www.matheraum.de
Das Matheforum.
Das Matheforum des MatheRaum.

Für Schüler, Studenten, Lehrer, Mathematik-Interessierte.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Mathe
  Status Schulmathe
    Status Primarstufe
    Status Mathe Klassen 5-7
    Status Mathe Klassen 8-10
    Status Oberstufenmathe
    Status Mathe-Wettbewerbe
    Status Sonstiges
  Status Hochschulmathe
    Status Uni-Analysis
    Status Uni-Lin. Algebra
    Status Algebra+Zahlentheo.
    Status Diskrete Mathematik
    Status Fachdidaktik
    Status Finanz+Versicherung
    Status Logik+Mengenlehre
    Status Numerik
    Status Uni-Stochastik
    Status Topologie+Geometrie
    Status Uni-Sonstiges
  Status Mathe-Vorkurse
    Status Organisatorisches
    Status Schule
    Status Universität
  Status Mathe-Software
    Status Derive
    Status DynaGeo
    Status FunkyPlot
    Status GeoGebra
    Status LaTeX
    Status Maple
    Status MathCad
    Status Mathematica
    Status Matlab
    Status Maxima
    Status MuPad
    Status Taschenrechner

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Mathe-Seiten:Weitere Fächer:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
StartseiteMatheForenIntegrieren und DifferenzierenVerbesserte Trapezregel
Foren für weitere Schulfächer findest Du auf www.vorhilfe.de z.B. Geschichte • Erdkunde • Sozialwissenschaften • Politik/Wirtschaft
Forum "Integrieren und Differenzieren" - Verbesserte Trapezregel
Verbesserte Trapezregel < Integr.+Differenz. < Numerik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Integrieren und Differenzieren"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

Verbesserte Trapezregel: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:13 So 01.04.2007
Autor: Tiffany

Aufgabe
Zur Approximation des Integrals $I(f) = [mm] \integral_{0}^{1}{f(x) \, dx}$ [/mm] kann man die Trapezregel $T(f) = [mm] \textstyle\bruch{1}{2}(f(0) [/mm] + f(1))$ verwenden.
Begründe, warum die "verbesserte Trapezregel" $R(f) = [mm] \textstyle\bruch{1}{2}(f(\bruch{1}{5}) [/mm] + [mm] f(\bruch{4}{5}))$ [/mm] i. a. eine bessere Approximation für $I(f)$ liefert.

Scheint zwar zu stimmen, habe aber keine Ahnung, warum. Als Hinweis wird noch auf die Taylorreihenentwicklung verwiesen. Das hilft mir hier aber auch nicht sonderlich weiter.


        
Bezug
Verbesserte Trapezregel: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 12:33 Mo 02.04.2007
Autor: wauwau

Was heißt i.a. - im allgemeinen ????

Bezug
        
Bezug
Verbesserte Trapezregel: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:39 Mo 02.04.2007
Autor: wauwau

Die Funktion:

[mm] \bruch{x^3}{3}-\bruch{x^2}{2}+\bruch{4x}{25}+1 [/mm]

Wird durch die Trapezregel in der ersten Form exakt integriert.
Die "verbesserte" Trapezregel kann daher nur schlechter sein (ist sie auch in diesem Fall)

Bezug
                
Bezug
Verbesserte Trapezregel: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 12:51 Mo 02.04.2007
Autor: chyval

@wau wau: kann es sein, dass du hier Trapez mit Simpson verwechselt hast?

Bezug
                        
Bezug
Verbesserte Trapezregel: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 13:31 Mo 02.04.2007
Autor: wauwau

Ne, ahbe ich nicht, einfach die in der Eingabe verwendeten Formeln für die Trapezregeln angewendet...

Bezug
                                
Bezug
Verbesserte Trapezregel: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 14:14 Mo 02.04.2007
Autor: Tiffany

i. a. heißt wohl im allgemeinen, also so was ähnliches wie "fast überall". Man kann also schon Beispiele konstruieren, wo die "normale" Regel besser ist.

