Verallgemeinerte Kreisgleichun < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo!
Ich bin neu hier und jetzt voller Hoffnung, dass mir hier vielleicht jemand mit meinem kleinen Problem helfen kann. Das Forum hier schaut ja zumindest schon einmal sehr vielversprechend aus. :)
Nun aber direkt zum Thema:
Ich sitze an einer Aufgabe, die da lautet:
Eine Gerade geht durch die zwei Punkte -1 und 2i. Bestimmen Sie die zugehörige verallgemeinerte Kreisgleichung in der Form [mm]\beta*z + \bar{\beta}*\bar{z} + \gamma = 0[/mm], mit [mm]\beta, z \in \IC, \gamma \in \IR[/mm].
Durch Umformungen erhält man ja eine allgemeine Geradengleichung:
[mm]\beta*z + \bar{\beta}*\bar{z} + \gamma = 0
<=> 2*Re(\beta*z) = -\gamma
<=> \beta*z = -\gamma/2 + t*i
<=> z = -\gamma/(2*\beta) + t/\beta * i [/mm] mit [mm]t \in \IR[/mm]
Für eine Geradengleichung durch zwei Punkte [mm]z_1[/mm] und [mm]z_2[/mm] habe ich folgende Formel:
[mm]z = z_1 + t*(z_2 - z_1)[/mm] mit [mm]t \in \IR[/mm]
Wenn ich nun in die letzte Gleichung meine beiden gegebenen Punkte eingebe, bekomme ich ja zB diese Gleichung:
[mm]z = 2i*t(1+2i)[/mm]
Und wenn ich jetzt aber mit dieser Gleichung versuche [mm]\beta[/mm] und [mm]\gamma[/mm] zu bestimmen, scheitere ich immer daran, dass ich letztendlich für [mm]\gamma[/mm] einen komplexen Wert rausbekomme, was ja nicht sein darf.
Dasselbe auch, wenn ich die Geradengleichung anders aufstelle und [mm]z_1[/mm] und [mm]z_2[/mm] vertausche.
Wo liegt nun mein Fehler?
Kann mir jemand auf die Sprünge helfen?
Vielen Dank & Gruß
Katinka
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Hallo!
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
Ich glaube, dass dein Fehler hier liegt:
> [mm]2*Re(\beta*z) = -\gamma <=> \beta*z = -\gamma/2 + t*i[/mm]
Das wäre ja nur richtig für [mm] $t=Im(\beta*z)$, [/mm] aber $t$ müsste variabel sein.
Eigentlich müsste es so gehen: Setze für $z$ $-1$ und $2i$ ein und löse nach [mm] $\mathrm{Re}\beta,\ \mathrm{Im}beta$ [/mm] und [mm] $\gamma$ [/mm] auf.
Hilft dir das weiter?
Gruß, banachella
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Hallo!
Danke für deine schnelle Antwort! :)
Also t ist auch variabel und nicht fest ...
So, wie du es sagst, hab ich es auch schon probiert, also ich habe einfach [mm]\beta = a+ib[/mm] und [mm]z = x+iy[/mm] gesetzt, wenn ich das dann ausmultipliziere blieb noch
[mm]2ax + 2by + \gamma = 0[/mm]
über (jedenfalls sowas in der Art, ich schreibs grad aus dem Kopf auf, meine Zettel liegen drüben im anderen Zimmer), aber da hab ich dann zwei Gleichungen mit drei Unbekannten und komme somit bestenfalls auf ein Verhältnis von a zu b (es war glaub ich a = -2b oder andersrum), aber das bringt mich ja auch nicht weiter ... oder übersehe ich da jetzt einfach etwas?
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Du hast ja die Gleichung [mm] $\beta z+\overline \beta\overline z+\gamma [/mm] =0$. Die kannst du auch mit jeder reellen Konstante durchmultiplzieren, ohne dass sich etwas ändert. Zum Beispiel:
[mm] $\bruch\beta{\mathrm{Re}\beta}z+\bruch{\overline{\beta}}{\mathrm{Re}\beta}\overline z+\bruch{\gamma}{\mathrm{Re}\beta}=0$.
[/mm]
Du kannst also getrost [mm] $\mathrm{Re}\beta=1$ [/mm] voraussetzen, weil aus [mm] $\mathrm{Re}\beta=0$ [/mm] folgen würde, dass [mm] $\beta=0$, [/mm] und das macht keinen Sinn.
Gruß, banachella
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