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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:31 Sa 30.04.2005 | | Autor: | joke |
Hallo liebe Mitglieder,
ich habe ein kleines Problem in der Vektorrechnung,
es sind die Eckpunkte eines Spiegels gegeben, A(4|-1|-2), B(13|2|10), C und D(-2|y|2)
ich soll die parameterfreie Form der Ebengleichung aufstellen dafür muss ich natürlich zuerst die Punkte errechnen ...
ich habe daher Vektor [mm] \overrightarrow{AB} [/mm] und [mm] \overrightarrow{AD} [/mm] ausgerechnet, [mm] \overrightarrow{AB} [/mm] (9|3|8) und [mm] \overrightarrow{AD} [/mm] (-6|yc|0)
danach habe ich das Vektorprodukt errechnet [mm] \overrightarrow{n} [/mm] (-8yc-1|-64|9yc+27) und die Normalebene gebildet
$ [mm] \varepsilon [/mm] : (-8yc-1)x - 64y + (9yc+27)z = 4(-8-1)+64+2(9yc+27) $ danach habe ich für x, y und z Punkt A eingetragen um die fehlende Koordinate zu bekommen
aber es kürzt sich natürlich alles weg (eigentlich klar), muss ich Punkt B einsetzen oder ist mein Ansatz den Punkt zu bekommen eh falsch ?
2.) Frage, wie kann ich eine Gerade spiegeln ? in der Schule leider nicht durchgenommen, die Aufgabe aber verlangt das und ich würde die gerne rechnen, wäre über eine kurze Anleitung dankbar, zur Information - ich soll einen Laserstrahl am Spiegel (also an der Ebenengleichung die oben errechnet werden soll) reflektieren, die Lichtquelle ist in P(10|11|16) und der Laserstrahl hat die Richtung (-3l-5|-6) - wie löse ich das am geschicktesten ? zuerst muss ich natürlich den Schnittpunkt von [mm] \varepsilon [/mm] und g berechnen, doch dann weiß ich nicht mehr weiter
Bitte helft mir, Liebe Grüße Joke
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Hallo Joke,
ich war gerade etwas verwirrt, weil ich mich gewundert habe, was denn ein Spiegel für eine geometrische Figur sein soll, von der ich noch nix gehört habe. :D Und ich bin auch immer noch ein wenig unschlüssig, ob es nun wirklich so ist, wie ich glaube, aber ich gehe einfach mal davon aus, dass es sich bei deinem Spiegel wohl um einen handelsüblichen, rechteckigen Spiegel handelt, der vier rechte Winkel hat und scheinbar einfach irgendwo in dein Koordinatensystem gebappt wurde. ;)
Also erstmal eine Frage zu deinen aufgestellten Vektoren:
Wie kommt denn das c in deinen Vektor [mm]\overrightarrow{AD}[/mm]? Aus deinen Koordinatenangaben der Punkte ist das nicht ersichtlich ... Und zudem ist auch noch ein kleiner Rechenfehler bei der z-Koordinate, bei beiden Vektoren.
Nach dem, was du geschrieben hast, müsste der Vektor lauten: [mm]\overrightarrow{AD}=(-6,y+1,4)[/mm] und [mm]\overrightarrow{AB}=(9,3,12)[/mm]
Wenn man also davon ausgeht, dass dein Spiegel ein rechteckiges Gebilde ist, musst du nun, um die genauen Koordinaten deines Punktes D zu berechnen, das Skalarprodukt der beiden aufgestellten Vektoren bilden und es gleich 0 setzen (du weißt, warum?).
Du musst also die Gleichung
-54 + 3y + 3 + 48 = 0
lösen. Damit erhälst du dann y.
Um die Koordinatengleichung zu bestimmen, musst du das Kreuzprodukt bestimmen, das hast du ja auch schon richtig gesagt. Allerdings hast du dieses soweit ich das gerade überblicken kann auch nicht richtig berechnet. Ich schreibe dir gerade noch einmal schnell die Formel dafür auf.
Für [mm]v=\vektor{v_1 \\v_2 \\v_3 }, w=\vektor{w_1 \\w_2 \\w_3 }[/mm] gilt:
[mm]v \times w = \vektor{v_2 * w_3 - v_3 * w_2 \\v_3 * w_1 - v_1 * w_3 \\ v_1 *w_2 - v_2 * w_3 }[/mm]
Bei der Aufstellung der Koordinatengleichung deiner Ebene hast du dann beim absoluten Glied noch Vorzeichenfehler gemacht (und das y*c weggelassen), aber vom Prinzip her war die Vorgehensweise schon richtig.
