Vektorraum, Polynome < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:21 Fr 20.01.2012 | | Autor: | Philphil |
| Aufgabe | Sei [mm] P_n [/mm] der Vektorraum der reellen Polynome vom Grad [mm] \le [/mm] n und B = [mm] \{x \to 1, x \ to x, .... , x \to x^n} [/mm] die Mononombasis von [mm] P_n.
[/mm]
Hierfür schreiben wir kurz B = [mm] \{1,x,x^2, .. , x^n}.
[/mm]
a) Bestimmen sie die Abbildungsmatrix [mm] M^{B,B}_(T_a) [/mm] der Verschiebung:
[mm] T_a [/mm] : [mm] P_n \to P_n [/mm] : P [mm] \to T_a(P), T_a(a) [/mm] : [mm] \IR \to \IR [/mm] : x [mm] \to [/mm] P(x + a) in Abhängigkeit von a [mm] \in \IR [/mm] .
b) Bestimmen sie die ABbildungsmatrix [mm] M^{B,B}_D [/mm] der Differentation
D : [mm] P_n \to P_n [/mm] : P [mm] \to [/mm] P' .
c) Überprüfen sie in a) und b) die Gültigkeit der Dimensionsformel. |
Hallo,
ich bräuchte hier mal wieder einen Ansatz, denn ich verstehe quasi gar nicht was sie von mir wollen :/.
Ich bitte um einen Ansatz bzw. um eine Umformulierung der Frage, sodass ich damit etwas anfangen kann...
Danke schonmal
Phil
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> Sei [mm]P_n[/mm] der Vektorraum der reellen Polynome vom Grad [mm]\le[/mm] n
> und B = [mm]\{x \to 1, x \ to x, .... , x \to x^n}[/mm] die
> Mononombasis von [mm]P_n.[/mm]
> Hierfür schreiben wir kurz B = [mm]\{1,x,x^2, .. , x^n}.[/mm]
> a)
> Bestimmen sie die Abbildungsmatrix [mm]M^{B,B}_(T_a)[/mm] der
> Verschiebung:
> [mm]T_a[/mm] : [mm]P_n \to P_n[/mm] : P [mm]\to T_a(P), T_a(a)[/mm] : [mm]\IR \to \IR[/mm] : x
> [mm]\to[/mm] P(x + a) in Abhängigkeit von a [mm]\in \IR[/mm] .
> b) Bestimmen sie die ABbildungsmatrix [mm]M^{B,B}_D[/mm] der
> Differentation
> D : [mm]P_n \to P_n[/mm] : P [mm]\to[/mm] P' .
> c) Überprüfen sie in a) und b) die Gültigkeit der
> Dimensionsformel.
> Hallo,
>
> ich bräuchte hier mal wieder einen Ansatz, denn ich
> verstehe quasi gar nicht was sie von mir wollen :/.
>
> Ich bitte um einen Ansatz bzw. um eine Umformulierung der
> Frage, sodass ich damit etwas anfangen kann...
Hallo,
es wäre nun wirklich gut, wenn Du genauer sagen würdest, wo Dein Problem liegt. Es gibt so vieles, was an einem Lernenden vorbeigehen kann...
Was Polynome vom Höchstgrad n sind, weißt Du sicher.
Ich fasse Erkenntnisse zusammen, die Du in der Vorlesung gewinnen konntest:
In der VL habt Ihr gelernt, wie man Polynome addiert und mit reellen Zahlen multipliziert.
Ihr habt gezeigt, daß die Menge der Polynome zusamen mit diesen Verknüpfungen einen VR bildet.
Vektoren sind die Elemente eines Vektorraumes. In Deiner Aufgabe sind die Vektoren also Polynome.
Weil wir einen VR haben, gibt es auch eine Basis.
Offenbar kann man aus den n+1 Polynomen [mm] 1,x,x^2,...,x^n [/mm] per Linearkombination jedes Polynom vom Höchstgrad n erzeugen, dabei ist keins verzichtbar, also haben wor eine Basis vorliegen.
Die Dimension des Raumes ist damit =n+1.
Betrachtet wird nun eine lineare Abbildung [mm] T_a, a\in \IR, [/mm] welche Polynome auf Polynome abbildet. Die Definitionsgleichung ist angegeben, ich liefere Dir ein Beispiel:
wir wollen den Funktionswert von [mm] 5x^2+2x+1 [/mm] wissen.
