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| Aufgabe | Für welche Körper K ist folgende Aussage richtig:
Für jeden VR V über K und je zwei Vektoren v,w [mm] \varepsilon [/mm] V \ {0} sind die beiden Vektoren v,w genau dann linear abhängig wenn v=w ist. |
Hallo!
Meine Überlegung zu der Aufgabe war, dass ich hingeschrieben habe:
[mm] \lambda1 [/mm] * v + [mm] \lambda2 [/mm] * w = 0
Da ich nun als Vorraussetzung gegeben habe, dass v=w ist muss ja [mm] \lambda1 [/mm] = - [mm] \lambda2 [/mm] sein?!
Dies ist ja sowieso der Fall, weil in einem Körper jedes Element sein inverses braucht.
Nun verstehe ich die Angabe so, dass wenn v=w ist, dann sind v,w linear abhängig.
Aber [mm] \lambda1 [/mm] und [mm] \lambda2 [/mm] könnten doch auch beide gleich 0 sein.
und auch wenn dann v=w gegeben ist, sind die Vektoren ja dann linear unabhängig?!
=> also gibt meiner Meinung nach keinen so einen Körper?!
Oder hab ich total falsch gedacht?
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Hallo,
es geht hier um folgendes:
Man hat einen Körper K, so daß für jeden Vektorraum V über diesem Körper folgendes gilt
v=w ==> v,w sind linear abhängig
v,w linear abhängig ==> v=w.
Die erste Aussage ist nicht bemerkenswert. Sie gilt immer, in jedem Vektorraum über jedem Körper.
Die zweite Aussage aber sagt: nur gleiche Vektoren sind linear abhängig.
Das ist im allgemeinen nicht so. Denn auf jeden Fall hat man ja die Vielfachen von v, die von v linear abhängig sind.
Ich denke, ihr habt gelernt, daß man jeden Körper als VR über sich selbst betrachten kann. K ist also ein VR über K.
Oben steht, daß die Aussage für jeden VR über K gelten soll, also auch für K über K.
Und jetzt geht's los.
Wir nehmen irgendein von 0 verschiedenes Element k [mm] \in [/mm] K. (Warum gibt es das).
Es sind dann für jedes [mm] \lambda\in [/mm] K, [mm] \lambda [/mm] k und k linear abhängig.
Das gilt natürlich auch für [mm] \lambda=k.
[/mm]
Also sind k*k und k linear abhängig. Der einzige Vektor, der von k abhängig ist, ist er selber.
Also ist [mm] k^2=k [/mm] <==> [mm] k^2-k=0 [/mm] --- und an dieser Stelle lasse ich Dich allein. Welche Werte kann k haben? Denk daran, daß k ein völlig beliebiges Element aus K war.
Gruß v. Angela
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Vielen dank, klingt jetzt eigentlich recht logisch:)
ok dann kann wohl k nur die werte 1 und 0 annehmen.
Das heißt dann wohl, dass nur für den Körper mit den Elementen {0,1} die Aussage richtig ist??
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> Vielen dank, klingt jetzt eigentlich recht logisch:)
> ok dann kann wohl k nur die werte 1 und 0 annehmen.
> Das heißt dann wohl, dass nur für den Körper mit den
> Elementen {0,1} die Aussage richtig ist??
Hallo,
wenn ich mir nichts falsch überlegt habe, ist das so.
Du solltest anschließend vielleicht noch zeigen, daß die Aussage für VR über diesem Körper wirklich gilt.
Bisher ist nur gezeigt: wenn die Aussage gilt, kann es nur dieser Körper sein.
Gruß v. Angela
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jetzt habe ich nochmal genauer darüber nachgedacht.
Wir behandeln k hier nun so, als wäre es ein Vektor oder?
Aber in der Angabe steht ja, dass die vektoren keine 0 enthalten?
Irgendwie ist das alles ein bisschen verwirrend, vorallem das:
"Ich denke, ihr habt gelernt, daß man jeden Körper als VR über sich selbst betrachten kann. K ist also ein VR über K.
Oben steht, daß die Aussage für jeden VR über K gelten soll, also auch für K über K
steht auch nirgends in meinem Skript.
Kannst du mir das nochmal erklären?
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Hallo,
Ihr habt doch gewiß irgendwo gezeigt, daß [mm] K^n [/mm] ein Vektorraum über K ist. Also auch [mm] K^1=K.
[/mm]
falls nicht: Setze V:=K und beweise, daß V ein K-VR ist durch Nachweis der Axiome.
Gruß v. Angela
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Irgendwie wird mir das nicht ganz klar.
In der Angabe ist die 0 doch ausgeschlossen und wenn ich nun einen Körper herausbekomm, der die 0 enthält, kann das doch nicht stimmen oder??
Ich hab ja den Körper nun als VR betrachtet, und da darf die 0 nicht vorhanden sein??
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:35 Sa 22.11.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
ich glaub den richtigen Schritt hast du fuer allgemeine VR schon im ersten post: [mm] \lambda_1=-\lambda_2 [/mm] fuer beliebige [mm] \lambda [/mm] aus K . damit kommt nur K={0,1} in Frage, weil in keinem anderen K JEDES Element zu sich selbst invers ist.
Und dann musst du dich nicht mit dem VR [mm] K^1 [/mm] beschaeftigen.
gruss leduart
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wie kommst du denn auf den Schritt, dass wenn [mm] \lambda1 [/mm] = [mm] -\lambda2
[/mm]
ist der Körper nur aus der 1 und 0 bestehen kann.
Versteh ich nicht wirklich?!
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:04 Sa 22.11.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
Nimm 2 verschieden Elemente aus K. wenn ihre Summe 0 ist sind sie additive Inverse!
jetzt nimm an dien K besteht aus mehr als 1 und 0
also mindestens 1,0,a mit [mm] a\ne [/mm] 1
es gilt 1+a=0 1+1=0 1=-1 a=-1 a=1 Transitivitaet des =
Gruss leduart
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Muss denn aber ( so wie bei dem Körper {1,0} ) jedes Element zu sich selbst invers sein???
Gehen dann nicht alle Körper die 2 Elemente besitzen??
Da wäre doch dann auch jedes zu sich selbst invers?!
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> Muss denn aber ( so wie bei dem Körper {1,0} ) jedes
> Element zu sich selbst invers sein???
> Gehen dann nicht alle Körper die 2 Elemente besitzen??
Hallo,
ja, genau.
Es gibt aber im Wesentlichen nur einen Körper mit zwei Elementen - alles, was man tun kann, ist, die Null und Eins anders zu benennen, aber ansonsten ist das gleich (Isomorph, falls Ihr das hattet.)
Gruß v. Angela
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