Vektorraum zeigen < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:05 Di 20.12.2011 | | Autor: | Arthaire |
| Aufgabe | | Zeigen Sie, dass die Menge [mm] V={\pmat{ a & b \\ -b & a }: a,b\in \IR } [/mm] bezüglich der Matrizenaddition und Skalarmultiplikation ein [mm] \IR-Vektorraum [/mm] ist, und bezüglich der Matrizenaddition und -multiplikation ein Körper ist. Exisiteren Isomorphismen von V nach [mm] \IC [/mm] als [mm] \IR-Vektorräume [/mm] bzw. als Körper? Begründen Sie ihre Antwort. |
Hallo zusammen,
irgendwie ist mir nocht ganz klar was ich hier tun soll.
1. Muss ich für den Vektorraum einfach zeigen, dass es ein neutrales Element bezüglich der Subsitution gibt, sprich eine Nullmatrix? Und bei der Multiplikation mit einem Skalaren, einfach nur, dass es funktioniert?
2. Was mache ich für den Körper? Die Körperaxiome beweisen? 0 und 1 sind ja nicht schwierig, aber dann muss ich auch ein mulpitplikativ Inverses erzeugen, oder?
Dankeschön
Ich habe diese Frage noch in keinem anderem Forum gestellt.
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> Zeigen Sie, dass die Menge [mm]V={\pmat{ a & b \\
-b & a }: a,b\in \IR }[/mm]
> bezüglich der Matrizenaddition und Skalarmultiplikation
> ein [mm]\IR-Vektorraum[/mm] ist, und bezüglich der Matrizenaddition
> und -multiplikation ein Körper ist. Exisiteren
> Isomorphismen von V nach [mm]\IC[/mm] als [mm]\IR-Vektorräume[/mm] bzw. als
> Körper? Begründen Sie ihre Antwort.
> Hallo zusammen,
>
> irgendwie ist mir nocht ganz klar was ich hier tun soll.
> 1. Muss ich für den Vektorraum einfach zeigen, dass es ein
> neutrales Element bezüglich der Subsitution gibt, sprich
> eine Nullmatrix? Und bei der Multiplikation mit einem
> Skalaren, einfach nur, dass es funktioniert?
Hallo,
was Du für [mm] "\IR-Vektorraum" [/mm] zeigen mußt, hängt davon ab, was in der Vorlesung bereits gezeigt wurde.
Habt Ihr bereits gelernt, daß die [mm] 2\times [/mm] 2-Matrizen mit den genannten Verknüpfungen einen Vektorraum bilden, wovon ich ausgehe, so mußt Du nur die Unterraumkriterien nachweisen.
Wie lauten sie?
Was ist also zu zeigen?
Andernfalls sind sämtliche Vektorraumaxiome nachzurechnen.
zu Körper:
Sicher habt Ihr bereits gezeigt, daß die [mm] 2\times [/mm] 2-Matrizen mit den genannten Verknüpfungen einen Ring bilden.
Du müßtest nun zeigen, daß Deine Menge ein Unterring ist und zusätzlich die Axiome, die ihn zu einem Körper machen.
Falls Ihr noch nicht den Ring der Matrizen besprochen habt, so mußt Du sämtliche Körperaxiome vorrechnen.
> 2. Was mache ich für den Körper? Die Körperaxiome
> beweisen? 0 und 1 sind ja nicht schwierig, aber dann muss
> ich auch ein mulpitplikativ Inverses erzeugen, oder?
Ja, auf jeden Fall.
Gruß v. Angela
>
> Dankeschön
> Ich habe diese Frage noch in keinem anderem Forum
> gestellt.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:12 Di 20.12.2011 | | Autor: | Arthaire |
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> > Zeigen Sie, dass die Menge [mm]V={\pmat{ a & b \\
-b & a }: a,b\in \IR }[/mm]
> > bezüglich der Matrizenaddition und Skalarmultiplikation
> > ein [mm]\IR-Vektorraum[/mm] ist, und bezüglich der Matrizenaddition
> > und -multiplikation ein Körper ist. Exisiteren
> > Isomorphismen von V nach [mm]\IC[/mm] als [mm]\IR-Vektorräume[/mm] bzw. als
> > Körper? Begründen Sie ihre Antwort.
> > Hallo zusammen,
> >
> > irgendwie ist mir nocht ganz klar was ich hier tun soll.
