{a\\b\\c}[/mm]
>
>
> Das Problem ist ein anderes:
>
> > [mm]\begin{pmatrix} 3 \\ 5 sin(x) \\ 0 \end{pmatrix}[/mm]
>
> x darf nicht in den Koeffizienten auftauchen. Die
> Koeffizienten müssen Konstanten (oder zumindest von x
> unabhängige Variablen sein). In der Funktionenschar
> [mm]{f:[0,2\pi] \to \IR; f(x) = c_1 + c_2 sin(x) + c_3 sin(2x); c_1, c_2, c_3 \in \IR}[/mm]
>
> würdest Du für [mm]c_1[/mm] ja auch nicht einfach x einsetzen
> (hoff ich. =) Damit wäre auch jede beliebige Funktion Teil
> der Schar, für irgendein g(x) nimmst Du einfach
>
> [mm]\vektor{g(x)\\ 0\\ 0}[/mm]
>
> Das geht nicht. (bzw. Du kannst so was definieren, aber es
> ist dann kein Vektorraum mehr)
>
Ok, das macht natürlich Sinn. :)
> g, h und l sind
>
> [mm]\begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix},\vektor{2\\1\\0},\begin{pmatrix} 0 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix}[/mm]
>
> das hast Du gerade richtig festgestellt. Sind die 3 linear
> unabhängig?
>
Achsooo! Die sind linear abhängig. Nach Umformen ergibt sich [mm]a_1 = -a_2 = 2a_3[/mm]. Ich kann jetzt alle reellen Zahlen für x einsetzen und es gibt unendlich viele Lösungen.
>
> Eine Basis ist also eine Menge von Vektoren, mit der ich
> alle anderen erzeugen kann, aber wo alle überflüssigen
> entfernt wurden.
>
Das verstehe ich :)
>
> Allgemein sind 3 - oder wieviel auch immer - Vektoren
> linear unabhängig, wenn
>
> [mm]c_1*e_x+c_2*e_y+c_3*e_z=0,\qquad c_1,c_2,c_3\in\IR[/mm]
>
> nur die Lösung [mm]c_1=c_2=c_3=0[/mm] hat (hast Du ja auch schon
> für das eine Beispiel gemacht).
>
> hier also
> [mm]c_1*1+c_2*\sin(x)+c_3*\sin(2x)=0[/mm] [mm]\forall x\in [0,2\pi][/mm]
> (nicht vergessen, alles was wir tun ist immer für alle x
> zwischen 0 und [mm]2\pi[/mm]).
>
> Weil die Gleichung für alle x gelten muß, kannst Du z.B.
> einmal [mm]x=\pi[/mm] und einmal [mm]x=\frac \pi 2[/mm] setzen (die beiden
> ergeben besonders einfache Gleichungen) und siehst dann,
> daß [mm]c_1,c_2,c_3[/mm] gleich 0 sein müssen (nochmal von oben:
> [mm]c_1,c_2,c_3[/mm] dürfen nicht von x abhängen, sondern müssen
> feste Zahlen sein, und da bleiben hier nur 0, 0 und 0
> übrig)
>
Aber im Intervall [mm] [0,2\pi] [/mm] liegen doch unendlich viele Zahlen. Woher weiß ich dann, dass es nicht doch vielleicht eine Möglichkeit außer 0,0,0 gibt?
Wenn ich [mm]x=\bruch{\pi}{2}[/mm] einsetze, steht da:
[mm]c_1*1 + c_2*1+c_3*0=0[/mm]
Wenn [mm]c_1=1[/mm] und [mm]c_2=-1[/mm] geht es doch auch, oder?
>
> Zu (e)
> Die Dimension eines Vektorraums ist die maximale Anzahl
> linear unabhängiger Vektoren in einer Menge. Das ist
> gleich der Anzahl der Vektoren in einer Basis. Also hier 3
> (angenommen es gäbe eine Menge aus 4 Vektoren, die linear
> unabhängig wäre, dann könnte man jeden als
> Linarkombination der Basisvektoren beschreiben und damit
> kriegt man mit etwas Überlegen und Rechnen einen
> Widerspruch)
>
Ok, also immer Dimension = Anzahl der Basisvektoren
Schöne Grüße,
Princess
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:50 So 10.04.2011 | | Autor: | Blech |
Hi Princess,
> Achsooo! Die sind linear abhängig.
ja.
> Aber im Intervall liegen doch unendlich viele Zahlen. Woher weiß ich dann, dass es nicht doch vielleicht eine Möglichkeit außer 0,0,0 gibt?
Die Richtung ist andersrum. Wenn eine mögliche Lösung [mm] $c_1,c_2,c_3$ [/mm] auch nur für ein einziges [mm] $x\in [0,2\pi]$ [/mm] nicht funktioniert, dann ist es keine Lösung. D.h. wenn schon durch die beiden Werte [mm] $x=\frac \pi [/mm] 2$ und [mm] $\pi$ [/mm] alles außer 0, 0, 0 rausfällt, dann kann es nur noch schlimmer werden, wenn Du andere x einsetzt (wird es aber nicht, weil natürlich 0, 0, 0 immer eine Lösung ist).
Die Gefahr ist mehr, daß Du ein paar x auswählst, es aussieht als gäbe es mehrere Lösungen, aber irgendwo gibt es doch noch ein x, das alles außer 0, 0, 0 zunichte macht. (Hier wäre $x=0$ und [mm] $x=\pi$ [/mm] eine solche Kombination. Alle anderen gehen)
> Wenn [mm] $c_1=1$ [/mm] und [mm] $c_2=-1$ [/mm] geht es doch auch, oder?
