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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:53 Sa 23.10.2004 | | Autor: | Ganymed |
Hallo Zusammen,
habe hier Probleme mit einem Übungsblatt.
Mit folgenden Aufgaben.
1)
Bestimmen Sie einen Einheitsvektor parallel zur Summe [mm] \vec{rr_{1}}+\vec{r_{2}} [/mm] mit [mm] r_{1}=2 \vec{i}+4 \vec{j}-5 \vec{k}, {r_{2}}=\vec{i}+2 \vec{j}+3 \vec{k} [/mm] und [mm] \vmat{i}=\vmat{j}=\vmat{k}=1
[/mm]
2)
Bestimmen Sie die Winkel [mm] \alpha,\beta,\gamma, [/mm] die der Vektor [mm] \vec{r}=x\vec{i}+y\vec{j}+z\vec{k} [/mm] mit den positiven Koordinatenachsen bildet und zeigen Sie: [mm] cos²\alpha+cos²\beta+cos²\gamma=1
[/mm]
3)
Beweisen Sie, dass für das Skalarprodukt in Komponentenschreibweise gilt: [mm] \vec{a}*\vec{b}=a_{x}b_{x}+a_{y}b_{y}+a_{z}b_{z}
[/mm]
Wir haben die Definitionen bekommen und sollen nun versuchen die Aufgaben zu lösen.Leider tue ich mir damit etwas schwer und wäre über Hilfe,Tipps und Tricks sehr dankbar.
Vielen Dank im Voraus!!!
Gruß Gany
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Hallo.
Ich nehme mal an, daß i,j,k die Basisvektoren des kartesischen Koordinatensystems sind, ansonsten macht 2) keinen Sinn.
Dann läßt sich der Vektor rr1+r2 schreiben als:
[mm] \vektor{2r+1 \\ 4r+2 \\ 3-5r}[/mm] bezüglich der Basis i,j,k.
Der zeigt in dieselbe Richtung wie rr1+r2 (es ist ja derselbe Vektor, hat nur noch nicht den Betrag 1.
Dazu teilen wir einfach jede Komponente durch seinen Betrag, denn der ist ja, nach Pythagoras:
[mm]\wurzel{(2r+1)^2+(4r+2)^2+(3-5r)^2}=\wurzel{45r^2-10r+14}[/mm], sofern ich die Aufgabe richtig verstanden hab, ist die Lösung dann der Vektor [mm] \bruch{1} {\wurzel{45r^2-10r+14}}\vektor{2r+1 \\ 4r+2 \\ 3-5r}[/mm].
Zu 2):
Sofern ich mich recht erinnere, ist der Winkel zwischen Vektoren a,b
[mm]cos(\alpha)=\bruch{\vec{a}*\vec{b}} {|\vec{a}|*|\vec{b}|}[/mm].
Da nun [mm]\vec{i} = \vektor{1 \\ 0 \\ 0}[/mm],
[mm]\vec{j} = \vektor{0 \\ 1 \\ 0}[/mm] und [mm]\vec{k} = \vektor{0 \\ 0 \\ 1}[/mm], kommt bei der berechnung von [mm]cos(\alpha)[/mm]
[mm]cos(\alpha)=\bruch{x} {\wurzel{x^2+y^2+z^2}}[/mm] raus.
Für beta und gamma folgt entsprechendes, nur halt mit y und z oben.
Nun quadrieren wir diese Ergebnisse und erhalten dann folgendes für die verlangte Summe:
[mm]cos^2(\alpha)+cos^2(\beta)+cos^2(\gamma)=\bruch{x^2+y^2+z^2} {x^2+y^2+z^2}=1[/mm], und das ist ja das, was man zeigen sollte.
Aufgabe 3) verstehe ich nicht ganz, da das Skalarprodukt eigentlich so definiert ist. Auf ein Ergebnis dieser Art könnte man daher nur kommen, wenn man die Formel mit cos oben mit dem Ergebnis vergleicht, das man erhält, wenn man den Winkel alpha zwischen a und b mit dem Cosinussatz ausrechnet...
Hoffe, daß ich zumindest bis hierhin helfen konnte,
Gruß,
Christian
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Das das Skalarprodukt mit dieser Formel definiert sei, dachte ich auch bis vor Kurzem; nachzurechnen ist die Formel aber, wie Christian es gesagt hat, mit Hilfe des Kosinussatzes.
Das Skalarprodukt ist definiert als
[mm] \vec{a} * \vec{b} = | \vec{a}| * | \vec{b}| * \cos(\phi) [/mm]
wobei [mm]\phi[/mm] der Winkel zwischen den beiden Vektoren ist, mit [mm]\phi[/mm] zwischen 0° und 90°
Zeichne dir dann 3 Punkte: Koordinatenursprung O, und Punkte A und B (nicht alle 3 auf einer Linie!).
Sei [mm] \vec{a} [/mm] der Ortsvektor vom Punkt A, [mm] \vec{b} [/mm] der Ortsvektor vom Punkt B, und somit der Verbindungsvektor von B nach A : [mm] \vec{a-b} [/mm] (aahhh, wie bekomme ich das hin, dass der Vektorpfeil über beide Buchstaben reicht???)
Klar ist ja auch, dass gilt: [mm] |\vec{a}|= \wurzel{a_1^2+a_2^2+a_3^2}
[/mm]
So, jetzt ein paar Jahre zurückdenken: Kosinussatz.
In diesem Dreieck gilt:
[mm] | \vec{a}-\vec{b}|^2=|\vec{a}|^2+|\vec{b}|^2-2*|\vec{a}|*|\vec{b}|*cos(\phi) [/mm]
Das formen wir jetzt um, so dass der letzte Summand (ohne den Vorfaktor 2) auf einer Seite alleine steht:
[mm] |\vec{a}|*|\vec{b}|*cos(\phi)= \bruch{1}{2}*(|\vec{a}|^2+|\vec{b}|^2-|\vec{a}-\vec{b}|^2) [/mm]
Und jetzt nur noch auf der rechten Seiten die einzelnen Beträge einsetzen, und es bleibt die gewünschte, einfache Formel stehen.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:25 So 24.10.2004 | | Autor: | Ganymed |
Vielen Dank für die Hilfe.
Werde jetzt Versuchen die Tipps in die Tat umzusetzten!
Gruß Gany
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