www.matheraum.de
Das Matheforum.
Das Matheforum des MatheRaum.

Für Schüler, Studenten, Lehrer, Mathematik-Interessierte.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Mathe
  Status Schulmathe
    Status Primarstufe
    Status Mathe Klassen 5-7
    Status Mathe Klassen 8-10
    Status Oberstufenmathe
    Status Mathe-Wettbewerbe
    Status Sonstiges
  Status Hochschulmathe
    Status Uni-Analysis
    Status Uni-Lin. Algebra
    Status Algebra+Zahlentheo.
    Status Diskrete Mathematik
    Status Fachdidaktik
    Status Finanz+Versicherung
    Status Logik+Mengenlehre
    Status Numerik
    Status Uni-Stochastik
    Status Topologie+Geometrie
    Status Uni-Sonstiges
  Status Mathe-Vorkurse
    Status Organisatorisches
    Status Schule
    Status Universität
  Status Mathe-Software
    Status Derive
    Status DynaGeo
    Status FunkyPlot
    Status GeoGebra
    Status LaTeX
    Status Maple
    Status MathCad
    Status Mathematica
    Status Matlab
    Status Maxima
    Status MuPad
    Status Taschenrechner

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Mathe-Seiten:Weitere Fächer:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
StartseiteMatheForenUni-Lineare AlgebraVektorraum, Basis
Foren für weitere Schulfächer findest Du auf www.vorhilfe.de z.B. Geschichte • Erdkunde • Sozialwissenschaften • Politik/Wirtschaft
Forum "Uni-Lineare Algebra" - Vektorraum, Basis
Vektorraum, Basis < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Uni-Lineare Algebra"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

Vektorraum, Basis: Koeffizienten eindeutig best.
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 10:57 Fr 18.11.2005
Autor: heine789

Hallo Leute!

Habe folgende Aufgabe:

Es sei { [mm] a_{1},...,a_{r} [/mm] } eine Basis eines Vektorraumes V. Zeigen Sie, dass für jeden Vektor a [mm] \in [/mm] V die Koeffizienten [mm] \lambda_{1},...,\lambda_{r} [/mm] in der Darstellung a = [mm] \summe_{i=1}^{r} \lambda_{i} a_{i} [/mm] eindeutig bestimmt sind.

Ich hab mir schon ein paar Sachen überlegt, aber ich weiss einfach nicht, wie ich das beweisen soll.

Hat jemand einen Tip für mich?

Gruß heine

        
Bezug
Vektorraum, Basis: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:22 Fr 18.11.2005
Autor: angela.h.b.

Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)

> Hallo Leute!
>  
> Habe folgende Aufgabe:
>  
> Es sei { [mm]a_{1},...,a_{r}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)

} eine Basis eines Vektorraumes V.

> Zeigen Sie, dass für jeden Vektor a [mm]\in[/mm] V die Koeffizienten
> [mm]\lambda_{1},...,\lambda_{r}[/mm] in der Darstellung a =
> [mm]\summe_{i=1}^{r} \lambda_{i} a_{i}[/mm] eindeutig bestimmt
> sind.
>  
> Ich hab mir schon ein paar Sachen überlegt, aber ich weiss
> einfach nicht, wie ich das beweisen soll.
>  
> Hat jemand einen Tip für mich?

Hallo,

wenn ich doch wüßte, was Du Dir überlegt hast, und was genau Du nicht beweisen kannst...
Man will ja nicht offene Türen einrennen oder zuviel schreiben...
Du kannst für "eindeutig" annehmen, daß es eine zweite Darstellung gibt. Wegen der linearen Unabhängigkeit der Vektoren [mm] a_i [/mm] erhältst Du: beide Darstellungen sind gleich.

Gruß v. Angela

>  
> Gruß heine


Bezug
                
Bezug
Vektorraum, Basis: Mein Vorschlag
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:56 Fr 18.11.2005
Autor: heine789

Mir ist klar, dass die Basis-Vektoren linear unabhängig sind und ich jeden Vektor aus V als LK dieser Vektoren schreiben kann.

also

a = [mm] \alpha_{1} a_{1} [/mm] + [mm] \alpha_{2} a_{2} [/mm] + ... + [mm] \alpha_{r} a_{r} [/mm]
a = [mm] \beta_{1} a_{1} [/mm] + [mm] \beta_{2} a_{2} [/mm] + ... + [mm] \beta_{r} a_{r} [/mm]

a-a = ( [mm] \alpha_{1} [/mm] - [mm] \beta_{1} )a_{1} [/mm] + ( [mm] \alpha_{2} [/mm] - [mm] \beta_{2} )a_{2} [/mm] + ... + ( [mm] \alpha_{r} [/mm] - [mm] \beta_{r} )a_{r} [/mm]

[mm] \Rightarrow \alpha_{i} [/mm] = [mm] \beta_{i} [/mm] , i = (1,...,r) [mm] \in [/mm] K

Daraus schließe ich, die Koeffizienten [mm] \lambda [/mm] sind eindeutig bestimmt, oder?

Denn wenn [mm] \alpha [/mm] = [mm] \beta, [/mm] dann gibts es nur einen eindeutigen Koeffizienten.

Bezug
                        
Bezug
Vektorraum, Basis: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:10 Sa 19.11.2005
Autor: angela.h.b.


> Mir ist klar, dass die Basis-Vektoren linear unabhängig
> sind und ich jeden Vektor aus V als LK dieser Vektoren
> schreiben kann.
>  
> also

Seien [mm] \alpha_i, \beta_i \in \IR, [/mm] i=1,...,n mit

>  
> a = [mm]\alpha_{1} a_{1}[/mm] + [mm]\alpha_{2} a_{2}[/mm] + ... +
> [mm]\alpha_{r} a_{r}[/mm]

und

>  a = [mm]\beta_{1} a_{1}[/mm] + [mm]\beta_{2} a_{2}[/mm]
> + ... + [mm]\beta_{r} a_{r}[/mm]

==>

>  
> a-a = ( [mm]\alpha_{1}[/mm] - [mm]\beta_{1} )a_{1}[/mm] + ( [mm]\alpha_{2}[/mm] -
> [mm]\beta_{2} )a_{2}[/mm] + ... + ( [mm]\alpha_{r}[/mm] - [mm]\beta_{r} )a_{r}[/mm]

Da die [mm] a_i, [/mm] i=1,...,n linearunabhängig,

==> [mm] 0=\alpha_i- \beta_i [/mm]

>  
> [mm]\Rightarrow \alpha_{i}[/mm] = [mm]\beta_{i}[/mm] , i = (1,...,r) [mm]\in[/mm] K
>  
> Daraus schließe ich, die Koeffizienten  sind
> eindeutig bestimmt, oder?

Ja, die beiden Darstellungen sind zwangsläufig gleich. Du hast alles richtig gemacht, ich habe ein paar Kleinigkeiten eingefügt. Es sind die Kleinigkeiten für Übergenaue...

Gruß v. Angela


Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Uni-Lineare Algebra"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
www.matheforum.net
[ Startseite | Forum | Wissen | Kurse | Mitglieder | Team | Impressum ]