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Vektorraum linear unabhängig: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:45 Fr 30.11.2007
Autor: Rutzel

Aufgabe
Es sei V der Vektorraum der stetigen Funktionen auf dem Intervall(0,1). Zeige, dass [mm] x^3, [/mm] sin(x), cos(x) in V linear unbhängig sind.

Hallo,
wenn l.u. hat
[mm] a*x^3+b*sin(x)+c*cos(x)=0 [/mm]
nur die triviale lösung
a=b=c=0.
Nun macht aber das offene Intervall Probleme ein geeignetes x so einzusetzen, dass ein Teil des Polynoms wegfällt.
Also habe ich [mm] \pi/4 [/mm] eingesetzt:
[mm] a*(\pi/4)^3+b*sin(\pi/4)+c*cos(\pi/4)=0 [/mm]
=>
b=-c
und a = 0

jetzt ist das ganze aber linear abhängig.

Kann mir jemand auf die Sprünge helfen?

Gruß
Rutzel

        
Bezug
Vektorraum linear unabhängig: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:05 Sa 01.12.2007
Autor: angela.h.b.


> Es sei V der Vektorraum der stetigen Funktionen auf dem
> Intervall(0,1). Zeige, dass [mm]x^3,[/mm] sin(x), cos(x) in V linear
> unbhängig sind.
>  Hallo,
>  wenn l.u. hat
>  [mm]a*x^3+b*sin(x)+c*cos(x)=0[/mm]
>  nur die triviale lösung
>  a=b=c=0.
>  Nun macht aber das offene Intervall Probleme ein
> geeignetes x so einzusetzen, dass ein Teil des Polynoms
> wegfällt.
>  Also habe ich [mm]\pi/4[/mm] eingesetzt:
>  [mm]a*(\pi/4)^3+b*sin(\pi/4)+c*cos(\pi/4)=0[/mm]
>  =>
>  b=-c
>  und a = 0

Hallo,

Du mußt bedenken, daß die drei Funktionen [mm] f,g,h:(0,1)\to \IR [/mm]
mit [mm] f(x):=x^3 [/mm] , g(x):=sin(x), h(x):=cos(x)    für alle x

genau dann linear unabhängig sind, wenn aus

af+bg+ch=n   folgt, daß a=b=c=0   gilt   (n ist hier die Nullfunktion, also n(x)=0 für alle x)

Nun mußt Du zunächst einmal überlegen, was die Gleichheit af+bg+ch=n bedeutet.
Das ist eine Gleichheit v. Funktionen.
Funktionen sind gleich, wenn sie an allen Stellen übereinstimmen.

af+bg+ch=n  bedeutet also, daß

für alle [mm] x\in [/mm] (0,1) gilt    af(x)+bg(x)+ch(x)=n(x)

<==> für alle [mm] x\in [/mm] (0,1) gilt   [mm] ax^3+bsin(x)+ccos(x)=0. [/mm]

Es reicht also nicht, daß das an der Stelle [mm] x=\pi/4 [/mm] gilt, es muß auch gelten für x=0.5, x=0.25 und viele mehr.

Das bedeutet: wenn Du drei Stellen findest, so daß das entsprechende Lineare GS aus drei Gleichungen nur die Lösung a=b=c=0 zuläßt, so weißt Du, daß die Funktionen linear unabhängig sind.

Deine Rechnung ist nur der Anfang.

Übrigens folgt aus

[mm] a*(\pi/4)^3+b*sin(\pi/4)+c*cos(\pi/4)=0[/mm] [/mm]

nicht, daß b=-c   und a = 0, sondern das wäre eine mögliche Lösung.

Gruß v. Angela





>  
> jetzt ist das ganze aber linear abhängig.
>  
> Kann mir jemand auf die Sprünge helfen?
>  
> Gruß
>  Rutzel


Bezug
                
Bezug
Vektorraum linear unabhängig: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:24 Sa 01.12.2007
Autor: Rutzel

aha, ist also folgendes vorgehen ok?

