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| Aufgabe | Seien x,y [mm] \in \IR^n [/mm] mit x [mm] \not= [/mm] y zwei verschiedene Punkte und
[mm] g_{xy}:[0,1] \to \IR^n, [/mm] t [mm] \mapsto [/mm] x+t(y-x)
die gerade Verbindungsstrecke zwischen x und y.
Zeige: Ist f:[a,b] [mm] \to \IR^n [/mm] eine beliebige stetig differenzierbare Kurve mit f(a)=x und f(b)=y, d.h. mit Anfangspunkt x und Endpunkt y, dann gilt:
L(f) [mm] \ge L(g_{xy} [/mm] |
Also mit dieser Aufgabe soll gezeigt werden, dass die kürzeste Verbindung zwischen zwei Punkten bezüglich der euklidischen Norm eine gerade ist.
Doch wie kann ich das denn konkret zeigen?
Also als Hinweis habe ich bekommen, dass man aus dem Vektor
[mm] y-x\not=0 [/mm] eine geeignte Orthonormalbasis des [mm] \IR^n [/mm] konstruieren soll. Doch dieser bringt mich nicht weiter.
Eine andere Überlegung ist die Cauchy-Schwarzsche Ungleichung irgendwie anzuwenden.
Doch ich habe keine Ansätze. Kann mir jemand weiterhelfen?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:57 Do 06.12.2012 | | Autor: | fred97 |
> Seien x,y [mm]\in \IR^n[/mm] mit x [mm]\not=[/mm] y zwei verschiedene Punkte
> und
> [mm]g_{xy}:[0,1] \to \IR^n,[/mm] t [mm]\mapsto[/mm] x+t(y-x)
> die gerade Verbindungsstrecke zwischen x und y.
> Zeige: Ist f:[a,b] [mm]\to \IR^n[/mm] eine beliebige stetig
> differenzierbare Kurve mit f(a)=x und f(b)=y, d.h. mit
> Anfangspunkt x und Endpunkt y, dann gilt:
> L(f) [mm]\ge L(g_{xy}[/mm]
> Also mit dieser Aufgabe soll gezeigt
> werden, dass die kürzeste Verbindung zwischen zwei Punkten
> bezüglich der euklidischen Norm eine gerade ist.
> Doch wie kann ich das denn konkret zeigen?
Das folgt doch sofort aus der Definition von "Rektifizierbarkeit" und der Def. von L(f).
FRED
>
> Also als Hinweis habe ich bekommen, dass man aus dem
> Vektor
> [mm]y-x\not=0[/mm] eine geeignte Orthonormalbasis des [mm]\IR^n[/mm]
> konstruieren soll. Doch dieser bringt mich nicht weiter.
>
> Eine andere Überlegung ist die Cauchy-Schwarzsche
> Ungleichung irgendwie anzuwenden.
> Doch ich habe keine Ansätze. Kann mir jemand
> weiterhelfen?
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