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| Aufgabe | Überprüfen Sie, ob die folgenden Mengen mit den gegebenen Operationen Vektorräume über dem Körper der reellen Zahlen sind:
a) V = [mm] \{(x_{1}, x_{2}) \in \IR^2 \}, [/mm] mit [mm] (x_{1}, x_{2}) [/mm] + [mm] (y_{1}, y_{2}) [/mm] = [mm] (x_{1} [/mm] + [mm] y_{1}, [/mm] 0) und [mm] \lambda [/mm] * [mm] (x_{1}, x_{2}) [/mm] = [mm] (\lambda x_{1}, [/mm] 0)
b) W = [mm] \{(x_{1}, x_{2}) \in \IR^2 : x_{1}> 0 , x_{2}> 0 \}, [/mm] mit [mm] (x_{1}, x_{2}) [/mm] + [mm] (y_{1}, y_{2}) [/mm] = [mm] (x_{1}y_{1},x_{2}y_{2}) [/mm] und [mm] \lambda (x_{1}, x_{2}) [/mm] = [mm] (x_{1}^\lambda, x_{2}^\lambda) [/mm] |
Liebe Mathematiker,
kann mir jemand beantworten ob ich richtig überlegt habe?
im Allgemeinen muss ich die Vektoraxiome prüfen um festzustellen ob es Vektorräume sind.
zu a)
[mm] (x_{1}, x_{2}) [/mm] + [mm] (y_{1}, y_{2}) [/mm] = [mm] (x_{1} [/mm] + [mm] y_{1}, [/mm] 0)
ist erfüllt, wenn [mm] y_{2} [/mm] = - [mm] x_{2} [/mm] ist
[mm] \lambda [/mm] * [mm] (x_{1}, x_{2}) [/mm] = [mm] (\lambda x_{1}, [/mm] 0)
ist erfüllt, wenn [mm] x_{2} [/mm] = 0 ist
d.h. beide Gleichungen sind erfüllt wenn für [mm] x_{2} [/mm] = 0 gilt. Somit wäre mein Entscheid, dass V einen Vektorraum über den reellen Zahlen aufspannt.
zu b)
[mm] (x_{1}, x_{2}) [/mm] + [mm] (y_{1}, y_{2}) [/mm] = [mm] (x_{1}y_{1},x_{2}y_{2})
[/mm]
ist nur für [mm] x_{1} [/mm] = 2, [mm] x_{2} [/mm] = 2 und [mm] y_{1} [/mm] = 2, [mm] y_{2} [/mm] =2 erfüllt. Ansonst nicht
[mm] \lambda (x_{1}, x_{2}) [/mm] = [mm] (x_{1}^\lambda, x_{2}^\lambda)
[/mm]
ist nur für auch nur erfüllt wenn, alle x und y = 2 sind und auch [mm] \lambda [/mm] = 2 ist.
Meine Entscheidung: W ist ein Vektorraum über der reellen Zahl 2.
Sind meine Überlegungen korrekt?
Merci,
Mahtebrainy
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:36 Mi 01.10.2008 | | Autor: | Merle23 |
> Überprüfen Sie, ob die folgenden Mengen mit den gegebenen
> Operationen Vektorräume über dem Körper der reellen Zahlen
> sind:
>
> a) V = [mm]\{(x_{1}, x_{2}) \in \IR^2 \},[/mm] mit [mm](x_{1}, x_{2})[/mm] +
> [mm](y_{1}, y_{2})[/mm] = [mm](x_{1}[/mm] + [mm]y_{1},[/mm] 0) und [mm]\lambda[/mm] * [mm](x_{1}, x_{2})[/mm]
> = [mm](\lambda x_{1},[/mm] 0)
>
> b) W = [mm]\{(x_{1}, x_{2}) \in \IR^2 : x_{1}> 0 , x_{2}> 0 \},[/mm]
> mit [mm](x_{1}, x_{2})[/mm] + [mm](y_{1}, y_{2})[/mm] =
> [mm](x_{1}y_{1},x_{2}y_{2})[/mm] und [mm]\lambda (x_{1}, x_{2})[/mm] =
> [mm](x_{1}^\lambda, x_{2}^\lambda)[/mm]
> Liebe Mathematiker,
>
> kann mir jemand beantworten ob ich richtig überlegt habe?
