Vektorraum de reellen Polynome < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 00:37 Sa 20.11.2004 | | Autor: | SarahF |
Hi!
Ich habe leider gar keine Idee, wie ich diese Aufgabe hier lösen kann:
Es sei P der Vektorraum der reellen Polynome
f(x)= [mm] \summe_{j=0}^{n}a_{j} x^{j}, a_{j} \in \IR, [/mm] n [mm] \in \INo.
[/mm]
Gib eine Basis für P an.
Es wäre super, wenn mir jemand helfen würde!
Danke schonmal!
MfG,
Sarah.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo Sarah!
> Ich habe leider gar keine Idee, wie ich diese Aufgabe hier
> lösen kann:
> Es sei P der Vektorraum der reellen Polynome
> f(x)= [mm]\summe_{j=0}^{n}a_{j} x^{j}, a_{j} \in \IR,[/mm] n [mm]\in \INo.
[/mm]
>
> Gib eine Basis für P an.
Also, ich weiß nicht, ob ich dir helfen kann ohne dir direkt eine Lösung zu präsentieren...
Was muss denn für eine Basis gelten? Richtig, sie muss den Vektorraum erzeugen können. Und dein Vektorraum enthält ganz viele Polynome, z. B.
4 oder [mm] 2x^2 [/mm] oder [mm] 348763x^{2358763} [/mm] oder auch [mm] 4x^2+15x^6 [/mm] oder sonstwas. Ist dir das klar?
Und mit deiner Basis musst du jetzt jedes dieser Polynome darstellen können, also sowohl Polynome, die nur aus einer Zahl bestehen, wenn also n= 0 ist, du also nur ein [mm] a_0 [/mm] hast, aber auch Polynome, die aus soundsoviel x bestehen, also wenn n=1 ist und [mm] a_0 [/mm] = 0 ist, aber [mm] a_1 [/mm] eine Zahl [mm] \not= [/mm] 0.
Um z. B. diese zwei Polynome darzustellen, kannst du am einfachsten die Vektoren 1 und x nehmen. Also mit der 1 kannst du durch die Koeffizienten alle Zahlen darstellen, mit dem x durch die Koeffizienten alle Vielfachen von x. Und so muss das jetzt für alle deine Potenzen von x weitergehen. Schaffst du das jetzt alleine?
Viele Grüße
Bastiane
![[gutenacht]](/images/smileys/gutenacht.gif "[gutenacht]")
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:04 Sa 20.11.2004 | | Autor: | Micha |
Hallo Sarah!
Das ist jetzt ne zweite Antwort, da es offenbar zwei identische Fragen gab.
> Hi!
>
> Ich habe leider gar keine Idee, wie ich diese Aufgabe hier
> lösen kann:
> Es sei P der Vektorraum der reellen Polynome
> f(x)= [mm]\summe_{j=0}^{n}a_{j} x^{j}, a_{j} \in \IR,[/mm] n [mm]\in \IN[/mm]
> o.
>
> Gib eine Basis für P an.
>
Die Aufgabe ist gar nicht so schwer. Was brauche ich denn für eine Basis? Das ist hier eine Menge von Polynomen, die alle Polynome "erzeugt" und die linear unabhängig sind.
Was heißt erzeugt?
Nun ich muss mir ein beliebiges Polynom aus P nehmen können und es aus meinen Polynomen der Basis "basteln" können.
Meine Idee wäre jetzt: [mm] $B_p [/mm] = [mm] \{b_0 = 1, b_1 = x , b_2= x^2, b_3= x^3, b_4= x^4, \dots, b_n= x^n \}$
[/mm]
Dann kann ich mein Polynom [mm] $x^2+45x-16$ [/mm] darstellen als $ [mm] 1b_2 [/mm] +45 [mm] b_1 -16b_0$.
[/mm]
Wähle dir mal ein beliebiges Polynom jetzt aus und du siehst, dass du es mit dieses Basis erzeugen kannst.
Was jetzt noch fehlt ist der Beweis, dass die Basis linear unabhängig ist. Das bedeutet, dass das Nullpolynom:
$0 = µ_0 [mm] b_0+ [/mm] µ_1 [mm] b_1+ [/mm] µ_2 [mm] b_2 [/mm] + [mm] \dots [/mm] + µ_n [mm] b_n$ [/mm] nur durch die triviale Wahl von $µ_0 = µ_1 = [mm] \dots [/mm] = µ_n= 0$ erzeugbar ist.
Das kannst du dir ja auch noch mal überlegen, ob das so stimmt.
Gruß Micha 
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 01:34 So 21.11.2004 | | Autor: | SarahF |
Hallo!
Vielen Dank für eure Antworten!
Ich hab's jetzt erstmal verstanden und die Aufgabe hinbekommen!
Danke!
MfG,
Sarah
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