Es steht zwar nicht mit in deiner Aufgabenstellung, aber du musst sicherlich den Punkt C auch noch berechnen, oder? Weißt du da, wie man das macht?
Zu 2:
Naja, also den Strahl reflektieren ist ja nicht dasselbe wie ihn zu spiegeln; also das sagen mir jetzt jedenfalls meine weit zurückliegenden Physikkenntnisse, aber es kann auch sein, dass ich mich da irre. ;)
Fürs Reflektieren würde ich wie folgt vorgehen:
Wie du schon richtig erkannt hast, zunächst einmal den Schnittpunkt der Geraden mit der Ebene berechnen. Und dann fallen mir jetzt zwei Vorgehensweisen ein, wobei die eine sicherlich komplizierter ist (nämlich wenn man über den eingeschlossenen Winkel zwischen Normale der Ebene und Richtungsvektor der Geraden geht), und daher die (ich glaube) einfachere Version:
Nimm einen beliebigen (nur nicht den Schnittpunkt) Punkt deiner Geraden und Spiegel ihn an der Normalen deiner Ebene (weißt du, wie das geht?).
Durch den Schnittpunkt und den Spiegelpunkt geht dann dein reflektierter Strahl.
Kommst du soweit klar?
Viele Grüße
Katinka
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:11 So 01.05.2005 | | Autor: | joke |
Hallo Katinka,
vielen Dank für deine Mühe :) werde mich jetzt nochmal an die Aufgabe machen, wenn etwas unklar ist melde ich mich nochmal
Liebe Grüße Joke
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:49 So 01.05.2005 | | Autor: | joke |
Hallo Katinka,
habe jetzt das ganze nochmal versucht
die Ebenengleichung ist
[mm] \varepsilon [/mm] x + 9y - 32 - 1 = 0
dann habe ich versucht den Punkt P (10|11|16) , der ein Punkt des Lichtstrahls (der Geraden) ist an der Ebene zu spiegeln
allerdings kamen ungerade Zahlen heraus und auch die Winkel zur Ebene waren in der gespiegelten Gerade anders als in der Ausgangsgeraden
könntest du mir das vielleicht mal vorführen ? hat bei mir nicht ganz geklappt
P´ war bei mir (11,32|22,86|12,044)
habe zuerst eine Hilfsgerade aufgestellt die den Punkt P als Ortsvektor und den Normalvektor der Ebene als Richtungsvektor hatte
s: [mm] \overrightarrow{X} [/mm] = (10|11|16) + t(1|9|-3)
dann habe ich diese Hilfsgerade mit der Ebene geschnitten um den Fußpunkt herauszubekommen und von dort habe ich dann P´ bestimmt indem ich F + [mm] \overrightarrow{PF} [/mm] berrechnet habe
danach habe ich die Geradengleichung der Reflektion aufgestellt, indem ich P´ als Ortsvektor und [mm] \overrightarrow{P'S} [/mm] als Richtungsvektor genommen habe
ich bekomme dann
g´: (11,32|22,86|12,044) + s(-6,66|-15,93|-10,022)
allerdings wie gesagt, Einfallswinkel =! Ausfallswinkel
ich weiß jetzt nicht wo ich einen Fehler gemacht habe
hoffentlich kannst du mir helfen, mfg Joke
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:07 Mo 02.05.2005 | | Autor: | Sigrid |
Hallo Joke,
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> habe jetzt das ganze nochmal versucht
>
> die Ebenengleichung ist
>
> [mm]\varepsilon[/mm] x + 9y - 32 - 1 = 0
Du meinst: [mm]\varepsilon[/mm] x + 9y - 3z - 1 = 0
Damit hast du ja auch weiter gerechnet.
>
> dann habe ich versucht den Punkt P (10|11|16) , der ein
> Punkt des Lichtstrahls (der Geraden) ist an der Ebene zu
> spiegeln
>
> allerdings kamen ungerade Zahlen heraus und auch die Winkel
> zur Ebene waren in der gespiegelten Gerade anders als in
> der Ausgangsgeraden
>
> könntest du mir das vielleicht mal vorführen ? hat bei mir
> nicht ganz geklappt
>
> P´ war bei mir (11,32|22,86|12,044)
Das Ergebnis habe ich auch. Die Werte sind allerdings gerundet. Stammt die Aufgabe aus einem Buch?
