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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:22 Sa 22.06.2013 | | Autor: | salai |
Folgende Vektoren sind zu betrachten:
u=(1 2 3) ; v=(3 2 1); w=(1 1 1)
Nach meiner Berechnung sind die Linear abhängig.!
I). a + 3b = 1
II). 2a + 2b = 1
III). 3a + b = 1
(I)x(-2) + (II) bekomme ich [mm] b= \frac{1}{4}
[/mm]
b [mm] = b= \frac{1}{4} [/mm] in Gleichung (II) einsetzen bekomme ich a [mm] = b= \frac{1}{4}.
[/mm]
Wenn ich a und b in Gleichung (III) einsetze 1 = 1 .
Darauf, habe ich gesagt dass die Vektoren Linear Abhängig sind.
Ich hoffe, habe ich hier richtig berechnet.
Wie kann ich diese Frage beantworten?
Sind "u" , "v" und "w" die Basis eines Vektorraums? Ich kann nicht diese Frage beweisen.
Wie bestimme ich ob die u,v,w Basis Vektorrauams bildet?
Vielen Dank im Voraus.
Schöne Grüße,
Salai.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo salai,
Du willst also überprüfen ob die Vektoren:
u = (1,2,3), v = (3,2,1) , w = (1,1,1) linear abhängig/ linear unabhängig sind?
Also was gilt denn für diese Aussagen: im Fall der lin. abh. : Sind als Linear.komb. "unter sich" darstellbar. - falls lin. unabh. gilt das nicht.
Ich weiß nicht inwieweit ihr mit Matrizen arbeitet aber eventuell ist es dir ja geläufig diese 3 Vektoren als 3 x 3 Matrix aufzufassen? Nun kannst du versuchen diese 3 x 3 Matrix auf die
Einheitsmatrix umzuformen: also auf die Form (spaltenweise gelesen) (1,0,0), (0,1,0), (0,0,1) - sollte dir das gelingen dann zeigst du dass diese Vektoren, also u,v,w, den [mm] \IR^{3} [/mm] aufspannen.
Gelingt dir das nicht so liegt natürlich keine Basis vor.
Die Definition einer Basis ist dass sie aus linear unabhängig Vektoren besteht. Sind deine Vektoren also lin abh. so bilden sie keine Basis. Sind sie jedoch lin. unabh. so bilden sie eine Basis.
Lg
THomas
Ps: Also auf den ersten Blick würde ich sagen: zumindest einer dieser Vektoren ist lin. abh.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:56 Sa 22.06.2013 | | Autor: | salai |
Guten Abend Thomas,
Vielen Dank für deine Hilfe.
Ja,die Vektoren v,u,w sind Linear Abhängig.
Da meiner Vektoren(u,v,w) Linear Abhängig sind kann ich einfach sagen dass die Vektoren keine "Basis" bilden???
Ich verstehe nicht wie man "Einheitsmatrix umzuformen" leider. Kannst du mir hier mit dem u = (1,2,3), v = (3,2,1) , w = (1,1,1). erklären?
Schöne Grüße,
salai.
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> Guten Abend Thomas,
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> Vielen Dank für deine Hilfe.
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> Ja,die Vektoren v,u,w sind Linear Abhängig.
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> Da meiner Vektoren(u,v,w) Linear Abhängig sind kann ich
> einfach sagen dass die Vektoren keine "Basis" bilden???
Sei V ein Vektorraum.
Ein linear unabhängiges Erzeugendensystem von V wird Basis genannt.
Das bedeutet: Jeder Vektor x [mm] \in [/mm] V lässt sich als Linearkombination dieser Basisvektoren darstellen.
Es gilt also:
x = [mm]\sum_{i\in M} a_{i}*b_{i}[/mm] die [mm] a_{i} [/mm] sind irgendwelche Skalare.
Falls deine Summe endlich ist also falls du endlich viele Basisvektoren hast so ist die Anzahl deiner Basisvektoren die Dimension deines Vektorraums.
>
> Ich verstehe nicht wie man "Einheitsmatrix umzuformen"
> leider. Kannst du mir hier mit dem u = (1,2,3), v =
> (3,2,1) , w = (1,1,1). erklären?
Also um eine Matrix auf die Einheitsmatrix zu überführen bedienst du dich sogenannter "Elementarer Umformungen"
Diese sind:
a) Vertauschen von zwei Spalten
b) Multiplikation einer Spalte mit r [mm] \neq [/mm] 0
c) Addition/Subtraktion zweier Spalten.
[mm] \begin{pmatrix}
1 & 3 & 1\\
2 & 2 & 1\\
3 & 1 & 1
\end{pmatrix}
[/mm]
so würde also deine 3 x 3 Matrix aussehen. Nun kannst du versuchen durch elementare Umformungen sie in die Form
[mm] \begin{pmatrix}
1 & 0 & 0\\
0 & 1 & 0\\
0 & 0 & 1
\end{pmatrix}
[/mm]
zu überführen.
Gelingt dir nicht - damit siehst du: diese 3 Vektoren können niemals Basis des [mm] \IR^{3} [/mm] sein.
>
> Schöne Grüße,
>
> salai.
LG
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:50 Sa 22.06.2013 | | Autor: | salai |
mit dem "Elementarer Umformungen" bekommen ich nach 7 "Step" ..
t $ [mm] \begin{pmatrix} 6 & 18 & 6\\ 0 & 4 & 1\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} [/mm] $
Kann man hier noch witer Umformen ?
Wie kann ich das merken dass diese Vektoren in die "Einheitsmatrix" überfrühen kann?
Wenn es die "Einheitsmatrix" umformgen nicht gelingt sage ich einfach
meiner Vektoren(u,v,w) zwar "Linear Abhängig" aber bildet nicht "Baiss Vektorraums".
Schöne Gruße,
Thomas
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> mit dem "Elementarer Umformungen" bekommen ich nach 7
> "Step" ..
>
> t [mm]\begin{pmatrix} 6 & 18 & 6\\ 0 & 4 & 1\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}[/mm]
>
rechne bis hier nicht nach!
> Kann man hier noch witer Umformen ?
klar kannst du Spalte 3 - Spalte 1. Spalte 1 durch 6 dividieren. dann siehst du dass du Spalte 2 durch Spalte 1 und 3 linear kombinieren kannst.
>
> Wie kann ich das merken dass diese Vektoren in die
> "Einheitsmatrix" überfrühen kann?
Naja entweder du kannst oder du kannst nicht. Möglichkeit 2 wäre es in Form eines GLS anzuschreiben und zu schauen ob dieses lösbar ist.
>
> Wenn es die "Einheitsmatrix" umformgen nicht gelingt sage
> ich einfach
> meiner Vektoren(u,v,w) zwar "Linear Abhängig" aber bildet
> nicht "Baiss Vektorraums".
>
Moment: Wenn es dir nicht gelingt auf die Einheitsmatrix umzuformen siehst du: ES KÖNNEN NICHT ALLE VEKTOREN LINEAR UNABHÄNGIG SEIN , es folgt:
DIES KANN KEIN LINEAR UNABHÄNGIGES ERZEUGENDENSYSTEM SEIN ALSO KEINE BASIS!!!!
lg thomas
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:12 Di 25.06.2013 | | Autor: | salai |
Hallo Thomas,
Vielen Dank für die Erklärungen.
LG,
salai
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