www.matheraum.de
Das Matheforum.
Das Matheforum des MatheRaum.

Für Schüler, Studenten, Lehrer, Mathematik-Interessierte.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Mathe
  Status Schulmathe
    Status Primarstufe
    Status Mathe Klassen 5-7
    Status Mathe Klassen 8-10
    Status Oberstufenmathe
    Status Mathe-Wettbewerbe
    Status Sonstiges
  Status Hochschulmathe
    Status Uni-Analysis
    Status Uni-Lin. Algebra
    Status Algebra+Zahlentheo.
    Status Diskrete Mathematik
    Status Fachdidaktik
    Status Finanz+Versicherung
    Status Logik+Mengenlehre
    Status Numerik
    Status Uni-Stochastik
    Status Topologie+Geometrie
    Status Uni-Sonstiges
  Status Mathe-Vorkurse
    Status Organisatorisches
    Status Schule
    Status Universität
  Status Mathe-Software
    Status Derive
    Status DynaGeo
    Status FunkyPlot
    Status GeoGebra
    Status LaTeX
    Status Maple
    Status MathCad
    Status Mathematica
    Status Matlab
    Status Maxima
    Status MuPad
    Status Taschenrechner

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Mathe-Seiten:Weitere Fächer:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
StartseiteMatheForenUni-Lineare AlgebraVektorraum lineare Abbildung
Foren für weitere Schulfächer findest Du auf www.vorhilfe.de z.B. Informatik • Physik • Technik • Biologie • Chemie
Forum "Uni-Lineare Algebra" - Vektorraum lineare Abbildung
Vektorraum lineare Abbildung < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Uni-Lineare Algebra"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

Vektorraum lineare Abbildung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:56 Mi 01.12.2004
Autor: Nadja

hi

Wer kann mir bei dieser Aufgabe helfen?

Die Aufgabe lautet:

Es seinen V und W Vektorräume über K und A: V  [mm] \to [/mm] W eine lineare Abbildung. Für eine Teilmenge R  [mm] \subset [/mm] V sei A(R) := {Av / v  [mm] \in [/mm] R} und für eine Teilmenge S  [mm] \subset [/mm] W sei A^-1(S):={v  [mm] \in [/mm] V / Av  [mm] \in [/mm] S}.

Zeigen Sie: Sind R  [mm] \subset [/mm] V und S  [mm] \subset [/mm] W lineare Teilräume, so sind auch A(R) und A^-1(S) lineare Teilräume.
Sind R und S affine Teilräume, so auch A(R) und A^-1(S).

Danke im voraus

Nadja

Ich habe diese Frage in keinen anderem Forum gestellt.


        
Bezug
Vektorraum lineare Abbildung: Problem?
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:41 Mi 01.12.2004
Autor: Gnometech

Hallo Nadja!

Wo genau liegt Dein Problem bei der Aufgabe...? Man setzt die Definitionen ein und ist im Grunde fertig.

Ich rechne Dir mal einen Teil vor - den Rest kannst Du dann selbst versuchen. :-) Solltest Du dabei Probleme haben, frag einfach nach.

Also, $R$ ist ein Unterraum von $V$ und wir betrachten $A(R)$. Wir müssen 3 Dinge zeigen:

i) $0 [mm] \in [/mm] A(R)$
ii) Falls $w,w' [mm] \in [/mm] A(R)$, dann folgt: $w + w' [mm] \in [/mm] A(R)$
iii) Für $w [mm] \in [/mm] A(R)$ und [mm] $\lambda \in [/mm] K$ gilt: [mm] $\lambda [/mm] w [mm] \in [/mm] A(R)$

Denn dies sind die charakterisierenden Eigenschaften eines Unterraumes.

Also los:

i) Da $R$ ein Unterraum ist, gilt: $0 [mm] \in [/mm] R$. Also ist auch $0 = A(0) [mm] \in [/mm] A(R)$. (Beachte hierbei: einmal handelt es sich um den Nullvektor in $V$, das andere Mal um den Nullvektor in $W$!)

ii) Seien $w, w' [mm] \in [/mm] A(R)$, d.h. es gibt Vektoren $v,v' [mm] \in [/mm] R$ mit $A(v) = w$ und $A(v') = w'$. Es gilt: $w + w' = A(v) + A(v') = A(v + v')$. Da $R$ ein Unterraum ist, gilt $v+v' [mm] \in [/mm] R$ und also $A(v+v') [mm] \in [/mm] A(R)$.

iii) Sei $w [mm] \in [/mm] A(R)$ und [mm] $\lambda \in [/mm] K$. Dann gibt es wieder ein $v [mm] \in [/mm] R$ mit $A(v) = w$. Es folgt: [mm] $\lambda [/mm] w = [mm] \lambda [/mm] A(v) = A( [mm] \lambda [/mm] v)$. Da $R$ ein Unterraum ist, gilt [mm] $\lambda [/mm] v [mm] \in [/mm] R$ und das zeigt das Gewünschte.

War doch ganz leicht, oder? :-)

Viel Glück!

Lars

Bezug
                
Bezug
Vektorraum lineare Abbildung: und die affine Abbildung?
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:24 Do 02.12.2004
Autor: flashedgordon

Stimmt! mir der Def gehts leicht aber beim zweiten Teil der Aufgabe....der affinen Abbildung: wo kriegt man den den zweiten Untervektorraum von V her. R = v + ?  
Ein kleiner Tip für den Ansatz wäre Toll


Bezug
                        
Bezug
Vektorraum lineare Abbildung: Verwende Teil 1
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:42 Fr 03.12.2004
Autor: Gnometech

Hallo!

Das ist auch nciht schwer: man verwendet, was man hat.

Falls $R$ ein affiner Teilraum von $V$ ist, dann gibt es einen Unterraum $U [mm] \subseteq [/mm] V$ und einen Vektor $v [mm] \in [/mm] V$ mit $R = U + v$.

Definiere nun: $U' := A(U)$. Nach Teil 1 ist $U'$ ein Unterraum von $W$.

Ich behaupte: $A(R) = U' + A(v)$ und damit waere $A(R)$ affin.

Sei $w [mm] \in [/mm] A(R)$ beliebig, dann gibt es ein $x [mm] \in [/mm] R$ mit $A(x) = w$. Zu dem $x$ wiederum gibt es ein $u [mm] \in [/mm] U$ mit $x = u + v$ nach Definition von $R$. Es folgt:

$w = A(x) = A(u + v) = A(u) + A(v) [mm] \in [/mm] U' + A(v)$

Umgekehrt genauso... also die andere Inklusion. Und damit ist man schon fertig. :-)

Lars

Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Uni-Lineare Algebra"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
www.matheforum.net
[ Startseite | Forum | Wissen | Kurse | Mitglieder | Team | Impressum ]