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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:29 Di 16.11.2004 | | Autor: | Shaguar |
Moin,
folgende Aufgabe habe ich fast gelöst bzw. bin mir nicht ganz sicher.
Sei V ein Vektorraum, U ein Unterraum, B eine Basis von V.
1. Zeigen sie das B [mm] \cap [/mm] U linear unabhängig[LU] ist.
2. Kann B [mm] \cap [/mm] U eine Basis von U sein?
3. Muss B [mm] \cap [/mm] U immer eine Basis von U sein?
Ich hab mir folgendes überlegt. Für B [mm] \cap [/mm] U gibt es 3 verschiedene Fälle:
a) [mm] B\cap [/mm] U = ein Teil von B z.B. {b(1), b(5),b(8)} b(i) [mm] \in [/mm] B
b) [mm] B\cap [/mm] U = B
c) [mm] B\cap [/mm] U = [mm] \emptyset
[/mm]
zu 1. Fall a) ist LU b) ist LU c) was kann man über die lineare Abhängigkeit von der leeren Menge aussagen?
zu 2. Fall a) ja(nur zu 90% sicher) b) ja c) definitiv nein
zu 3. Fall a) ??? b) ja c) nein
So kann mir jemand bei "1c", "2a" und besonders bei "3a" helfen. Könnte man B [mm] \cap [/mm] U so definieren, dass es dabei nie die leere Menge entsteht? Dadurch könnte man die Fragen ja viel leichter und genauer mit ja oder nein beantworten.
Gruß Shaguar
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Deine Gedanken gehen schon mal in die richtige Richtung.. Also versuche dir das am besten mal genau vorzustellen: Nimm den [mm] $\IR^{3}$ [/mm] und die kanonische Basis. Dann nimm mal als U einfach die Ebene, die von zwei Basisvektoren aufgespannt wird. Wie sieht das nun aus? Geh mal Deine Fälle durch...dann siehst du vielleicht klar... Hoffe der kleine Tip war hilfreich ;)
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:43 Mi 17.11.2004 | | Autor: | Shaguar |
Moin
Danke erstmal für die schnelle Antwort. Die kanonische Basis ist doch {(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)}. Ist das was ich aufgeschrieben habe alles falsch? Ich glaube Du hast mich mehr verwirrt. Vielleicht nochmal ne kleine Rückantwort?
MFG Shaguar
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Hallo!
Nein, Deine Gedanken waren schon Okay...
Also, es gilt immer: $B [mm] \cap [/mm] U [mm] \subseteq [/mm] B$. Damit ist die Menge immer linear unabhängig. Ist sie nicht leer, dann enthält sie Basisvektoren und diese sind linear unabhängig - und die leere Menge ist nach Def. linear unabhängig. Denn eine Menge $M$ von Vektoren heißt linear unabhängig, wenn jede Linearkombination von Vektoren aus $M$ eine gewisse Bedingung erfüllt - für $M = [mm] \emptyset$ [/mm] gibt es keine Linearkombinationen, die man prüfen muß, also ist man fertig. 
Zum 2.) : natürlich KANN $B [mm] \cap [/mm] U$ eine Basis von $U$ sein, z.B. falls $U = V$ oder falls $U$ definiert ist als der von einem Teil der Basis $B$ erzeugte Unterraum.
Aber 3.): $B [mm] \cap [/mm] U$ MUSS keine Basis von $U$ sein - zum Einen kann $B [mm] \cap [/mm] U$ leer sein (z.B. $V = [mm] \IR^3, [/mm] B= [mm] \{ e_1, e_2, e_3 \}$ [/mm] und $U = [mm] \{ \pmat{a\\a\\a} : a \in \IR \}$) [/mm] oder auch ein Teil der Basis, aber eben nicht genug:
Für $V$ und $B$ wie oben und $U = [mm] \{ \pmat{a\\a\\b} : a,b \in \IR \} [/mm] = [mm] \langle \pmat{1\\1\\0}, \pmat{0\\0\\1} \rangle$ [/mm] gilt: $B [mm] \cap [/mm] U = [mm] e_3$, [/mm] aber [mm] $e_3$ [/mm] allein spannt $U$ noch nicht auf.
Alles klar? Wenn man was widerlegen will: am besten ein Gegenbeispiel bringen!
Lars
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