Veränderter Fubini < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:22 So 08.01.2006 | | Autor: | Runaway |
Hallo,
ich komme bei dieser Aufgabe einfach nicht weiter.
Ich soll beweisen, dass folgendes gilt:
[mm] \integral_{a}^{b} \integral_{a}^{x} [/mm] f(x,y) dy dx = [mm] \integral_{a}^{b} \integral_{y}^{b} [/mm] f(x,y) dx dy
Und ich habe keine Idee wie ich das schaffen soll, weil meine ganzen Ansätze nicht aufgehen :(
Danke,
Runaway
Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen Internetseiten gestellt:
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:32 So 08.01.2006 | | Autor: | felixf |
> Hallo,
>
> ich komme bei dieser Aufgabe einfach nicht weiter.
> Ich soll beweisen, dass folgendes gilt:
>
> [mm]\integral_{a}^{b} \integral_{a}^{x}[/mm] f(x,y) dy dx =
> [mm]\integral_{a}^{b} \integral_{y}^{b}[/mm] f(x,y) dx dy
Vielleicht hilft dir der Zwischenschritt [mm] $\int_{a \le y \le x \le b} [/mm] f(x, y) d(x, y)$?
Wenn die Funktion 'freundlich' genug ist ist das damit nach Fubini erledigt.
LG Felix
|
|
|
| |
|
Und bildlich sagt der Ansatz von felixf:
[Dateianhang nicht öffentlich]
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: gif) [nicht öffentlich]
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:36 So 08.01.2006 | | Autor: | Runaway |
Hallo,
danke erstmal, aber könntet ihr mir noch einen weiteren Tip geben.
Ich komme damit nicht weiter, weil ich durch den Fubini nur erhalte:
[mm] \integral_{a}^{x} [/mm] { [mm] \integral_{a}^{b} [/mm] {f(x,y) dx} dy} ...
ich aber nicht auf
[mm] \integral_{a}^{b} [/mm] { [mm] \integral_{y}^{b} [/mm] {f(x,y) dx} dy}
komme
Runaway
[edit]
Obwohl, ich habe gerade eine Idee 
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:08 So 08.01.2006 | | Autor: | Runaway |
Kann man es so machen:
g(x1) = [mm] \integral_{a}^{b} [/mm] { [mm] \integral_{a}^{x1} [/mm] {f(x,y) dy} dx}
und
g'(x1) = [mm] \integral_{a}^{b} [/mm] {f(x,x1) dx}
Dann gilt allgemein:
g(x1)= [mm] \integral_{a}^{x1} [/mm] {g'(y) dy} + g(a)
wobei g(a) nach def. verschwindet (wegen der wahl der Konstanten??)
g(x1)= [mm] \integral_{a}^{x1} [/mm] { [mm] \integral_{a}^{b} [/mm] {f(x, y) dx} dy}
jetzt setze ich:
h(y1) = [mm] \integral_{a}^{x1} [/mm] { [mm] \integral_{y1}^{b} [/mm] {f(x, y) dx} dy}
und
h'(y1) = - [mm] \integral_{a}^{x1} [/mm] {f(y1, y) dy}
wieder gilt
h(y1) = - [mm] \integral_{y1}^{b} [/mm] { h'(x) dx}
setze ich jetzt wieder ein erhalte ich:
h(y1) = [mm] \integral_{y1}^{b} [/mm] { [mm] \integral_{a}^{x1} [/mm] {f(y1, y) dy} dx}
und wenn ich jetzt x1 = b setze und nochmal fubini anwende habe ich die gewünschte Gleichung.
Stimmt das?
Runaway
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:49 So 08.01.2006 | | Autor: | Stefan |
Hallo!
Das ist viel zu umständlich, weil du den Beweis von Fubini wiederholst, Fubini aber direkt anwenden kannst... (siehe mein anderer Beitrag)
Liebe Grüße
Stefan
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:46 So 08.01.2006 | | Autor: | Stefan |
Hallo!
Nein, das ist vollkommen falsch, weil $x$ außen im Integrationsbereich steht und innen nach $x$ integriert wird.