Es ist [mm] T_a(5x^2+2x+1)=5(x+a)^2+2(x+a)+1=5x^2+(10a+2)x+5a^2+2a+1
[/mm]
Die Abbildung ist linear, das muß lt. Aufgabe nicht gezeigt werden, kann man sich aber trotzdem mal überlegen.
Lineare Abbildungen kann man durch Matrizen darstellen.
Dazu nutzt man, daß man jedem Polynom eindeutig einen Koordinatenvektor bzgl einer vorgegebenen Basis zuordnen kann.
[mm] M_{T_a}^{B,B} [/mm] ist die Matrix, welche bei Multiplikation mit einem Koordinatenvektor bzgl B sein Bild unter der Abbildung [mm] T_a [/mm] liefert, und zwar in Koordinaten bzgl B.
Diese Matrix ist in unserem Fall eine [mm] (n+1)\times [/mm] (n+1)-Matrix, weil wir aus einem Raum der dim n+1 in einen Raum der dim n+1 abbilden.
Schauen wir uns für den Vektor von oben an, was die Matrix leisten soll:
[mm] 5x^+2x+1=\vektor{1\\2\\5\\0\\\vdots\\0}_{(B)},
[/mm]
und es muß sein
[mm] M_{T_a}^{B,B}*\vektor{5\\2\\5\\0\\\vdots\\0}=\vektor{5a^2+2a+1\\10a+2\\5\\0\\\vdots\\0}_{(B)}= 5x^2+(10+A)x+5a^2+2a+1.
[/mm]
Wie gewinnt man diese Matrix?
Sollte es wirklich sein, daß ich Dir noch nicht das Sprüchlein zum Auswendiglernen und nie wieder vergessen aufs Auge gedrückt habe?
Sprüchlein:
"In den Spalten der Darstellungsmatrix [mm] M_F{B,C} [/mm] von F bzgl der Basen B im Start- und C im Zielraum stehen die Bilder der Basisvektoren von B unter der Abbildung F in Koordinaten bzgl C."
Begegne mir nie wieder ohne diesen Spruch in der Westentasche!
So. Alle Fragen, die es geben kann, sind geklärt.
Fang' an!
LG Angela
>
> Danke schonmal
>
> Phil
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:19 Sa 21.01.2012 | | Autor: | Philphil |
Hi,
Auf jedenfall vielen Dank für deine ausführliche Antwort, ich habe das auch verstanden wie du das machst, jedoch bringt mich das A vollkommen aus dem konzept. Ich hab jetzt mal so angefangen:
1 [mm] \to [/mm] 1 [mm] \vektor{1 \\ 0 \\ 0} [/mm] (erstmal für n < 3 )
x [mm] \to [/mm] x + a [mm] \vektor{a \\ 1 \\ 0} [/mm] stimmt das so?!
[mm] x^2 \to x^2+2ax+a^2 \vektor{0 \\ 0 \\ x + 2a + a^2 }
[/mm]
Ich weis nicht ich bin total verwirrt mit dem a :(
Gruß Phil
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Hallo Philphil,
> Hi,
>
> Auf jedenfall vielen Dank für deine ausführliche Antwort,
> ich habe das auch verstanden wie du das machst, jedoch
> bringt mich das A vollkommen aus dem konzept. Ich hab jetzt
> mal so angefangen:
>
> 1 [mm]\to[/mm] 1 [mm]\vektor{1 \\ 0 \\ 0}[/mm] (erstmal für n < 3 )
Um bei der Notation zu bleiben, muss hier stehen:
[mm] M_{T_a}^{B,B}\cdot{}\vektor{1\\0\\0}=\vektor{1\\0\\0}_{(B)}=1*1[/mm]
> x [mm]\to[/mm] x + a [mm]\vektor{a \\ 1 \\ 0}[/mm] stimmt das so?!
[mm] M_{T_a}^{B,B}\cdot{}\vektor{0\\1\\0}=\vektor{a\\1\\0}_{(B)}=1*x+a*1[/mm]
Ja, das stimmt so.
> [mm]x^2 \to x^2+2ax+a^2 \vektor{0 \\ 0 \\ x + 2a + a^2 }[/mm]
>
Das stimmt leider nicht:
[mm] M_{T_a}^{B,B}\cdot{}\vektor{0\\0\\1}=\vektor{a^{2}\\2a\\1}_{(B)}=1*x^{2}+2a*x+a^2*1[/mm]
> Ich weis nicht ich bin total verwirrt mit dem a :(
>
> Gruß Phil
Gruss
MathePower
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