Sei [mm] x_1 \in [/mm] (0,1) , so dass [mm] sin(x_1)=cos(x_1) [/mm]
[mm] a*x_1^3+b*sin(x_1)+c*cos(x_1)=0 [/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] a=0 und b+c=0

Sei [mm] x_2 \in [/mm] (0,1) , so dass [mm] x_2^3=sin(x_2) [/mm]
[mm] a*x_2^3+b*sin(x_2)+c*cos(x_2)=0 [/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] c=0 und a+b=0

Sei [mm] x_3 \in [/mm] (0,1) , so dass [mm] x_3^3=cos(x_3) [/mm]
[mm] a*x_3^3+b*sin(x_3)+c*cos(x_3)=0 [/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] b=0 und a+c=0

Insegsamt also: a=b=c=0
[mm] \Rightarrow [/mm] lineare Unabh. der drei Vektoren


Allerdings ist es mir noch unklar, warum es ok ist, wenn ich drei beliebige x-Werte nehme, um die l.u. zu zeigen. Für ein und den gleichen x-Wert hätte ich es noch verstanden. (eben weil [mm] a*x^3+b*sin(x)+c*cos(x)=0 \forall [/mm] x [mm] \in [/mm] (0,1) aber doch wenn das x in [mm] x^3, [/mm] sin(x) und cos(x) gleich ist...)

Gruß
Rutzel

Bezug
                        
Bezug
Vektorraum linear unabhängig: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:02 Sa 01.12.2007
Autor: angela.h.b.


> aha, ist also folgendes vorgehen ok?
>  
> Sei [mm]x_1 \in[/mm] (0,1) , so dass

Nein, dieses "sei [mm] x_i, [/mm] so daß " ist so nicht richtig.
Du mußt da mit konkreten Zahlen rechnen, oder zuerst irgendwie glaubhaft machen, daß es so ein [mm] x_i \in [/mm] (0,1) gibt.



[mm]sin(x_1)=cos(x_1)[/mm]

>  [mm]a*x_1^3+b*sin(x_1)+c*cos(x_1)=0[/mm]
>  [mm]\Rightarrow[/mm] a=0 und b+c=0
>  
> Sei [mm]x_2 \in[/mm] (0,1) , so dass [mm]x_2^3=sin(x_2)[/mm]
>  [mm]a*x_2^3+b*sin(x_2)+c*cos(x_2)=0[/mm]
>  [mm]\Rightarrow[/mm] c=0 und a+b=0
>  
> Sei [mm]x_3 \in[/mm] (0,1) , so dass [mm]x_3^3=cos(x_3)[/mm]
>  [mm]a*x_3^3+b*sin(x_3)+c*cos(x_3)=0[/mm]
>  [mm]\Rightarrow[/mm] b=0 und a+c=0
>  
> Insegsamt also: a=b=c=0
>  [mm]\Rightarrow[/mm] lineare Unabh. der drei Vektoren
>  
>
> Allerdings ist es mir noch unklar, warum es ok ist, wenn
> ich drei beliebige x-Werte nehme, um die l.u. zu zeigen.

Wenn Du drei Werte findest, so daß das lineare Gleichungssystem nur die triviale Lösung hat, kann sich durch tausend andere x-Werte an der Aussage, daß nur die tiviale Linearkombination Null ergibt, nichts mehr ändern.

Wenn Du drei Werte findest, für die die nichttriv. Linearkombi Null ergibt, sagt das überhaupt nichts.

Du mußt gründlich unterscheiden zwischen der Funktion und ihren Funktionswerten.
Zwei Funktionen sind gleich, wenn ihre Funktionswerte an allen(!) Stellen gleich sind.

Gruß v. Angela

Bezug
                                
Bezug
Vektorraum linear unabhängig: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 19:25 Sa 01.12.2007
Autor: Rutzel

Gut, dann muss man halt das "Sei" in ein "es existiert" ändern und noch konkrete Werte angeben, was ja nocht weiter schwer ist (nämlich gerade die Schnittpunkte der Funktionen)

Ich denke ich habe es verstanden (außer ich habe jetzt wieder Blödsinn erzählt ...)

Danke für deine Hilfe.

Gruß,
Rutzel

Bezug
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