Vektorraum X Basis < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:33 Di 03.05.2005 | | Autor: | Freak84 |
{ [mm] a_{i} [/mm] | 1 [mm] \le [/mm] i [mm] \le [/mm] n } sei eine Basis des Vektorraums X. Man zeige : dann bilden die Vektoren
[mm] b_{k} [/mm] = [mm] \summe_{i=1}^{k} a_{i} [/mm] , 1 [mm] \le [/mm] k [mm] \le [/mm] n
auch eine Basis von X
Da alle vektoren ja unabhängig sind und k [mm] \le [/mm] n ist fehlen mir ja Basisvektoren, die ich doch auch nicht durch Linearkombination erzeugen kann da sie linear unabhängig sind ? Oder habe ich hier einen schweren Denkfehler.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:07 Di 03.05.2005 | | Autor: | Paulus |
Hallo Michael
> [mm]a_{i}[/mm] | 1 [mm]\le[/mm] i [mm]\le[/mm] n sei eine Basis des Vektorraums
> X. Man zeige : dann bilden die Vektoren
>
> [mm]b_{k}[/mm] = [mm]\summe_{i=1}^{k} a_{i}[/mm] , 1 [mm]\le[/mm] k [mm]\le[/mm] n
>
> auch eine Basis von X
>
>
> Da alle vektoren ja unabhängig sind und k [mm]\le[/mm] n ist fehlen
> mir ja Basisvektoren, die ich doch auch nicht durch
> Linearkombination erzeugen kann da sie linear unabhängig
> sind ? Oder habe ich hier einen schweren Denkfehler.
Ich verstehe nicht, warum denn Basisvektoren fehlen. ![[verwirrt]](/images/smileys/verwirrt.gif "[verwirrt]")
Nimm doch zum Beispiel, einfach um das einzusehen, einmal $n=3$ an.
Dann hast du als Basis dieses:
[mm] $a_1$, $a_2$ [/mm] und [mm] $a_3$.
[/mm]
Du hast aber auch drei Vektoren [mm] $b_1$, $b_2$ [/mm] und [mm] $b_3$.
[/mm]
Nämlich:
[mm] $b_1=a_1$
[/mm]
[mm] $b_2=a_1+a_2$
[/mm]
und
[mm] $b_3=a_1+a_2+a_3$
[/mm]
Zu zeigen ist jetzt nur, dass der Nullvektor als Linearkombination der 2. Basis nur als Trivialdarstellung in Frage kommt, wobei nach Voraussetztung der Nullvektor als Linearkombimation der 1. Basis nur durch die triviale Linearkombination darstellbar ist.
Mit $n=3$ also so:
Zu zeigen ist, dass in folgender Gleichung zwingend [mm] $x_1$, $x_2$ [/mm] und [mm] $x_3$ [/mm] $0_$ sein müssen:
[mm] $x_1b_1+x_2b_2+x_3b_3=0$
[/mm]
Nach Definition ist das:
[mm] $x_1a_1+x_2(a_1+a_2)+x_3(a_1+a_2+a_3)=0$
[/mm]
Distributivgesetz:
[mm] $x_1a_1+x_2a_1+x_2a_2+x_3a_1+x_3a_2+x_3a_3=0$
[/mm]
Kommutativgesetz:
[mm] $x_1a_1+x_2a_1+x_3a_1+x_2a_2+x_3a_2+x_3a_3=0$
[/mm]
Assotiativgesetz:
[mm] $(x_1a_1+x_2a_1+x_3a_1)+(x_2a_2+x_3a_2)+x_3a_3=0$
[/mm]
Distributivgesetz:
[mm] $(x_1+x_2+x_3)a_1+(x_2+x_3)a_2+x_3a_3=0$
[/mm]
Weil das nur durch eine triviale Darstellung geht (die [mm] $a_i$ [/mm] bilden ja eine Basis, das ist die Voraussetzung), kannst du zuerst schliessen, das [mm] $x_3$ [/mm] Null sein muss. Das kannst du einsetzen und bekommst:
[mm] $(x_1+x_2)a_1+x_2a_2=0$
[/mm]
Wie oben kannst du schliessen, dass [mm] $x_2$ [/mm] Null sein muss und wieder einsetzen:
[mm] $x_1a_1=0$
[/mm]
Und schliesslich noch [mm] $x_1=0$
[/mm]
Das müsstest du jetzt noch auf den allgemeineren Fall übertragen. 
