Verdichtungssatz < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:25 Do 22.11.2007 | | Autor: | Ines27 |
| Aufgabe | | Für welche [mm] \alpha \in \IR [/mm] konvergiert [mm] \summe_{\infty}^{n=2} \bruch{1}{n ln^{\alpha} n} [/mm] |
Ich würde diese Aufgabe gerne mit dem Verdichtungssatz lösen, bin mir aber nicht ganz sicher, ob ich das richtig gemacht habe:
1) Verdichtungssatz: [mm] \summe_{\infty}^{k=1} \bruch{1}{2^{k} ln^{\alpha} 2^{k}}
[/mm]
2) [mm] \summe_{\infty}^{n=2} \bruch{1}{n ln^{\alpha} n} [/mm] = [mm] \summe_{\infty}^{n=5} \bruch{1}{(n ln n) ln (ln n)^{\alpha}}
[/mm]
3) Konvergiert also genau dann, wenn:
[mm] \summe_{}^{} 2^{k} \bruch{1}{2^{k} (ln 2^{k}) (ln(ln 2^{k}))^{\alpha}}
[/mm]
= [mm] \summe_{}^{} \bruch{1}{k(ln k)^{\alpha}}
[/mm]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:20 Do 22.11.2007 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Für welche [mm]\alpha \in \IR[/mm] konvergiert [mm]\summe_{\infty}^{n=2} \bruch{1}{n ln^{\alpha} n}[/mm]
>
> Ich würde diese Aufgabe gerne mit dem Verdichtungssatz
> lösen, bin mir aber nicht ganz sicher, ob ich das richtig
> gemacht habe:
>
> 1) Verdichtungssatz: [mm]\summe_{\infty}^{k=1} \bruch{1}{2^{k} ln^{\alpha} 2^{k}}[/mm]
Da fehlt noch ein Faktor [mm]2^k[/mm]. Deine Reihe ist doch von der Form
[mm]\summe_{n=2}^{\infty} a_n[/mm] mit [mm]a_n = \bruch{1}{n\ln^\alpha n}[/mm].
Der Verdichtungssatz sagt, dass die Reihe
[mm]\summe_{k=0}^\infty 2^k*a_{2^k} =\summe_{k=0}^\infty 2^k \bruch{1}{2^k\ln^\alpha (2^k)}[/mm]
das gleiche Konvergenzverhalten hat. Ich würde an dieser Stelle weitermachen.
> 2) [mm]\summe_{\infty}^{n=2} \bruch{1}{n ln^{\alpha} n}[/mm] =
> [mm]\summe_{\infty}^{n=5} \bruch{1}{(n ln n) ln (ln n)^{\alpha}}[/mm]
Diese Gleichung verstehe ich nicht. Wie kommst du auf n=5 bei der zweiten Summe?
> 3) Konvergiert also genau dann, wenn:
> [mm]\summe_{}^{} 2^{k} \bruch{1}{2^{k} (ln 2^{k}) (ln(ln 2^{k}))^{\alpha}}[/mm]
>
> = [mm]\summe_{}^{} \bruch{1}{k(ln k)^{\alpha}}[/mm]
Das ist richtig. Nur: was bringt dir das?
Viele Grüße
Rainer
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:36 Do 22.11.2007 | | Autor: | Ines27 |
Ja stimmt, hab das [mm] 2^{k} [/mm] vergessen!
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> 3) Konvergiert also genau dann, wenn:
> $ [mm] \summe_{}^{} 2^{k} \bruch{1}{2^{k} (ln 2^{k}) (ln(ln 2^{k}))^{\alpha}} [/mm] $
>
> = $ [mm] \summe_{}^{} \bruch{1}{k(ln k)^{\alpha}} [/mm] $
> Das ist richtig. Nur: was bringt dir das?
Das ist eine gute Frage. Unser Prof hat ein ähnliches Bsp so durchgerechnet. Bis hierhin komme ich auch, aber eigentlich hab ich gedacht wir brauchen dann nicht mehr machen? Hm... bin überfragt.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:15 Do 22.11.2007 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
Ich hätte jetzt einfach so argumentiert:
Der Verdichtungssatz sagt, dass die Reihe
[mm]\summe_{k=0}^\infty 2^k*a_{2^k} =\summe_{k=0}^\infty 2^k \bruch{1}{2^k\ln^\alpha (2^k)}[/mm]
das gleiche Konvergenzverhalten hat.
Die Reihe rechts ist
[mm]\summe_{k=0}^\infty 2^k \bruch{1}{2^k\ln^\alpha (2^k)} =\summe_{k=0}^\infty \bruch{1}{\ln^\alpha (2^k)} = \summe_{k=0}^\infty \bruch{1}{(k\ln2)^\alpha} = \bruch{1}{\ln^\alpha 2} \summe_{k=0}^\infty \bruch{1}{k^\alpha}[/mm].
Das ist eine verallgemeinerte harmonische Reihe, die konvergiert für [mm]\alpha>1[/mm].
Viele Grüße
Rainer
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