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Forum "Uni-Lineare Algebra" - Vektorraum lineare Abbildung
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Vektorraum lineare Abbildung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:56 Mi 01.12.2004
Autor: Nadja

hi

Wer kann mir bei dieser Aufgabe helfen?

Die Aufgabe lautet:

Es seinen V und W Vektorräume über K und A: V  [mm] \to [/mm] W eine lineare Abbildung. Für eine Teilmenge R  [mm] \subset [/mm] V sei A(R) := {Av / v  [mm] \in [/mm] R} und für eine Teilmenge S  [mm] \subset [/mm] W sei A^-1(S):={v  [mm] \in [/mm] V / Av  [mm] \in [/mm] S}.

Zeigen Sie: Sind R  [mm] \subset [/mm] V und S  [mm] \subset [/mm] W lineare Teilräume, so sind auch A(R) und A^-1(S) lineare Teilräume.
Sind R und S affine Teilräume, so auch A(R) und A^-1(S).

Danke im voraus

Nadja

Ich habe diese Frage in keinen anderem Forum gestellt.


        
Bezug
Vektorraum lineare Abbildung: Problem?
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:41 Mi 01.12.2004
Autor: Gnometech

Hallo Nadja!

Wo genau liegt Dein Problem bei der Aufgabe...? Man setzt die Definitionen ein und ist im Grunde fertig.

Ich rechne Dir mal einen Teil vor - den Rest kannst Du dann selbst versuchen. :-) Solltest Du dabei Probleme haben, frag einfach nach.

Also, $R$ ist ein Unterraum von $V$ und wir betrachten $A(R)$. Wir müssen 3 Dinge zeigen:

i) $0 [mm] \in [/mm] A(R)$
ii) Falls $w,w' [mm] \in [/mm] A(R)$, dann folgt: $w + w' [mm] \in [/mm] A(R)$
iii) Für $w [mm] \in [/mm] A(R)$ und [mm] $\lambda \in [/mm] K$ gilt: [mm] $\lambda [/mm] w [mm] \in [/mm] A(R)$

Denn dies sind die charakterisierenden Eigenschaften eines Unterraumes.

Also los:

i) Da $R$ ein Unterraum ist, gilt: $0 [mm] \in [/mm] R$. Also ist auch $0 = A(0) [mm] \in [/mm] A(R)$. (Beachte hierbei: einmal handelt es sich um den Nullvektor in $V$, das andere Mal um den Nullvektor in $W$!)

ii) Seien $w, w' [mm] \in [/mm] A(R)$, d.h. es gibt Vektoren $v,v' [mm] \in [/mm] R$ mit $A(v) = w$ und $A(v') = w'$. Es gilt: $w + w' = A(v) + A(v') = A(v + v')$. Da $R$ ein Unterraum ist, gilt $v+v' [mm] \in [/mm] R$ und also $A(v+v') [mm] \in [/mm] A(R)$.

iii) Sei $w [mm] \in [/mm] A(R)$ und [mm] $\lambda \in [/mm] K$. Dann gibt es wieder ein $v [mm] \in [/mm] R$ mit $A(v) = w$. Es folgt: [mm] $\lambda [/mm] w = [mm] \lambda [/mm] A(v) = A( [mm] \lambda [/mm] v)$. Da $R$ ein Unterraum ist, gilt [mm] $\lambda [/mm] v [mm] \in [/mm] R$ und das zeigt das Gewünschte.

War doch ganz leicht, oder? :-)

Viel Glück!

Lars

Bezug
                
Bezug
Vektorraum lineare Abbildung: und die affine Abbildung?
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:24 Do 02.12.2004
Autor: flashedgordon

Stimmt! mir der Def gehts leicht aber beim zweiten Teil der Aufgabe....der affinen Abbildung: wo kriegt man den den zweiten Untervektorraum von V her. R = v + ?  
Ein kleiner Tip für den Ansatz wäre Toll


Bezug
                        
Bezug
Vektorraum lineare Abbildung: Verwende Teil 1
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:42 Fr 03.12.2004
Autor: Gnometech

Hallo!

Das ist auch nciht schwer: man verwendet, was man hat.

Falls $R$ ein affiner Teilraum von $V$ ist, dann gibt es einen Unterraum $U [mm] \subseteq [/mm] V$ und einen Vektor $v [mm] \in [/mm] V$ mit $R = U + v$.

Definiere nun: $U' := A(U)$. Nach Teil 1 ist $U'$ ein Unterraum von $W$.

Ich behaupte: $A(R) = U' + A(v)$ und damit waere $A(R)$ affin.

Sei $w [mm] \in [/mm] A(R)$ beliebig, dann gibt es ein $x [mm] \in [/mm] R$ mit $A(x) = w$. Zu dem $x$ wiederum gibt es ein $u [mm] \in [/mm] U$ mit $x = u + v$ nach Definition von $R$. Es folgt:

$w = A(x) = A(u + v) = A(u) + A(v) [mm] \in [/mm] U' + A(v)$

Umgekehrt genauso... also die andere Inklusion. Und damit ist man schon fertig. :-)

Lars

Bezug
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