Ich habe die verbesserte Regel mal auf einige "normale" Funktionen losgelassen wie [mm] $\sin(x), \, \ln(1+x), \, e^x, \, 1/(1+x^2)$. [/mm] Hat den Anschein, als wäre sie tatsächlich deutlich genauer.

Bezug
                                        
Bezug
Verbesserte Trapezregel: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 15:24 Mo 02.04.2007
Autor: wauwau

fast überrall, da brächte man dann ein Maß auf einem geeigneten Funktionenraum

Bezug
                
Bezug
Verbesserte Trapezregel: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 20:14 Mo 02.04.2007
Autor: Tiffany

Beide Regeln liefern hier [mm] $\bruch{299}{300}$ [/mm] - was der exakte Wert ist!

Bezug
        
Bezug
Verbesserte Trapezregel: Taylorreihe
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:07 Mo 02.04.2007
Autor: Tiffany

Ich habe es mal mit der angegebenen Reihenentwicklung versucht:

[mm] $f(\bruch{1}{5}) [/mm] = f(0) + [mm] \bruch{1}{5}f'(0) [/mm] + [mm] \bruch{1}{50}f''(0) [/mm] + [mm] \bruch{1}{750}f'''(0) [/mm] + ...$
[mm] $f(\bruch{4}{5}) [/mm] = f(0) + [mm] \bruch{4}{5}f'(0) [/mm] + [mm] \bruch{16}{50}f''(0) [/mm] + [mm] \bruch{64}{750}f'''(0) [/mm] + ...$
[mm] $\Rightarrow [/mm] R(f) = f(0) + [mm] \bruch{1}{2}f'(0) [/mm] + [mm] \bruch{17}{100}f''(0) [/mm] + [mm] \bruch{13}{300}f'''(0) [/mm] + ...$

Und nun? Was genau hilft das?

Bezug
                
Bezug
Verbesserte Trapezregel: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:14 Mo 02.04.2007
Autor: ullim

Hi,


der Fehler der bei Integration mittels Trapezformel entsteht, lässt sich für jede zweimal stetig differenzierbare Funktion f auf dem Interbvall [0..1] wie folgt abschätzen.


[mm] |\Delta(f)|=\br{1}{12}|f''(\xi)]\le\br{1}{12}M [/mm] mit [mm] \xi\in(0,1) [/mm] und M=max(f''(x)) für [mm] x\in(0,1) [/mm]

Der Beweis beruht darauf, das man die Funktion f(x) linear an den Stellen [mm] x_0=0 [/mm] und [mm] x_1=1 [/mm] interpoliert.

Ersetzt man die Interpolationsstellen [mm] x_0=0 [/mm] und [mm] x_1=1 [/mm] durch neue Interpolationsstellen  [mm] x_0=\alpha [/mm] und [mm] x_1=1-\alpha [/mm] und führt die gleichen Beweisschritte durch, erhält man folgende Fehlerabschätzung


[mm] |\Delta(f)|=\left|\br{1}{2}f''(\xi_1)(-\br{2}{3}\alpha^3+\br{1}{2}\alpha^2)+\br{1}{2}f''(\xi_2)(-\br{1}{6}+\alpha-2\alpha^2+\br{4}{3}\alpha^3)+\br{1}{2}f''(\xi_3)(-\br{2}{3}\alpha^3+\br{1}{2}\alpha^2)\right| [/mm]

mit [mm] \xi_i\in(0,1) [/mm] für i=1..3

also gilt


[mm] |\Delta(f)|\le\br{1}{2}M\left(\left|-\br{2}{3}\alpha^3+\br{1}{2}\alpha^2\right|+\left|-\br{1}{6}+\alpha-2\alpha^2+\br{4}{3}\alpha^3\right|+\left|-\br{2}{3}\alpha^3+\br{1}{2}\alpha^2\right|\right) [/mm]

Die rechte Seite hat ein Minimum bei [mm] \alpha=\br{1}{4} [/mm] und ein Maximum bei [mm] \alpha=0. [/mm] Ich leg mal ein Bild bei.

