Vektorraum < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Für gegebene a,b [mm] \in \IR [/mm] \ {0} betrachten wir die Gleichung
ax + by = 0 (in Variablen x,y).
Jede Lösung dieser Gleichung hat die Form (x,y) = (x, - [mm] \bruch{a}{b}x) [/mm] mit x [mm] \in \IR. [/mm] Mit V bezeichnen wir die Menge aller Lösungen, d.h. V [mm] :=\{v=(x,-\bruch{a}{b}x) : x \in \IR\}.
[/mm]
Ist V ein Vektorraum? (Antwort mit Begründung) |
Also:
Wenn folgende Axiome gelten dann handelt es sich doch um einen Vektorraum:
1. (V,+) ist eine abelsche Gruppe
2. Das Assoziativgesetz gilt
3. Das Distributivgesetz gilt
4. 1*x=x [mm] \forall [/mm] x [mm] \in [/mm] V
soweit sogut...
Wie kann ich diese Axiome beweisen??
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
|
|
| |
|
> Für gegebene a,b [mm]\in \IR[/mm] \ {0} betrachten wir die
> Gleichung
> ax + by = 0 (in Variablen x,y).
>
> Jede Lösung dieser Gleichung hat die Form (x,y) = (x, -
> [mm]\bruch{a}{b}x)[/mm] mit x [mm]\in \IR.[/mm] Mit V bezeichnen wir die
> Menge aller Lösungen, d.h. V [mm]:=\{v=(x,-\bruch{a}{b}x) : x \in \IR\}.[/mm]
Vielleicht besser:
[mm]v:=\{x\vektor{1\\
-\frac{a}{b}}|x\in \IR\}[/mm]
>
> Ist V ein Vektorraum? (Antwort mit Begründung)
> Also:
Was sagt dir dein Gefühl? Am interesaantesten ist hier wahrscheinlich, ob aus [mm] $a,b\;$ [/mm] sind Lösungen und somit in V auch gilt [mm] $a+b\;\in [/mm] V$ (Abgeschlossenheit)
>
> Wenn folgende Axiome gelten dann handelt es sich doch um
> einen Vektorraum:
>
> 1. (V,+) ist eine abelsche Gruppe
> 2. Das Assoziativgesetz gilt
> 3. Das Distributivgesetz gilt
> 4. 1*x=x [mm]\forall[/mm] x [mm]\in[/mm] V
>
> soweit sogut...
> Wie kann ich diese Axiome beweisen??
Immer erst das Axiom aufschreiben und dann versuchen das einzusetzen, was du hast.
(V,+) ist abelsche Gruppe
(G1) Existenz vom neutralen Element:
Es gibt ein [mm]e\in V[/mm] mit [mm]e+x=x[/mm] für alle [mm]x\in V[/mm].
Konkret überlegst du dir, ob es das Element gibt und wie es aussieht. Setzt man z.B. [mm]e:=(\hat{e},\frac{-a}{b}\hat{e})[/mm], [mm] $\hat{e}\in\IR$ [/mm] und [mm]x:=(\hat{x},\frac{-a}{b}\hat{x})[/mm] mit [mm] $\hat{x}\in\IR$, [/mm] dann gilt zu überprüfen ob [mm]e+x=x[/mm] ist.
Einsetzen
[mm] $e\quad [/mm] + [mm] x\quad [/mm] = x$
[mm]\hat{e}\vektor{1\\
-a/b}+\hat{x}\vektor{1\\
-a/b}=\hat{x}\vektor{1\\
-a/b}[/mm]
Wie sieht [mm] $\hat{e}$ [/mm] aus? Einzige Anforderung ist ja nur [mm] $\hat{e}\in\IR$. [/mm] Wie sieht damit der Vektor e aus?
Die Gruppenaxiome rechnet man mit den Vektoren nach.
Wie gesagt der Knackpunkt ist hier, dass die Abgeschlossenheit gezeigt werden muss. Seinen [mm] $m:=(\hat{m},-\frac{a}{b}\hat{m})$ [/mm] und [mm] $n:=(\hat{n},-\frac{a}{b}\hat{n})$ [/mm] Lösungen. Ist dann auch [mm] $m+n=(\hat{m},-\frac{a}{b}\hat{m})+(\hat{n},-\frac{a}{b}\hat{n})$ [/mm] eine Lösung?
|
|
|
| |
|
>>Vielleicht besser:
$ [mm] v:=\{x\vektor{1\\ -\frac{a}{b}}|x\in \IR\} [/mm] $
wie kommt man dadrauf?
>> Einsetzen
$ [mm] e\quad [/mm] + [mm] x\quad [/mm] = x $
$ [mm] \hat{e}\vektor{1\\ -a/b}+\hat{x}\vektor{1\\ -a/b}=\hat{x}\vektor{1\\ -a/b} [/mm] $
Wie sieht $ [mm] \hat{e} [/mm] $ aus? Einzige Anforderung ist ja nur $ [mm] \hat{e}\in\IR [/mm] $. Wie sieht damit der Vektor e aus?
falls [mm] e\quad [/mm] = 0
|
|
|
| |
|
Hi,
> >>Vielleicht besser:
> [mm]V:=\{x\vektor{1\\
-\frac{a}{b}}|x\in \IR\}[/mm]
>
> wie kommt man dadrauf?
Ist doch das Gleiche. Wenn man mit Vektoren rechnet, dann muss man sie nicht künstlich als Paar darstellen.
>
>
> >> Einsetzen
> [mm]e\quad + x\quad = x[/mm]
> [mm]\hat{e}\vektor{1\\
-a/b}+\hat{x}\vektor{1\\
-a/b}=\hat{x}\vektor{1\\
-a/b}[/mm]
>
> Wie sieht [mm]\hat{e}[/mm] aus? Einzige Anforderung ist ja nur
> [mm]\hat{e}\in\IR [/mm]. Wie sieht damit der Vektor e aus?
>
> falls [mm]e\quad[/mm] = 0
Also ist das neutrale Element [mm] $(0,0)\;$ [/mm] wenn man es als Tupel schreibt.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:06 Fr 04.11.2011 | | Autor: | fred97 |
V ist doch eine Teilmenge des [mm] \IR^2 [/mm] und es ist
V= lineare Hülle von [mm] (1,-\bruch{a}{b}) [/mm] und somit ein 1 dim. Unterraum des [mm] \IR^2
[/mm]
FRED
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:14 Fr 04.11.2011 | | Autor: | wieschoo |
Du hast ja zu 100% recht. Wie immer.
Die Frage ist ja nur, ob das reicht i.S.v. "Der Korrektor akzeptiert es". Bzw. war die Frage
> Wie kann ich diese Axiome beweisen??
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:17 Fr 04.11.2011 | | Autor: | fred97 |
> Du hast ja zu 100% recht. Wie immer.
Nu übertreib mal nicht. Ich hab schon oft Mist gebaut....
FRED
> Die Frage ist ja nur, ob das reicht i.S.v. "Der Korrektor
> akzeptiert es". Bzw. war die Frage
> > Wie kann ich diese Axiome beweisen??
|
|
|
|
