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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:51 Di 06.12.2011 | | Autor: | Mexxchen |
| Aufgabe | | Sei B eine [mm] \IQ [/mm] - Basis von [mm] \IR. [/mm] Zeigen Sie, dass B überabzählbar ist. |
Hallo,
ich komme bei dieser Aufgabe leider überhaupt nicht voran bzw. fehlt mir bis jetzt die zündende Idee.
Gruß
Mexxchen
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:54 Di 06.12.2011 | | Autor: | fred97 |
> Sei B eine [mm]\IQ[/mm] - Basis von [mm]\IR.[/mm] Zeigen Sie, dass B
> überabzählbar ist.
> Hallo,
>
> ich komme bei dieser Aufgabe leider überhaupt nicht voran
> bzw. fehlt mir bis jetzt die zündende Idee.
Damit sollte es brennen: Nimm an, B wäre abzählbar. Zeige damit: dann ist auch [mm] \IR [/mm] abzählbar, Widerspruch !
FRED
>
> Gruß
> Mexxchen
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:08 Di 06.12.2011 | | Autor: | Mexxchen |
Wie kann ich am besten beweisen, dass aus der Abzählbarkeit von B auch die Abzählbarkeit von [mm] \IR [/mm] erfolgt. Mit Intervallschachtelung oder Induktion?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:13 Di 06.12.2011 | | Autor: | fred97 |
> Wie kann ich am besten beweisen, dass aus der
> Abzählbarkeit von B auch die Abzählbarkeit von [mm]\IR[/mm]
> erfolgt. Mit Intervallschachtelung oder Induktion?
Sei [mm] $B=\{b_1,b_2,b_3,...\}$
[/mm]
Jedes x [mm] \in \IR [/mm] hat dann eine Darstellung der Form $x= [mm] \summe_{i=1}^{n}r_ib_i$, [/mm] wobei n und die [mm] r_i [/mm] von x abhängen, und [mm] r_i \in \IQ.
[/mm]
"Wieviele" Audrücke der Form [mm] \summe_{i=1}^{n}r_ib_i [/mm] , mit [mm] r_i \in \IQ [/mm] , gibt es denn (beachte [mm] \IQ [/mm] ist abzählbar !)
FRED
>
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:19 Di 06.12.2011 | | Autor: | Mexxchen |
Somit müsste es ja dann n-Ausdrücke (n [mm] \in \IN) [/mm] geben, oder?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:22 Di 06.12.2011 | | Autor: | fred97 |
> Somit müsste es ja dann n-Ausdrücke (n [mm]\in \IN)[/mm] geben,
> oder?
Quatsch !!!
betrachte:
M:= [mm] \{\summe_{i=1}^{n}r_ib_i: n \in \IN, r_i \in \IQ\}
[/mm]
M ist abzählbar !
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:35 Di 06.12.2011 | | Autor: | Mexxchen |
Stimmt es dann, wenn ich schreibe:
Annahme: B sei abzählbar, also es ex. [mm] {\summe_{i=1}^{n} r_{i}b_{i} : n \in \IN, r_{i} \in \IQ } [/mm] => [mm] \IR [/mm] ist auch abzählbar, da [mm] \IQ \subset \IR [/mm] => Widerspruch?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:40 Di 06.12.2011 | | Autor: | fred97 |
> Stimmt es dann, wenn ich schreibe:
>
> Annahme: B sei abzählbar, also es ex. [mm]{\summe_{i=1}^{n} r_{i}b_{i} : n \in \IN, r_{i} \in \IQ }[/mm]
> => [mm]\IR[/mm] ist auch abzählbar, da [mm]\IQ \subset \IR[/mm] =>
> Widerspruch?
Nein, das kannst Du nicht schreiben.
FRED
>
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:43 Di 06.12.2011 | | Autor: | Mexxchen |
Dann weiß ich nicht weiter.
Wo liegt mein Denkfehler?
Gruß
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:48 Di 06.12.2011 | | Autor: | fred97 |
> Dann weiß ich nicht weiter.
> Wo liegt mein Denkfehler?
Was soll das ? Die Aufgabe habe ich Dir doch (fast) komplett gelöst.
FRED
>
> Gruß
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:53 Di 06.12.2011 | | Autor: | Mexxchen |
Ich stehe wohl gerade auf dem Schlauch. Ich werde mir die Aufgabe deshalb noch genauer anschauen. Vielen dank für deine Hilfe.
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