>
> im Allgemeinen muss ich die Vektoraxiome prüfen um
> festzustellen ob es Vektorräume sind.
>
> zu a)
>
> [mm](x_{1}, x_{2})[/mm] + [mm](y_{1}, y_{2})[/mm] = [mm](x_{1}[/mm] + [mm]y_{1},[/mm] 0)
>
> ist erfüllt, wenn [mm]y_{2}[/mm] = - [mm]x_{2}[/mm] ist
>
> [mm]\lambda[/mm] * [mm](x_{1}, x_{2})[/mm] = [mm](\lambda x_{1},[/mm] 0)
>
> ist erfüllt, wenn [mm]x_{2}[/mm] = 0 ist
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> d.h. beide Gleichungen sind erfüllt wenn für [mm]x_{2}[/mm] = 0
> gilt. Somit wäre mein Entscheid, dass V einen Vektorraum
> über den reellen Zahlen aufspannt.
>
>
> zu b)
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> [mm](x_{1}, x_{2})[/mm] + [mm](y_{1}, y_{2})[/mm] = [mm](x_{1}y_{1},x_{2}y_{2})[/mm]
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> ist nur für [mm]x_{1}[/mm] = 2, [mm]x_{2}[/mm] = 2 und [mm]y_{1}[/mm] = 2, [mm]y_{2}[/mm] =2
> erfüllt. Ansonst nicht
>
> [mm]\lambda (x_{1}, x_{2})[/mm] = [mm](x_{1}^\lambda, x_{2}^\lambda)[/mm]
>
> ist nur für auch nur erfüllt wenn, alle x und y = 2 sind
> und auch [mm]\lambda[/mm] = 2 ist.
>
> Meine Entscheidung: W ist ein Vektorraum über der reellen
> Zahl 2.
>
>
> Sind meine Überlegungen korrekt?
>
Nein.
Du hast da was falsch verstanden. Wenn da [mm](x_{1}, x_{2}) + (y_{1}, y_{2}) = (x_{1} + y_{1}, 0)[/mm] steht, dann ist das eine Definition! Und da die Vektorraumaxiome unter anderem auch beinhalten, dass (V,+) eine abelsche Gruppe sein muss, musst du auch genau das nachprüfen (und dann noch natürlich die anderen VR-Axiome).
Und einen VR über einer einzigen reellen Zahl gibt es nicht! Verinnerliche nochmal die VR-Definition.
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nochmals ein hallo,
naja d.h. das wäre ja pro aufgabenstellung eine ganz grosse überpfüfung, wenn ich die VR-Axiome bei a) und b) prüfen muss....(und diese aufgabe gibt nur 2 punkte :-(
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:58 Mi 01.10.2008 | | Autor: | Merle23 |
> nochmals ein hallo,
>
> naja d.h. das wäre ja pro aufgabenstellung eine ganz grosse
> überpfüfung, wenn ich die VR-Axiome bei a) und b) prüfen
> muss....(und diese aufgabe gibt nur 2 punkte :-(
Dann sind das eben zwei schwer verdiente Punkte.
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ich verstehe nicht wie ich z.b.
[mm] (x_{1},x_{2}) [/mm] + [mm] (y_{1}, y_{2}) [/mm] = [mm] (x_{1}y_{1}, [/mm] 0) auf die VR-Axiomeprüfen soll
wie geht das?
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> ich verstehe nicht wie ich z.b.
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> [mm](x_{1},x_{2})[/mm] + [mm](y_{1}, y_{2})[/mm] = [mm](x_{1}y_{1},[/mm] 0) auf die
> VR-Axiomeprüfen soll
Hallo,
worüber redest Du gerade? Ist das jetzt noch eine dritte Aufgabe?
Mal grundsätzlich:
Was sind die Zutaten eines Vektorraumes?