Also kann man sagen, das mit den Interpolationswerten [mm] x_0=\br{1}{5} [/mm] und [mm] x_1=\br{4}{5} [/mm] bessere Ergebnisse erzielt werden können. Das Ergebnis hängt aber von den Werten die [mm] f''(\xi_i) [/mm] annehmen kann ab, s.d. es auch Funktionen geben kann, wo die verbesserte Formel keine besseren Werte liefert.

Anbei ein Bild über den Fehlerverlauf

[a]Datei-Anhang


mfg ullim


Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: pdf) [nicht öffentlich]
Bezug
                        
Bezug
Verbesserte Trapezregel: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:43 Mo 02.04.2007
Autor: Tiffany

Was sind denn hier die [mm] $\xi_i$? [/mm] Das sind ja sicher nicht die Stützstellen [mm] $\alpha$ [/mm] bzw. [mm] $1-\alpha$. [/mm]

Bezug
                                
Bezug
Verbesserte Trapezregel: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:58 Mo 02.04.2007
Autor: ullim

Hi,

die [mm] \xi_i [/mm] sind Werte die aus der Anwendung des Zwischenwertsatzes für die Integralrechnung stammen. Sie sind also nicht genau bestimmt, sondern man weiß nur, das sie existieren. Aus diesem Grund habe ich die zweiten Ableitungen auch durch ihr Maximum abgeschätzt.

Die [mm] \xi_i [/mm] sind aus folgenden Intervallen

[mm] \xi_1\in(0,\alpha) [/mm]

[mm] \xi_2\in(\alpha,1-\alpha) [/mm]

[mm] \xi_3\in(1-\alpha,1) [/mm]

mfg ullim

Bezug
                        
Bezug
Verbesserte Trapezregel: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:50 Mo 02.04.2007
Autor: Tiffany

Genau nachgerechnet habe ich das nicht, hier aber mal die Fehlerabschätzung von mir (Taylorentwicklung bei $x = 0$):

Der exakte Wert ist $I(f) = f(0) + [mm] \bruch{1}{2}f'(0) [/mm] + [mm] \bruch{1}{6}f''(0) [/mm] + ... $

Interpolation bei $0$ und $1$:
$f(0) = f(0)$
$f(1) = f(0) + f'(0) + [mm] \bruch{1}{2}f''(0) [/mm] + ... $
[mm] $\Rightarrow [/mm] R(f) = f(0) + [mm] \bruch{1}{2}f'(0) [/mm] + [mm] \bruch{1}{4}f''(0) [/mm] + ...$
Fehler: [mm] $\bruch{1}{12}|f''(0)|$ [/mm]
(stimmt also in etwa mit deiner Abschätzung überein)

Interpolation bei [mm] $\bruch{1}{5}$ [/mm] und [mm] $\bruch{4}{5}$: [/mm]
[mm] $f(\bruch{1}{5}) [/mm] = f(0) + [mm] \bruch{1}{5}f'(0) [/mm] + [mm] \bruch{1}{50}f''(0) [/mm] + ... $
[mm] $f(\bruch{4}{5}) [/mm] = f(0) + [mm] \bruch{4}{5}f'(0) [/mm] + [mm] \bruch{16}{50}f''(0) [/mm] + ... $
[mm] $\Rightarrow [/mm] R(f) = f(0) + [mm] \bruch{1}{2}f'(0) [/mm] + [mm] \bruch{17}{100}f''(0) [/mm] + ...$
Fehler: [mm] $\bruch{1}{300}|f''(0)|$ [/mm]

Interpolation bei [mm] $\bruch{1}{4}$ [/mm] und [mm] $\bruch{3}{4}$: [/mm]
[mm] $f(\bruch{1}{4}) [/mm] = f(0) + [mm] \bruch{1}{4}f'(0) [/mm] + [mm] \bruch{1}{32}f''(0) [/mm] + ... $
[mm] $f(\bruch{3}{4}) [/mm] = f(0) + [mm] \bruch{3}{4}f'(0) [/mm] + [mm] \bruch{9}{32}f''(0) [/mm] + ... $
[mm] $\Rightarrow [/mm] R(f) = f(0) + [mm] \bruch{1}{2}f'(0) [/mm] + [mm] \bruch{5}{32}f''(0) [/mm] + ...$
Fehler: [mm] $\bruch{1}{96}|f''(0)|$ [/mm]

Also scheint bei [mm] $\alpha [/mm] = [mm] \bruch{1}{4}$ [/mm] doch nicht das Minimum zu sein?! Oder bekommt man andere Koeffizienten, wenn man an anderen Stellen entwickelt?