Das Kommutativgesetzt ist dann einfach ein Vertauschen der Reihenfolge der Summensymbole.
Mit lieben Grüssen
Paul
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:05 Di 03.05.2005 | | Autor: | Freak84 |
So ist es ja klar
Aber ich verstehe die aufgabe so.
Dort steht ja 1 [mm] \le [/mm] k [mm] \le [/mm] n [mm] \Rightarrow [/mm] k kann auch kleiner n sein oder verstehe ich das falsch ?
Gruß
michael
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:19 Di 03.05.2005 | | Autor: | Marcel |
Hi Michael!
> So ist es ja klar
> Aber ich verstehe die aufgabe so.
> Dort steht ja 1 [mm]\le[/mm] k [mm]\le[/mm] n [mm]\Rightarrow[/mm] k kann auch
> kleiner n sein oder verstehe ich das falsch ?
Ja, irgendwie scheint dir nicht ganz klar zu sein, was der Autor dir damit sagen will.
> $ [mm] b_{k} [/mm] $ = $ [mm] \summe_{i=1}^{k} a_{i} [/mm] $ , 1 $ [mm] \le [/mm] $ k $ [mm] \le [/mm] $ n
Das meint nicht:
Für ein festes $k$ zwischen (einschließlich) $1$ und $n$.
Sondern gemeint ist:
Dieses $1 [mm] \le [/mm] k [mm] \le [/mm] n$ dient dazu, um die [mm] $b_k$'s [/mm] zu definieren. Das $1 [mm] \le [/mm] k [mm] \le [/mm] n$ soll andeuten, dass dein $k$ alle natürlichen Zahlen zwischen (jeweils einschließlich) $1$ und $n$ durchläuft. Vielleicht hilt es dir, wenn ich es anders formuliere:
[m] b_{k} = \summe_{i=1}^{k} a_{i} [/m] für alle $k$ mit [m]1 \le k \le n[/m]. Oder:
[m] b_{k} = \summe_{i=1}^{k} a_{i} [/m] für [m]k=1,\,2,\,\ldots,\,n[/m]
Mit anderen Worten, du hast zu zeigen:
Wenn [m]\left\{a_i|\;1\le i \le n\right\}[/m] eine Basis des Vektorraums $X$ ist, dann ist auch [m]\left\{b_i|\;1\le i \le n\right\}[/m] eine Basis des Vektorraums $X$.
Beispiele anhand von konkreten Werten für $n$:
1.) Sei $n=2$ und [m]\left\{a_i|\,1 \le i \le 2\right\}=\left\{a_1,\,a_2\right\}[/m] eine Basis von $X$. Dann hast du zu zeigen, dass dann auch [m]\left\{b_i|\,1 \le i \le 2\right\}=\left\{b_1,\,b_2\right\}[/m] eine Basis von $X$ ist, wobei:
[mm] $b_1=a_1$, $b_2=a_1+a_2$.
[/mm]
M.a.W.:
Du sollst zeigen, dass dann auch [m]\left\{b_i|\,1 \le i \le 2\right\}=\left\{b_1,\,b_2\right\}=\left\{a_1,\,a_1+a_2\right\}[/m] eine Basis von $X$ ist!