Zunächst mal braucht man eine irgendeine Menge M, welche mit einer auf ihr definierten Verknüpfung [mm] \oplus [/mm] eine Gruppe bildet.
Die zweite Zutat ist ein Körper K, in Deiner Aufgabe ist das der Körper der reellen Zahlen (mit "ganz normaler" Addition + und Multiplikation [mm] \*).
[/mm]
Die dritte Zutat ist eine weitere Verknüpfung [mm] \odot, [/mm] welche Elemente des Körpers mit solchen der Menge M verknüpft und auf Elemente aus M abbildet.
Die vierte Zutat sind die Vektorraumaxiome. Wenn die ganze Verknüpferei so abläuft, daß die Vektorraumaxiome gelten, so ist unsere Menge M mit den Verknüpfungen [mm] \oplus [/mm] und [mm] \odot [/mm] ein Vektorraum über dem Körper K.
Jetzt nehmen wir uns mal die Aufgabe b) vor, ich taufe hierbei ein klein wenig um:
b) Wir betrachten die Menge M:= $ [mm] \{(x_{1}, x_{2}) \in \IR^2 : x_{1}> 0 , x_{2}> 0 \}, [/mm] also alle reellen Zahlenpaare, deren Komponenten beide >0 sind.
Auf dieser Menge ist eine Verküpfung
[mm] \oplus: [/mm] MxM [mm] \to [/mm] M
erklärt durch
$ [mm] (x_{1}, x_{2}) [/mm] $ [mm] \oplus [/mm] $ [mm] (y_{1}, y_{2}) [/mm] $ := $ [mm] (x_{1}y_{1},x_{2}y_{2}) [/mm] $, für alle [mm] (x_{1}, x_{2}),(y_{1}, y_{2}) \in [/mm] M
Eine weitere Verknüpfung [mm] \odot [/mm] verknüpft Elemente des Körpers [mm] \IR [/mm] mit Elementen aus M und bildet sie auf Elemente aus M ab.
Sie ist (hier und heute, in dieser Aufgabe) wie folgt definiert:
[mm] \odot: \IRxM \to [/mm] M
[mm] \lambda \odot (x_{1}, x_{2}):= (x_{1}^\lambda, x_{2}^\lambda) [/mm] für alle [mm] \lambda \in \IR [/mm] und für alle [mm] (x_{1}, x_{2})\in [/mm] M.
Deine Aufgabe ist es nun zu prüfen, ob die Vektorraumaxiome gelten, ob also (M, [mm] \oplus) [/mm] eine Gruppe ist und ob [mm] \odot [/mm] die für einen Vektorraum geforderten Eigenschaften hat.
Um die VR-Eigenschaft zu zeigen, sind die Axiome abzuarbeiten.
Um die VR-Eigenschaft zu widerlegen, reicht es, wenn man eine Regel vorzeigt, die verletzt wird. (Ein Gegenbeispiel vorrechnen.)
Dein Fahrplan:
1. Nachschlagen in Deinen Unterlagen, was alles für VR zu zeigen ist. Auflisten.
2. Übertragen der dortigen Bezeichnungen auf M, [mm] \IR, \oplus, \odot. [/mm] Neu auflisten.
3. Nun Punkt für Punkt die zu zeigenden Eigenschaften vorrechen (- oder eine einzige widerlegen.)
Verwenden darfst Du hierfür die Definitionen der Verknüpfung und die Regeln für das Rechnen im Körper [mm] \IR.
[/mm]
Gruß v. Angela
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liebe Angela,
Danke vielmals für deine Antwort.
Das ist jetzt mal eine Antwort, mit der ich wirklich was anfangen kann. Auch dieser Fahrplan finde ich spitze: DANKE!
Bei uns haben wir in der Vorlesung wirklich nur Theorie und in den Übungsgruppen nehmen wir auch nicht wirkliche praktische Beispiele durch. So dass man für das Übungsblatt richtig aufgeschmissen ist und gar nicht weiss wie die Aufgabe anzupacken ist.
Herzlichen Dank,
mathebrainy
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