Nur für [mm] $x=\pi/2$. [/mm]
[mm] $c_1*1+c_2*\sin(x)+c_3*\sin(2x)=0\qquad \text{fuer alle } x\in[0,2\pi]$
[/mm]
Wir brauchen Zahlen [mm] $c_1, c_2, c_3$, [/mm] so daß diese Gleichung für alle x in dem Interfall gilt.
Wir fangen an. Mögliche Kandidaten für [mm] $c_1,c_2,c_3$ [/mm] sind alle möglichen Kombinationen von reellen Zahlen.
Erster Versuch, wenn die Gleichung für alle x gelten soll, dann muß sie z.B. für [mm] $x=\pi/2$ [/mm] gelten. Dort sieht sie so aus:
[mm] $c_1+c_2=0$
[/mm]
Das läßt noch einiges für unsere c zu.
Zweiter Test: [mm] $x=\pi$
[/mm]
[mm] $c_1=0$
[/mm]
K, gültige Lösungen müssen Lösungen an allen Stellen sein, also muß beides gelten:
[mm] $c_1+c_2=0$ [/mm] und [mm] $c_1=0$.
[/mm]
Daraus folgt [mm] $c_2=0$. $c_3$ [/mm] ist aber noch beliebig.
Weil wir jedoch schon wissen, daß [mm] $c_1$ [/mm] und [mm] $c_2$ [/mm] 0 sind, hat sich unsere Gleichung verändert von
[mm] $c_1*1+c_2*\sin(x)+c_3*\sin(2x)=0\qquad \text{fuer alle }x\in[0,2\pi]$
[/mm]
zu
[mm] $c_3*\sin(2x)=0\qquad \text{fuer alle } x\in[0,2\pi]$
[/mm]
Und das gilt nur für [mm] $c_3=0$.
[/mm]
ciao
Stefan
EDIT: Sch... übereifriger mathcode parser.
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Habe ich das jetzt richtig verstanden, dass mein Vektor [mm]\begin{pmatrix} c_1 \\ c_2 \\ c_3 \end{pmatrix}[/mm] die Gleichung [mm]c_1*1 + c_2*sin(x) + c_3*sin(2x) = 0[/mm] für alle [mm]x \in [0,2\pi][/mm] erfüllen muss?
Dann geht
[mm] \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix} [/mm] wohl doch nicht.
Aber ob ich die "richtigen" Möglichkeiten ausprobiere, um zu sehen, dass nur 0,0,0 geht, ist für Nicht-Mathematiker wohl Glückssache, oder?
Und andersrum: Ich werde doch nie beweisen können, dass ein Vektor, von dem ich denke, er erfüllt die Gleichung für alle x in dem Intervall, nicht doch für irgendeine Zahl x nicht passt, weil ich nie alle ausprobieren kann...
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:56 So 10.04.2011 | | Autor: | Blech |
Hi,
> Aber ob ich die "richtigen" Möglichkeiten ausprobiere, um zu sehen, dass nur 0,0,0 geht, ist für Nicht-Mathematiker wohl Glückssache, oder?
Im Normalfall sind fast alle Möglichkeiten richtige Möglichkeiten. Es geht mehr darum welche zu finden, für die die Rechnungen schön einfach ist. Mach's einfach mal für x=0,1,2,3. Ergibt ein überbestimmtes, nicht lösbares Gleichungssystem für die c.
> Und andersrum: Ich werde doch nie beweisen können, dass ein Vektor, von dem ich denke, er erfüllt die Gleichung für alle x in dem Intervall, nicht doch für irgendeine Zahl x nicht passt, weil ich nie alle ausprobieren kann.
Doch, weil auf der linken Seite dafür alle x rausfallen müssen.
Bsp: [mm] $e_x=1, e_y=\sin^2(x), e_z=\cos^2(x)$
[/mm]
[mm] $\sin^2(x)+\cos^2(x)=1$, [/mm] also ist [mm] $(c_1,c_2,c_3)=(-1,1,1)$ [/mm] eine Lösung.
Bonus: $1, [mm] \sin(x), \cos(x), \sin(2x),\cos(2x), \sin(3x), \ldots$ [/mm] bilden eine (Schauder-) Basis aller (quadratintegrierbaren) Funktionen auf [mm] $[0,2\pi]$. [/mm] Für ein mp3 nimmst Du jetzt ein kurzes Sample von einem Song bzw. der Schallwellenamplitude. Den Graph stellst Du nun zu dieser Basis dar und kriegst damit eine (theoretisch) unendlich lange Liste mit Koeffizienten für den Vektor. Praktischerweise sind aber die ersten mit Abstand am wichtigsten, also schneidest Du irgendwo einfach ab. Dann nimmst Du nur die größten Koeffizienten (indem Du den Vektor durch eine große Zahl teilst und alles wegschmeißt, was zu 0 rundet).
Wenn Du das umgekehrt durchführst klingt es dem ursprünglichen sehr ähnlich, aber das Ergebnis hat nur 1/10 der Größe. Die meisten Video-Codecs funktionieren ähnlich.
Das Prinzip sieht man auch ![[]](/images/popup.gif) hier.
ciao
Stefan
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:25 Mo 11.04.2011 | | Autor: | Princess17 |
Vielen, lieben Dank für die ausführlichen Antworten! Hast mir echt geholfen!! :)
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![[]](http://en.wikipedia.org/wiki/File:Periodic_identity_function.gif){kind=small}
hier