Vektorraum aller Polynome < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe 1 | Seien $K$ ein Körper und [mm] $n\in\mathbb{N}_0$ [/mm] der $K$-Vektorraum aller Polynome $f$ mit [mm] $\deg{f}\leq [/mm] n$.
[mm] (a) [/mm] Sei [mm]g \in K[x][/mm].
[mm] ( i ) [/mm]Zeigen Sie, dass [mm] $$D(x^ng)=nx^{n-1}g+x^nD(g).$$
[/mm]
$(ii)$ Seien $g,f [mm] \in [/mm] K[x].$ Zeigen Sie weiter, dass
$$D(fg)=D(f)g+fD(g).$$ |
| Aufgabe 2 | | $(b)$ Seien [mm] $i\in\mathhb{N}_0$ [/mm] und [mm] a \in K [/mm]. Zeigen Sie, dass [mm] $D((x-a)^i)=i(x-a)^{i-1}$. [/mm] |
| Aufgabe 3 | $ (c) $ Sei jetzt $char(K)=0$ und [mm] a \in K [/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
und $n \in \mathbb{N}_0$. Für $0\leq i \leq n$ seien $L_i:K[x]\to K$ das Linear Funktional definiert durch $L_i(f):=D^{(i)}:=D^{(i)}(f)(a)$ und $P-i:=\frac{(x-a)^i}{i!}\in \mathbb{P}_n$. Zeigen Sie, dass $$L_i(P_j)=\delta_{ij}$$ |
Guten Abend,
ich wollte hier mal meine Lösungsversuche reinstellen um eventuelle Korrektur- und/oder Verbesserungsvorschläge zu erhalten :)
Also bei der ersten Teilaufgabe bin ich wie folgt vorgegangen:
$(a)(i)$ $g\in K[x]$ mit $g:=\sum_{i=0}^n{a_ix^i}$
$D(x^ng)$ ist somit $D(x^n\sum_{i=0}{a_ix^i})=D(\sum_{i=0}^n{x^na_ix^i})=D(\sum_{i=0}^n{a_ix^{n+i}})
Leiten wir das nun ab:
$\Rightarrow \sum_{i=0}^n{(n+i)a_ix^{(n+i)-1}=\sum_{i=0}^n{n*a_ix^{(n+i)-1}+\sum_{i=0}^n{ia_i^{(n+i)-1}$
$=\sum_{i=0}^n{n*a_in^{n-1}*x^i}+\sum_{i=0}^n{i*a_ix^n*x^{i-1}}$
$=nx^{n-1}\sum_{i=0}^n{a_ix^i+x^n}+x^n\sum_{i=0}^n{ia_ix^{i-1}}$
da $\sum_{i=0}^n{a_ix^i}=g$ und $\sum_{i=0}^n{ia_ix^{i-1}}=D(g)$
$\Rightarrow D(x^ng)=nx^{n-1}g+x^nD(g)\Box$
$(ii)$ definiert man nun $x^n:=1$ folgt, da $nx^{n-1}=D(f)$ und $x^n=f$ aus $D(x^ng)=nx^{n-1}g+x^nD(g)$:
$D(fg)=D(f)g+fD(g)\Box$
Stimmt mein Lösungsversuch so weit?
Vielen Dank für die Mühe,
lG
HugATree
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
$(b)$ $(x-a)^i=\sum_{i=0}^n{\binom{n}{i}x^i(-a)^{n-1}}$
$\Rightarrow D\left(\sum_{i=0}^n{\binom{n}{i}x^i(-a)^{n-i}\right)}=\sum_{i=0}^n{\binom{n}{i} i x^{i-1}(-a)^{n-i}\\ =i\sum_{i=0}^n{\binom{n}{i}x^{i-1}(-a)^{n-i}}$.
Da $\sum_{i=0}^n{\binom{n}{i}x^{i-1}(-a)^{n-i}}=(x-a)^{i-1}$
$\Rightarrow i\sum_{i=0}^n{\binom{n}{i}x^{i-1}(-a)^{n-i}}=i(x-a)^{i-1}$
$\Rightarrow D((x-a)^{i})=i(x-a)^{i-1}\Box$
Ist das so auch in Ordnung?
lG HugATree
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Eingabefehler: "\left" und "\right" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "\left" und "\right" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Nach Voraussetzung gilt: $L_i(P_j)=D^{(i)}(P_j)(a)=(P_j)^(i)(a)$
Setze: $P_j=\frac{1}{j!}(x-a)^j$
Um (P_j)^{(i)}$ zu erhalten, betrachte: $f(x)^{(i)}=x^n\\ f'(x)=nx^{n-1}, f''(x)=n*(n-1)x^{n-2}, f'''(x)=n(n-1)(n-2)x^{n-3}\\ \Rightarrow f^{(i)}(x)=\left(\produkt_{n=1}^i{n-(i-1)}\right)*x^{n-i}$
$\Rightarrow (P_j)^{(i)}=\frac{1}{j!}\left(\produkt_{n-1}^i{j-(n-1)}\right) (x-a)^{j-i}$
$\Rightarrow L_i(P_j)=\left( \frac{1}{j!}\left( \produkt_{n-1}^i{j-(n-1)}\right)(x-a)^{j-i}\right) (a)$
Betrachte nun $L_i(P_j)$:
$(i)$ Für $i=j$:
$L_i(P_j)=\left(\frac{1}{i!}\left(\produkt_{n-1}^i{i-(n-1)\right) (x-a)^{i-j}\left) (a)}=\frac{1}{i!}\left(\produkt_{n-1}^i{i-(n-1)}\right)(a-a)^{i-i}$
$=\frac{1}{i!}\left(\produkt_{n-1}^ii-(n-1)\right)0^0\qquad (0^0=1)$
da gilt: $\produkt_{n=1}^{i}{i-(n-1)}=i!$ und $0^0=1$ folgt: $L_i(P_i)=\frac{i!}{i!}*1=1
$(ii)$ Für $i\neq j$:
$L_i(P_j)=\left(\frac{1}{j!}\left(\produkt_{n=1}^{i}{j-(n-1)}\right)(x-a)^{j-i}\right) (a)\\ =\frac{1}{j!}\left(\produkt_{n=1}^i{j-(n-1)}\right) (a-a)^{j-i}\qquad (\text{ da } i\neq j\text{, gilt: } i-j\neq 0)$
$=\frac{1}{j!}\left(\produkt_{n=1}^i{j-(n-1)}\right)*0$
$=0$
$\Rightarrow L_i(P_j)=\begin{cases} 1, & \mbox{für } i=j\\ 0, & \mbox{für } i\neq j \end{cases}=\delta_{ij}\Box$
Ist das in Ordnung so?
lG
HugATree
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 01:20 Di 08.05.2012 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:20 Di 08.05.2012 | | Autor: | matux |
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:20 Di 08.05.2012 | | Autor: | matux |
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