Bezug
                                
Bezug
Verbesserte Trapezregel: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:26 Di 03.04.2007
Autor: ullim

Hi,

bei meinem Beweis bin ich davon ausgegangen, das die Funktion f(x) linear interpoliert wird an den Stützstellen [mm] x_0=\alpha [/mm] und [mm] x_1=1-\alpha [/mm] mit [mm] 0<\alpha<\br{1}{2}. [/mm]

Der Interpolationsfehler lässt sich dann darstellen als

[mm] r(x)=f[\alpha,1-\alpha,x](x-\alpha)(x-(1-\alpha)) [/mm] und [mm] f[\alpha,1-\alpha,x] [/mm] ist die dividierte Differenz.

Daraus ergibt sich als Fehler für die Integration

[mm] \Delta(f)=\integral_{0}^{1}{r(x) dx}=\integral_{0}^{1}{f[\alpha,1-\alpha,x](x-\alpha)(x-(1-\alpha)) dx} [/mm]

An dieser Stelle soll der Mittelwertsatz der Integralrechnung angewandt werden, und deshalb muss das Integrationsintervall so zerlegt werden, das das Polynom

[mm] (x-\alpha)(x-(1-\alpha)) [/mm] in den Integrationsintervallen kein Vorzeichenwechsel hat. Also

[mm] \Delta(f)=\integral_{0}^{\alpha}{f[\alpha,1-\alpha,x](x-\alpha)(x-(1-\alpha)) dx}+\integral_{\alpha}^{1-\alpha}{f[\alpha,1-\alpha,x](x-\alpha)(x-(1-\alpha)) dx}+\integral_{1-\alpha}^{1}{f[\alpha,1-\alpha,x](x-\alpha)(x-(1-\alpha)) dx} [/mm]

Nun den Mittelwertsatz anwenden, dann folgt

[mm] \Delta(f)=f[\alpha,1-\alpha,\xi_1]\integral_{0}^{\alpha}{(x-\alpha)(x-(1-\alpha)) dx}+f[\alpha,1-\alpha,\xi_2]\integral_{\alpha}^{1-\alpha}{(x-\alpha)(x-(1-\alpha)) dx}+f[\alpha,1-\alpha,\xi_3]\integral_{1-\alpha}^{1}{(x-\alpha)(x-(1-\alpha)) dx} [/mm]

und weil [mm] f[\alpha,1-\alpha,\xi_i]=\br{f''(\eta_i)}{2} [/mm] für i=1,2,3 ist, folgt

[mm] \Delta(f)=\br{f''(\eta_1)}{2}\integral_{0}^{\alpha}{(x-\alpha)(x-(1-\alpha)) dx}+\br{f''(\eta_2)}{2}\integral_{\alpha}^{1-\alpha}{(x-\alpha)(x-(1-\alpha)) dx}+\br{f''(\eta_3)}{2}\integral_{1-\alpha}^{1}{(x-\alpha)(x-(1-\alpha)) dx} [/mm]

und weiter

[mm] |\Delta(f)|\le\br{M}{2}\left(\left|\integral_{0}^{\alpha}{(x-\alpha)(x-(1-\alpha)) dx}\right|+\left|\integral_{\alpha}^{1-\alpha}{(x-\alpha)(x-(1-\alpha)) dx}\right|+\left|\integral_{1-\alpha}^{1}{(x-\alpha)(x-(1-\alpha)) dx}\right|\right) [/mm]

mit M=max(|f''(x)|) für [mm] x\in(0,1) [/mm]

Durchführen der Integration führt dann zu der Formel

[mm] |\Delta(f)|\le\br{1}{2}M\left(\left|-\br{2}{3}\alpha^3+\br{1}{2}\alpha^2\right|+\left|-\br{1}{6}+\alpha-2\alpha^2+\br{4}{3}\alpha^3\right|+\left|-\br{2}{3}\alpha^3+\br{1}{2}\alpha^2\right|\right) [/mm]

Das Minimum der rechten Seite wird bei [mm] \alpha=\br{1}{4} [/mm] angenommen.

mfg ullim


Bezug
                                        
Bezug
Verbesserte Trapezregel: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 15:16 Di 03.04.2007
Autor: wauwau

Du hast recht, nur dass meines Erachtens die angegebene verbesserte Trapezregel keine lineare Interpolation an den Stützstellen darstellt!!!!

