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| Aufgabe | | Sei [mm] K^n [/mm] ein n-Vektorraum und die Vektoren [mm] e_{1},...,e_{m} [/mm] sind gegeben. Zeigen Sie dass wenn m [mm] \ge [/mm] n+2, dann gibt es Zahlen [mm] \alpha_{1},...,\alpha_{m} [/mm] nicht alle gleich null so dass [mm] \summe \alpha_{i} e_{i} [/mm] = 0 und [mm] \summe \alpha_{i} [/mm] = 0. |
Hallo Leute,
ich komme grad bei dieser Aufgabe nicht weiter.
Könnt ihr mir ein Ansatz geben?
Vielen Dank im Voraus :)
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Moin mathestudent,
> Sei [mm]K^n[/mm] ein n-Vektorraum und die Vektoren [mm]e_{1},...,e_{m}[/mm]
> sind gegeben. Zeigen Sie dass wenn m [mm]\ge[/mm] n+2, dann gibt es
> Zahlen [mm]\alpha_{1},...,\alpha_{m}[/mm] nicht alle gleich null so
> dass [mm]\summe \alpha_{i} e_{i}[/mm] = 0 und [mm]\summe \alpha_{i}[/mm] = 0.
Ohne Einschränkung sei m=n+2 (ist m größer, so betrachten wir nur n+2 Vektoren).
Unter den ersten n+1 Vektoren gibt es eine lineare Abhängigkeit (Vektorraum hat Dimension n), d.h.
[mm] \sum_{i=1}^{n+1}\lambda_i*e_i=0
[/mm]
mit nicht alle [mm] \lambda_i [/mm] sind Null. Man darf sogar annehmen, dass [mm] \sum_{i=1}^{n+1}\lambda_i=1 [/mm] und [mm] \lambda_1\neq0 [/mm] (warum?).
Analoges gilt für die letzten n+1 Vektoren:
[mm] \sum_{i=2}^{n+2}\mu_i*e_i=0
[/mm]
mit o. E. [mm] \mu_{n+2}\neq0 [/mm] und [mm] \sum_{i=2}^{n+2}\mu_i=1.
[/mm]
'Subtrahiere' nun beide Linearkombinationen.
LG
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Ok ich versuche dass mal zu verstehen.
Also ich fange mit: Sei m=n+2 , aber warum betrachten wir bei m größer nur n+2 Vektoren!!!
Und warum haste die dann nicht in deine Rechnung mit einbezogen??
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:27 Mo 27.06.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
Führ erst mal den Tip durch!
2, für m>m+2 kannsr du ja alle [mm] /alpha_k [/mm] k>m+2 0 setzen!
Gruss leduart
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Okay.
Ich schaue mir zuerst den fall, sei m=n+2.
Unter den ersten n+1 Vektoren gibt es eine lineare Abhängigkeit, (Vektorraum hat Dimension n; Es hat somit nur n lin. unabh. Vektoren, die eine Basis des VR bilden), d.h.
[mm] \sum_{i=1}^{n+1}\lambda_i*e_i=0
[/mm]
mit nicht alle [mm] \lambda_i [/mm] sind Null, wegen Def. lin. Unab. [Bis dahin habe ich alles verstanden].
Man darf sogar annehmen, dass [mm] \sum_{i=1}^{n+1}\lambda_i=1 [/mm] und [mm] \lambda_0\neq0.
[/mm]
Das verstehe ich z.b. nicht. Könnt ihr mir es bitte genauer erklären?
Analoges gilt für die letzten n+1 Vektoren:
[mm] \sum_{i=2}^{n+2}\mu_i*e_i=0
[/mm]
mit o. E. [mm] \mu_{n+2}\neq0 [/mm] und [mm] \sum_{i=2}^{n+2}\mu_i=1.
[/mm]
'Subtrahiere' nun beide Linearkombinationen. [Wie genau tue ich dass?
Was mir spontan einfallen würde ist eigentlich eine Indexverschiebung zu tun. Stimmt der weg?]
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:42 Di 28.06.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
wenn du [mm]\summe_{i=1}^{n} a_i*c_i=0 \textrm{ hast und } \summe_{i=1}^{n} a_i=A \textrm{ kannst du doch durch A dividieren und hast }
a'_i=a_i/A
\textrm{ was du mit indexverschiebung meinst, versteh ich hier nicht.
subtrahier doch die 2 summen, was bleibt über?}[/mm]
Gruss leduart
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> Okay.
> Ich schaue mir zuerst den fall, sei m=n+2.
>
> Unter den ersten n+1 Vektoren gibt es eine lineare
> Abhängigkeit, (Vektorraum hat Dimension n; Es hat somit
> nur n lin. unabh. Vektoren, die eine Basis des VR bilden),
> d.h.
>
> [mm]\sum_{i=1}^{n+1}\lambda_i*e_i=0[/mm]
>
> mit nicht alle [mm]\lambda_i[/mm] sind Null, wegen Def. lin. Unab.
> [Bis dahin habe ich alles verstanden].
>
> Man darf sogar annehmen, dass [mm]\sum_{i=1}^{n+1}\lambda_i=1[/mm]
> und [mm]\lambda_1\neq0.[/mm]
> Das verstehe ich z.b. nicht. Könnt ihr mir es bitte genauer erklären?
Um das noch einmal zu verdeutlichen:
Ausgehend von einer beliebigen Linearkombination mit [mm] A\neq0 [/mm] (siehe leduarts Antwort), kannst du einfach alle Skalare durch A teilen und die neuen Skalare haben wie gewünscht Summe 1.
Ist A=0, so muss nichts mehr getan werden, denn dann hat man ja schon Skalare wie in der Aufgabenstellung gefordert.
>
>
> Analoges gilt für die letzten n+1 Vektoren:
>
> [mm]\sum_{i=2}^{n+2}\mu_i*e_i=0[/mm]
>
> mit o. E. [mm]\mu_{n+2}\neq0[/mm] und [mm]\sum_{i=2}^{n+2}\mu_i=1.[/mm]
>
>
> 'Subtrahiere' nun beide Linearkombinationen. [Wie genau tue ich dass?
Nun, wenn [mm] \sum_{i=2}^{n+2}\mu_i*e_i=0 [/mm] und [mm] \sum_{i=1}^{n+1}\lambda_i*e_i=0, [/mm] dann ist auch
[mm] \sum_{i=2}^{n+2}\mu_i*e_i-\sum_{i=1}^{n+1}\lambda_i*e_i=0
[/mm]
Setze also [mm] \alpha_i:=\mu_i-\lambda_i [/mm] für i=2,...,n+1 und [mm] \alpha_1:=-\lambda_1\neq0 [/mm] sowie [mm] \alpha_{n+2}:=\mu_{n+2}\neq0
[/mm]
> Was mir spontan einfallen würde ist eigentlich eine
> Indexverschiebung zu tun. Stimmt der weg?]
Damit hat das nichts zu tun.
LG
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Ah okay. Super dass habe ich jetzt verstanden.
Wie gehe ich jetzt mit dem Fall m>n+2 vor???
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> Ah okay. Super dass habe ich jetzt verstanden.
>
> Wie gehe ich jetzt mit dem Fall m>n+2 vor???
Hallo,
mach es so, wie es Dir leduart vor drei Tagen gesagt hat.
Gruß v. Angela
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