>
> habe zuerst eine Hilfsgerade aufgestellt die den Punkt P
> als Ortsvektor und den Normalvektor der Ebene als
> Richtungsvektor hatte
>
> s: [mm]\overrightarrow{X}[/mm] = (10|11|16) + t(1|9|-3)
>
> dann habe ich diese Hilfsgerade mit der Ebene geschnitten
> um den Fußpunkt herauszubekommen und von dort habe ich dann
> P´ bestimmt indem ich F + [mm]\overrightarrow{PF}[/mm] berrechnet
> habe
>
> danach habe ich die Geradengleichung der Reflektion
> aufgestellt, indem ich P´ als Ortsvektor und
> [mm]\overrightarrow{P'S}[/mm] als Richtungsvektor genommen habe
>
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") Das Vefahren ist korrekt.
> ich bekomme dann
>
> g´: (11,32|22,86|12,044) + s(-6,66|-15,93|-10,022)
Hier habe ich noch nicht nachgerechnet.
>
> allerdings wie gesagt, Einfallswinkel =! Ausfallswinkel
Wenn der Unterschied klein ist, kann es daran liegen, dass du bei den Vektoren gerundet hast.
>
> ich weiß jetzt nicht wo ich einen Fehler gemacht habe
Gravierende Fehler hast du nicht gemacht. Eventuell ist dir irgendwo ein Rechenfehler unterlaufen. Die Zahlen sind allerdings auch mehr als blöd
Gruß
Sigrid
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:32 Mo 02.05.2005 | | Autor: | joke |
Hallo Sigrid,
das Ergebnis war ziemlich falsch ich glaube die Winkel unterschieden sich um 20° , also Rundungsfehler können's nicht sein
die Aufgabe war eine Maturaaufgabe der letztjährigen Klasse und ich dachte mir als Übung auf die Matura rechne ich mir die mal durch, ich schreibe nochmal die ganze Aufgabe hin, vielleicht habe ich ja auch nur falsch gedacht ...
Aufgabe:
IN einem Computerspiel soll ein Laserstrahl an einem ebenen rechteckigen Spiegel ABCD reflektiert werden. Für die Programmierung wird das Problem zuerst im 3D-Raum formuliert und gerechnet. Anschließend werden die Daten in geeigneter Weise auf die Bildschirmebene transformiert. IM 3D-Raum sind die Eckpunkte des Spiegels A(4|-1|-2), B(13|2|10), C und D(-2|y|2).
Die Lichtquelle ist in P(10|11|16) und der Laserstrahl hat die Richtung (-3|-5|-6)
Berechne C und D und die parameterfreie Gleichung der Spiegelebene!
Berechne den Punkt F, in dem der Laserstrahl den Spiegel trifft !
Berechne die Bahn (Geradengleichung) des reflektierten Strahls!
Berechne den Einfallswinkel [mm] \alpha [/mm] (Winkel zwischen Lot und einfallendem Strahl)!
Überprüfe die Geradengleichung des reflektierten Strahls, in dem du den Reflexionswinkel [mm] \beta [/mm] berechnest! Nach dem Reflexionsgesetz muss innerhalb der Rechengenauigkeit [mm] \alpha [/mm] = [mm] \beta [/mm] gelten.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:44 Mo 02.05.2005 | | Autor: | Sigrid |
Hallo Joke,
könnte sein, dass uns beiden ein Vorzeichenfehler unterlaufen ist. Überprüfe doch noch einmal bei der Berechnung des Spiegelpunktes den Schnittpunkt der Normalen
[mm] \vec x = \vektor{10 \\11\\16} + t \vektor{1 \\ 9\\-3} [/mm]
mit der Ebene [mm] x + 9y - 3z - 1 = 0 [/mm]
Ich habe beim Nachrechnen jetzt
[mm] t = -\ \bruch{60}{91} [/mm]
heraus.
Ich rechne auch noch weiter. Aber vielleicht ist das schon der Fehler.
Gruß
Sigrid
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 07:29 Di 03.05.2005 | | Autor: | Sigrid |
Hallo Joke,
Genau das war der Fehler. Jetzt stimmen auch die Winkel. Aber die Werte sind wirklich unangenehm.
Gruß Sigrid
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:06 Di 03.05.2005 | | Autor: | joke |
Danke !!!
werde es jetzt nochmal versuchen ;) vielleicht stimmt's ja dann
Liebe Grüße Joke
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