Vektorraumisomorphismus < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:03 Fr 17.06.2005 | | Autor: | NECO |
Hallo lieber Mathematiker/in.
Ich wünscha allen ein schönes Wochenende. Ich muss eine Aufgabe in diser Wochenende lösen. Es hat was mit Skalarpridukt zu tun, ich weiß nicht wie ich anfangen soll.
Mit Hilfe des Skalarproduktes können wir eine Abbildung
[mm] v\in \IR^{n}
[/mm]
[mm] \delta:v\to \delta(v) \in HOM(\IR^{n}, \IR) [/mm] definieren. Inn dem wir [mm] \delta(v)(w):= [/mm] ( Skalarprodukt) setzen. Zeigen Sie dass diese Abbildung Vektorraumisomorphismus ist.
Das ist ja genau wie lineare Abbildung denke ich mal, Ich muss also zeigen dass diese Abbildung linear ist, und der Kern muss dann Null sein, denke ich mal,  . Wie kann ich anfangen? Danke
|
|
| |
|
Grüße!
Nun, wie so oft gilt auch hier: Ausrechnen ist der Weg zur Wahrheit!
> Das ist ja genau wie lineare Abbildung denke ich mal, Ich
> muss also zeigen dass diese Abbildung linear ist, und der
> Kern muss dann Null sein, denke ich mal, . Wie kann ich
> anfangen? Danke
Hm, anfangen? Am besten bei Linearität.
Also, was ist denn [mm] $\delta(v [/mm] + v')$? Das ist eine Abbildung vom [mm] $\IR^n$ [/mm] nach [mm] $\IR$. [/mm] Wir müssen zeigen:
[mm] $\delta(v [/mm] + v') = [mm] \delta(v) [/mm] + [mm] \delta(v')$.
[/mm]
Auf bedein Seiten stehen Abbildungen. Die sind genau dann gleich, wenn sie an jeder Stelle gleich sind. Zu zeigen ist also, dass für alle $w [mm] \in \IR^n$ [/mm] gilt:
[mm] $\delta(v+v')(w) [/mm] = [mm] \big( \delta(v) [/mm] + [mm] \delta(v') \big)(w)$
[/mm]
Naja, die linke Seite ist nach Def. von [mm] $\delta$ [/mm] doch [mm] $\langle [/mm] v + v', w [mm] \rangle$. [/mm] Und die rechte ist ebenfalls nach Definition: [mm] $\langle [/mm] v,w [mm] \rangle [/mm] + [mm] \langle [/mm] v',w [mm] \rangle$.
[/mm]
Mit anderen Worten: die Linearität des Skalarproduktes sichert uns die Linearität von [mm] $\delta$. [/mm] Natürlich muß ma jetzt noch zeigen, dass sich Skalare auch rausziehen, aber das geht genauso.
Die Injektivität ist auch nicht so wild... Falls nämlich [mm] $\delta(v) [/mm] = 0$ ist, also die Nullabbildung, dann gilt für dieses $v$ und alle $w$ ja [mm] $\langle [/mm] v, w [mm] \rangle [/mm] = 0$. Und für alle $w$ erfüllt nur ein $v$ diese Gleichung...
Kritischer ist da schon die Surjektivität. Per Hand ist das etwas mühsam, daher wäre es am besten, an dieser Stelle ein Dimensionsargument einzubauen (wenn die Dimensionen gleich sind, dann reicht Injektivität oder Surjektivität schon aus für einen Isomorphismus).
Dann viel Erfolg beim Füllen der Lücken und Beweisen der Details!
Lars
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:04 Do 23.06.2005 | | Autor: | NECO |
Hallo, Dankeschön für deine ausführliche Antwort. Nur ich kann seit 2 tagen die injektivität und surjektivität nich beweisen. Kannst du bitte helfen. Danke.
Ich habe die Linearität mit deine Hilfe gezeigt. Mir fehlt nur die Injektivität und surjektivität. Dankeschön
|
|
|
| |
|
Hallo.
Wie Lars schon richtig bemerkt hat, reicht es, um zu zeigen, daß eine lineare Abbildung injektiv ist, zu zeigen, daß ihr Kern trivial ist, d.h. nur den Nullvektor enthält.
Schauen wir uns doch mal einfach ein [mm] v\in Kern(\delta) [/mm] an:
Für dieses v muß [mm] \delta(v) [/mm] die Nullabbildung sein (ist dir das bis dahin klar?), das heißt, für alle [mm] w\in [/mm] V muß gelten: [mm] (\delta(v))(w)=0.
[/mm]
Nun setzen wir die Definition von unserem [mm] \delta [/mm] ein:
[mm] (\delta(v))(w)=\left\langle v,w \right\rangle [/mm] =0.
Jetzt können wir einsetzen, daß das natürliche Skalarprodukt auf [mm] \IR^n [/mm] regulär ist, das heißt, der einzige Vektor, der auf allen anderen Vektoren senkrecht steht, ist der Nullvektor.
Das heißt jetzt was? Ja, also v=0!
Das heißt also, wenn wir [mm] v\in Kern(\delta) [/mm] haben, dann ist v=0, also mit anderen Worten [mm] Kern(\delta)=\{ 0 \}, [/mm] also [mm] \delta [/mm] injektiv!
Gruß,
Christian
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:31 Do 23.06.2005 | | Autor: | NECO |
Dankeschön.
Muss man nicht auch die surjektivität zeigen?
Oder ist das äquavalent?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:39 Do 23.06.2005 | | Autor: | Stefan |
Hallo NECO!
Wie Lars schon geschrieben hat, folgt dies aus einem Dimensionsargument. Es gilt:
[mm] $\dim(Hom(\IR^n,\IR)) [/mm] = n = [mm] \dim(\IR^n)$,
[/mm]
wobei die erste Gleichung daraus folgt, dass die $n$ linearen Abbildungen, die jeweils $n-1$ der $n$ Basisvektoren auf die $0$ abbilden und genau einen der $n$ Basisvektoren auf die $1$, eine Basis von [mm] $Hom(\IR^n,\IR)$ [/mm] bilden.
Aber injektive lineare Abbildungen zwischen Vektorräumen gleicher endlicher Dimension sind automatisch auch surjektiv, also bijektiv.
Viele Grüße
Stefan
|
|
|
|