2.) Sei $n=5$ und [m]\left\{a_i|\,1 \le i \le 5\right\}=\left\{a_1,\,a_2,\,a_3,\,a_4,\,a_5\right\}[/m] eine Basis von $X$. Dann hast du zu zeigen, dass dann auch [m]\left\{b_i|\,1 \le i \le 5\right\}=\left\{b_1,\,b_2,\,b_3,\,b_4,\,b_5\right\}[/m] eine Basis von $X$ ist, wobei:
[mm] $b_1=a_1$, $b_2=a_1+a_2$, $b_3=a_1+a_2+a_3$, $b_4=a_1+a_2+a_3+a_4$, $b_5=a_1+a_2+a_3+a_4+a_5$.
[/mm]
M.a.W.:
Du sollst zeigen, dass dann auch [m]\left\{b_i|\,1 \le i \le 5\right\}=\left\{b_1,\,b_2,\,b_3,\,b_4,\,b_5\right\}=\left\{a_1,\,a_1+a_2,\,a_1+a_2+a_3,\,a_1+a_2+a_3+a_4,\,a_1+a_2+a_3+a_4+a_5\right\}[/m] eine Basis von $X$ ist!
Die Beispiele sollten natürlich nur dazu dienen, um dir die Aufgabenstellung etwas verständlicher zu machen. In deiner Aufgabe ist das $n [mm] \in \IN$ [/mm] ja beliebig, aber die Aufgabe wird dadurch nicht besonders viel schwieriger, eigentlich geht es vom Prinzip genauso, wie Paul es dir für den Fall $n=3$ vorgerechnet hat!
Ist dir die Aufgabenstellung jetzt klarer?
Viele Grüße,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:17 Di 03.05.2005 | | Autor: | Freak84 |
Ja Vielen dank jetzt ist es ja kein Problem mehr ?
Ich muss ja jetzt einfach zeigen das durch die Summenbildung die Lineare Hülle der Basis nicht verändert wird und das geht ganz einfach
danke
Michael
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:34 Di 03.05.2005 | | Autor: | Marcel |
Hallo Michael!
> Ja Vielen dank jetzt ist es ja kein Problem mehr ?
> Ich muss ja jetzt einfach zeigen das durch die
> Summenbildung die Lineare Hülle der Basis nicht verändert
> wird und das geht ganz einfach
Irgendwie kann ich hier nicht nachvollziehen, welche Idee du hast?!
(Meinst du das vielleicht so:
Du sagst: [mm] $b_1,\,b_2,\,\ldots,\,b_n$ [/mm] sind ja $n$ Vektoren aus $X$. Und da man hier (wegen [mm] $\dim(X)=n$) [/mm] wenigstens $n$ Basisvektoren braucht, genügt es, zu zeigen, dass [mm] $\{b_i|\,1 \le i \le n\}$ [/mm] auch $X$ aufspannt, also ein minimales Erzeugendensystem ist. Dann ist deine Idee okay ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") ! Trotzdem würde ich es anders machen, siehe unten!)
Ich würde aber so vorgehen:
Da [mm] $\left\{a_i|\,1 \le i \le n \right\}$ [/mm] eine Basis von $X$ ist, folgt [mm] $\dim(X)=n$. [/mm] Nun genügt es (nach einem Satz, den ihr bestimmt in eurer Vorlesung hattet; schlag das bitte mal nach), um zu zeigen, dass auch [m]\left\{b_i|\,1 \le i \le n \right\}[/m] eine Basis von $X$ ist, nachzurechnen, dass die Vektoren [mm] $b_1,\,b_2,\,\ldots,\,b_n$ [/mm] linear unabhhängig sind (oder, je nachdem, wie genau euer Prof. formuliert:
Es genügt, die lineare Unabhängigkeit des Systems [m]\left\{b_i|\,1 \le i \le n \right\}[/m] nachzurechnen.
Das (die lineare Unabhängigkeit des Systems [m]\left\{b_i|\,1 \le i \le n \right\}[/m]) ist nur ne andere (präziesere) Sprechweise dafür, dass, wie man etwas lax sagt, [mm] $b_1,\,b_2,\,\ldots,\,b_n$ [/mm] linear unabhängig sind!).
Viele Grüße,
Marcel
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