Vektorraum beweise finden < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:58 So 11.11.2012 | | Autor: | Duckx |
| Aufgabe | $(V,+,K)$ sei ein Vektorraum. Zeigen Sie, dass für alle $v [mm] \in [/mm] V$ und [mm] $\lambda \in [/mm] K$ gilt:
a) [mm] $\lambda \cdot{}0=0$
[/mm]
b) $0 [mm] \cdot{}v=0$
[/mm]
c) [mm] $(-1)\cdot{}v=-v$
[/mm]
d) Gilt [mm] $\lambda \cdot [/mm] v=0$, dann ist [mm] $\lambda=0$ [/mm] oder $v=0$ |
Ich weiß nicht, wo ich bei den Teilaufgaben ansetzen soll. Für mich ist das klar, dass das gilt. Daher ist es für mich schwer für solch "einfachen" Regeln Beweise zu finden.
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a) z.z. [mm] $\lambda \cdot [/mm] 0 = 0$
du hast nur die Vektorraumaxiome zur Verfügung und weißt 0+0=0.
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 20:23 So 11.11.2012 | | Autor: | Duckx |
Also mein ansatz:
[mm] $\lambda \cdot{} (v+w)=\lambda \cdot{} [/mm] v + [mm] \lambda \cdot{} [/mm] w$
$0+0=0$
[mm] $\lambda \cdot{} (0+0)=\lambda \cdot{} [/mm] 0 + [mm] \lambda \cdot{} 0=\lambda \cdot{} [/mm] 0=0$
Aber das ist noch keine wirkliche begründung oder?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:54 So 11.11.2012 | | Autor: | Duckx |
ok neuer versuch:
$ [mm] \lambda \cdot{} (0+0)=\lambda \cdot{} [/mm] 0 + [mm] \lambda \cdot{} 0=\lambda \cdot{} [/mm] 0$
[mm] $v=\lambda \cdot{} [/mm] 0$
$v+v=v$
[mm] $\overline{v}+v=0 \to v=-\overline{v}$
[/mm]
$v+v=v \ \ \ \ [mm] \vert [/mm] + [mm] \overline{v}$
[/mm]
$v=0$
[mm] $\lambda \cdot{} [/mm] 0=0$
Ist das damit bewiesen?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:44 So 11.11.2012 | | Autor: | chrisno |
> ok neuer versuch:
> [mm]\lambda \cdot{} (0+0)=\lambda \cdot{} 0 + \lambda \cdot{} 0=\lambda \cdot{} 0[/mm]
Du musst an jedes Gleichheitszeichen schreiben, aus welchem Axiom es folgt.
>
> [mm]v=\lambda \cdot{} 0[/mm]
Dann musst Du schreiben, wo Du etwas definierst.
> [mm]v+v=v[/mm]
> [mm]\overline{v}+v=0 \to v=-\overline{v}[/mm]
Was ist da passiert?
> [mm]v+v=v \ \ \ \ \vert + \overline{v}[/mm]
Das konntest Du direkt hinschreiben.
>
> [mm]v=0[/mm]
> [mm]\lambda \cdot{} 0=0[/mm]
>
> Ist das damit bewiesen?
Die Idee ist brauchbar. Wenn Du das ordentlich aufschreibst, wird daraus ein Beweis.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:55 So 11.11.2012 | | Autor: | Duckx |
ok und b) ist ja eigentlich äquivalent zu a) oder? Also kann ich dort genauso vorgehen?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:59 So 11.11.2012 | | Autor: | chrisno |
nicht genau so, aber ziemlich ähnlich
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:00 So 11.11.2012 | | Autor: | Duckx |
Wo ändert sich denn etwas an dem Beweis von b) im Vergleich zu a)?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:27 So 11.11.2012 | | Autor: | chrisno |
fang einfach an, es aufzuschreiben.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:35 So 11.11.2012 | | Autor: | Duckx |
$0 [mm] \cdot{} [/mm] v =0$
$0 + v=v$
[mm] $\to [/mm] 0 [mm] \cdot{} [/mm] (0 + v)=0$
$0*0+v*0=0$
So weit bin ich. Allerdings komme ich ab da nicht mehr weiter.
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> [mm]0 \cdot{} v =0[/mm]
> [mm]0 + v=v[/mm]
> [mm]\to 0 \cdot{} (0 + v)=0[/mm]
>
> [mm]0*0+v*0=0[/mm]
>
> So weit bin ich. Allerdings komme ich ab da nicht mehr
> weiter.
Hallo,
Du solltest immer deutlich machen, welches die zu beweisende Behauptung ist, wo Dein Beweis beginnt, und welches die Begründung für jeweils vollzogene Schritte ist.
Damit schaffst Du Klarheit nicht zuletzt in Deinem Hirn.
Auch ein paar Worte sind kein Fehler...
Das da oben bringt nichts.
Behauptung: [mm] 0_K*v=0_V [/mm] für alle [mm] v\in [/mm] V.
Beweis: sei [mm] v\in [/mm] V.
Es ist [mm] 0_K*v=(0_K+0_K)*v= [/mm] ..., denn ...
==> ..., denn ...
LG Angela
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