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| Aufgabe | | Gegeben seien die beiden Vektoren a=(1,-1,1) und b=(1,1,-1). Bestimmen Sie das diesen beiden Vektoren angepasste rechtshändige Orthonormalsystem des R³! Stellen Sie den Vektor f=(5,-3,10) als Linearkombination dieses ONSs dar! |
Wie löse ich diese Aufgabe ???
Bitte um Lösungvorschläge!!!
Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen Internetseiten gestellt www.uni-protokolle.de
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:46 Do 09.03.2006 | | Autor: | volta |
Hallo!
Nun, den dritten Vektor des Orthonormalsystems bekommst du über das Kreuzprodukt von a und b: c = a [mm] \times [/mm] b (zur Kontrolle müssen die Skalarprodukte a * b, a * c und b * c Null ergeben). Den Vektor f stellst du dann mittels Linearkombination von a, b und c dar: f = c1 * a + c2 * b + c3 * c, wobei die reellen Konstanten c1, c2 und c3 aus diesem linearen Gleichungssystem zu bestimmen sind.
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Wichtig für eine ONB ist noch die Normierung, d.h. die Vektoren müssen Länge 1 haben!
a [mm] \times [/mm] b = c'=(0;2;2)
c= [mm] \frac{c'}{|c'|}
[/mm]
[mm] |c'|=2\sqrt{2}
[/mm]
=> [mm] c=(0;\sqrt{2};\sqrt{2})
[/mm]
Sonst ist alles vom Vorredner richtig!
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 13:45 Do 09.03.2006 | | Autor: | titanae30 |
Sollte das Kreuzprodukt von a und b bilden!! Und zur kontrolle sollte das Skalarprodukt von a*b =0 sein !!! Ist es aber nicht !! Sondern es ist -1!!
Was nun??????
Skalarprodukt von a*c=0 und b*c=0
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Hallo titanae,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") !
Dann hast Du irgendwo einen Fehler gemacht: entweder beim Kreuzprodukt oder bei der Probe mit dem Skalarprodukt.
Bitte poste mal Deine Zwischenergebnisse ...
Gruß vom
Roadrunner
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Wenn ich das Skalarprodukt aus a=(1,-1,1) und b=(1,1,-1) bilde kommt doch -1 herraus . Das Kreuzprodukt dieser beiden Vektoren ist doch (0,2,2). Wo liegt mein Fehler.Bin ich Matheblind
Und a*c=0 und b*c=0
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Das Kreuzprodukt ist richtig! (mein Taschenrechner liefert das selbe Ergebnis!)! Das Skalarprodukt ist nicht notwendig 0 (-1 ist sogar richtig), da ja der neue Vektor auf den gegebenen senkrecht steht und <a,c> ist ja tatsächlich 0.
Das zeigt aber ein neues Problem:
die Vektoren a und b stehen nicht senkrecht aufeinander, d.h. um aus ihnen eine ONB zu basteln muss man das sogennte
Grahm-Schmidtsche Ortonormalisierungsverfahren anwenden:
( zu finden auch in "Repititorium der Linearen Algebra Teil 2")
Sei <.,.> das Skalarprodukt
a'_[neu]=a_[alt]
[mm] b'_{neu}=b_{alt}-\frac{}{}*a
[/mm]
[mm] c'_{neu}=b_{neu} [/mm] x a
Anschließend normieren:
[mm] a=\frac{a}{|a|}
[/mm]
[mm] b_{neu}=\frac{b_{neu}}{|b_{neu}|}
[/mm]
[mm] c_{neu}=\frac{c_{neu}}{|c_{neu}|}
[/mm]
Die Zahlen eingesetzt:
a'_{neu}=(1,-1,1)
[mm] b'_{neu}=(-\frac{1}{3};-\frac{1}{3};\frac{1}{3})
[/mm]
[mm] a_{neu}=(1,-1,1)/\sqrt{3}=(\sqrt{3};-\sqrt{3};\sqrt{3})
[/mm]
[mm] b_{neu}=(-\frac{1}{3};-\frac{1}{3};\frac{1}{3})/\frac{\sqrt{3}}{3}=
[/mm]
[mm] =(-\frac{\sqrt{3}}{3};-\frac{\sqrt{3}}{3};\frac{\sqrt{3}}{3})
[/mm]
[mm] c'_{neu}=a_{neu} [/mm] x [mm] b_{neu}=(0,2,2)
[/mm]
[mm] c_{neu}=(0,2,2)/2\sqrt{2}=(0;2\sqrt{2};2\sqrt{2})
[/mm]
Die Linearkombination lässt sich wie von Volta beschrieben finden.
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