> > 1. Muss ich für den Vektorraum einfach zeigen, dass es ein
> > neutrales Element bezüglich der Subsitution gibt, sprich
> > eine Nullmatrix? Und bei der Multiplikation mit einem
> > Skalaren, einfach nur, dass es funktioniert?
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> Hallo,
>
> was Du für [mm]"\IR-Vektorraum"[/mm] zeigen mußt, hängt davon ab,
> was in der Vorlesung bereits gezeigt wurde.
> Habt Ihr bereits gelernt, daß die [mm]2\times[/mm] 2-Matrizen mit
> den genannten Verknüpfungen einen Vektorraum bilden, wovon
> ich ausgehe, so mußt Du nur die Unterraumkriterien
> nachweisen.
> Wie lauten sie?
> Was ist also zu zeigen?
Die Untervektorräum ehatten wir schon. Ich muss also zeigen, dass die Summer zweier Elemente eines Untervektorraumes wieder in diesem Unterrvektorraum liegt und dass die Multiplikation eines Elementes des Untervektorraumes auch wieder in diesem liegt.
Heißt das hier also das ich die Matrix nehme und mit einer beliebigen Matrix, z.B. [mm] \pmat{ c & d \\ -d & c } [/mm] addiere und dann feststelle, dass diese auch in V liegt?
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> Andernfalls sind sämtliche Vektorraumaxiome
> nachzurechnen.
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>
> zu Körper:
>
> Sicher habt Ihr bereits gezeigt, daß die [mm]2\times[/mm]
> 2-Matrizen mit den genannten Verknüpfungen einen Ring
> bilden.
> Du müßtest nun zeigen, daß Deine Menge ein Unterring
> ist und zusätzlich die Axiome, die ihn zu einem Körper
> machen.
>
> Falls Ihr noch nicht den Ring der Matrizen besprochen habt,
> so mußt Du sämtliche Körperaxiome vorrechnen.
>
>
Den Ring der Matrizen haben wir leider noch nicht besprochen, aber kann ich da, wie oben, einfach eine allgemeine Matrix zum Beweis der Axiome nehmen?
> > 2. Was mache ich für den Körper? Die Körperaxiome
> > beweisen? 0 und 1 sind ja nicht schwierig, aber dann muss
> > ich auch ein mulpitplikativ Inverses erzeugen, oder?
>
> Ja, auf jeden Fall.
Und die lautet dann [mm] 1/(a^{2}+b^{2}) \pmat{ a & -b \\ b & a } [/mm] ?
Gruß
Arthaire
>
> Gruß v. Angela
> >
> > Dankeschön
> > Ich habe diese Frage noch in keinem anderem Forum
> > gestellt.
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Hallo Arthaire,
> Die Untervektorräum ehatten wir schon. Ich muss also
> zeigen, dass die Summer zweier Elemente eines
vermeintlichen
> Untervektorraumes wieder in diesem
vermeintlichen
> Unterrvektorraum liegt
> und dass die Multiplikation eines Elementes des
vermeintlichen
> Untervektorraumes
mit einem Skalar aus dem zugrunde liegenden Körper
> auch wieder in diesem liegt. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> Heißt das hier also das ich die Matrix
welche?
> nehme und mit einer
> beliebigen Matrix, z.B. [mm]\pmat{ c & d \\
-d & c }[/mm] addiere
> und dann feststelle, dass diese auch in V liegt?
Ja, nimm zwei beliebige her und rechne das geradeheraus aus!
Ebenso bzgl. der Multiplikation mit einem Skalar, schnappe dir einen bel. Skalar [mm]\lambda\in\IR[/mm] und eine bel. Matrix A aus V und berechne [mm]\lambda\cdot{}A[/mm].
Ist das in V?
> Den Ring der Matrizen haben wir leider noch nicht
> besprochen,
Ah, das ist doof, dann liegt einiges an (Schreib-)Arbeit vor dir 
> aber kann ich da, wie oben, einfach eine
> allgemeine Matrix zum Beweis der Axiome nehmen?
Ja, das musst du ja immer allg. machen ...
> Und die lautet dann [mm]1/(a^{2}+b^{2}) \pmat{ a & -b \\
b & a }[/mm]
Mit "die" meinst du die multiplikativ Inverse Matrix zu [mm]A=\pmat{a&b\\
-b&a}[/mm] ?!
Dann stimmt das, aber ... :
Ist diese Inverse denn auch in V?
Gruß
schachuzipus
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