Wende einfach direkt Fubini an auf
[mm] $1_{\{a \le y \le b\}} \cdot 1_{\{y \le x \le b\}}= 1_{\{a \le y \le x \le b\}} [/mm] = [mm] 1_{\{a \le x \le b\}} \cdot 1_{\{a \le y \le x\}}$,
[/mm]
dann bist du doch direkt fertig (Ein- bis Zweizeiler).
Liebe Grüße
Stefan
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:53 So 08.01.2006 | | Autor: | K-D |
Sorry, dass ich es nicht sehe, aber wie schreibe ich
$ [mm] 1_{\{a \le y \le b\}} \cdot 1_{\{y \le x \le b\}}= 1_{\{a \le y \le x \le b\}} [/mm] = [mm] 1_{\{a \le x \le b\}} \cdot 1_{\{a \le y \le x\}} [/mm] $
mit Integralen?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:08 So 08.01.2006 | | Autor: | felixf |
> Sorry, dass ich es nicht sehe, aber wie schreibe ich
>
> [mm]1_{\{a \le y \le b\}} \cdot 1_{\{y \le x \le b\}}= 1_{\{a \le y \le x \le b\}} = 1_{\{a \le x \le b\}} \cdot 1_{\{a \le y \le x\}}[/mm]
Du weisst das diese drei Funktionen alle gleich sind?
> mit Integralen?
Was Stefan meint: Du integrierst diese Funktion ueber alle $(x, y) [mm] \in \IR \times \IR$, [/mm] also [mm] $\int_{\IR \times \IR} 1_{...} [/mm] d(x, y)$. Nach Fubini ist dies gleich [mm] $\int_\IR \int_\IR 1_{...} \; [/mm] dx [mm] \; [/mm] dy$ und gleich [mm] $\int_\IR \int_\IR 1_{...} \; [/mm] dy [mm] \; [/mm] dx$.
So, und bei den letzten beiden Integralen passt jeweils eine der Funktionen oben besser als die anderen, denn dann kann man die eine aus dem inneren Integral rausziehen und dann die Grenzen ablesen.
Beispiel:
[mm] $\int_a^b \int_c^d [/mm] f(x, y) dy [mm] \; [/mm] dx = [mm] \int 1_{a \le x \le b} \int 1_{c \le y \le d} [/mm] f(x, y) [mm] \; [/mm] dy [mm] \; [/mm] dx = [mm] \int_{\IR \times \IR} 1_{a \le x \le b} 1_{c \le y \le d} [/mm] f(x, y) [mm] \; [/mm] d(x, y)$. Versuch das mal nachzuvollziehen.
LG Felix
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:27 So 08.01.2006 | | Autor: | Runaway |
Ist das jetzt die Lösung:
[mm] \integral_{a}^{b} \integral_{y}^{b} [/mm] f(x,y) dx dy= [mm] \integral_{a}^{b} \integral_{a}^{b} [/mm] f(x,y) dx dy= [mm] \integral_{a}^{b} \integral_{a}^{b} [/mm] f(x,y) dy dx= [mm] \integral_{a}^{b} \integral_{a}^{x} [/mm] f(x,y) dy dx
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:46 So 08.01.2006 | | Autor: | felixf |
> Ist das jetzt die Lösung:
>
> [mm]\integral_{a}^{b} \integral_{y}^{b}[/mm] f(x,y) dx dy=
> [mm]\integral_{a}^{b} \integral_{a}^{b}[/mm] f(x,y) dx dy=
> [mm]\integral_{a}^{b} \integral_{a}^{b}[/mm] f(x,y) dy dx=
> [mm]\integral_{a}^{b} \integral_{a}^{x}[/mm] f(x,y) dy dx
Nein. Das erste und das letzte Gleichheitszeichen ist falsch.
Hinweis: Es ist [mm] $\integral_{a}^{b} \integral_{y}^{b}[/mm] [/mm] f(x,y) dx [mm] \l [/mm] dy = [mm] \int_\IR 1_{1 \le y \le b} \int_\IR 1_{y \le x \le b} [/mm] f(x, y) dx [mm] \; [/mm] dy = [mm] \int_{\IR \times \IR} 1_{1 \le y \le b} 1_{y \le x \le b} [/mm] f(x, y) d(x, y)$.
LG Felix
|
|
|
|