Bezug
                                                
Bezug
Verbesserte Trapezregel: Frage (überfällig)
Status: (Frage) überfällig Status 
Datum: 15:45 Di 03.04.2007
Autor: ullim

Hi,

ist den die Trapezregel nicht auch durch lineare Interpolation der Funktion f(x) an den Stellen [mm] x_0=0 [/mm] und [mm] x_1=1 [/mm] entstanden? Für [mm] \alpha=0 [/mm] ergibt meine Abschätzung auch die bekannte Formel für den Integrationsfehler der Trapezregel.

mfg ullim

Bezug
                                                        
Bezug
Verbesserte Trapezregel: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 10:32 Mi 04.04.2007
Autor: wauwau

Nein, die Trapezregel approximiert die Funktion im Intervall linear!  nicht an den Intervallgrenzen

Bezug
                                                                
Bezug
Verbesserte Trapezregel: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 11:37 Mi 04.04.2007
Autor: ullim

Hi,

die Funktion

[mm] g(x)=\br{f(b)-f(a)}{b-a}(x-a)+f(a) [/mm]

ist eine lineare Funktion durch die Punkte (a,f(a)) und (b,f(b)) und das Integral über g(x) ergibt die Trapezregel.

Oder kannst Du mir Deine Ansicht nochmal genauer erklären.

mfg ullim

Bezug
                                                                        
Bezug
Verbesserte Trapezregel: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 16:53 Mi 04.04.2007
Autor: wauwau

Schon, nur z.B.

f(a)x +f(1-a)(1-x) ergibt integriert über [0,1] auch die erweiterte Trapezregel und trotzdem kann ich damit zur Fehlerabschätzung wenig aussagen.

die Normale Fehlerabschätzung kriegt man ja aus der Tatsachem dass

[mm] \integral_{a}^{b} {(x-\bruch{a+b}{2})f'(x) dx}=\bruch{(f(a)+f(b))*(b-a)}{2} [/mm]  - [mm] \integral_{a}^{b}{f(x) dx } [/mm]

linke seite partiell integriert und mit dem Zwischenwertsatz abgeschätzt ergibt den gewünschten Fehler.

wie sieht bei dir die "durchdividierte Differenz" wirklich aus????

Bezug
                                                                                
Bezug
Verbesserte Trapezregel: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 23:37 Mi 04.04.2007
Autor: ullim

Hi,

die dividierten Differenzen sind folgendermaßen definiert

[mm] f[\alpha,1-\alpha,x]=\br{f(x)-q(x)}{(x-\alpha)(x-(1-\alpha))} [/mm]

[mm] q(x)=f[\alpha]+f[\alpha,1-\alpha](x-\alpha) [/mm]

[mm] f[\alpha]=f(\alpha) [/mm]

[mm] f[\alpha,1-\alpha]=\br{f(1-\alpha)-f(\alpha)}{1-2\alpha} [/mm]

allgemein sind die dividierten Differenzen definiert durch


[mm] f[x_0,...,x_n]=\summe_{i=0}^{n}\br{f[x_i]}{\produkt_{\begin{matrix} {k=0} \\ {k\ne i} \end{matrix}}^{n}(x_i-x_k)} [/mm]

mfg ullim

Bezug
                                                        
Bezug
Verbesserte Trapezregel: Fälligkeit abgelaufen
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 16:20 Do 05.04.2007
Autor: matux

$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Integrieren und Differenzieren"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
www.matheforum.net
[ Startseite | Forum | Wissen | Kurse | Mitglieder | Team | Impressum ]