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Forum "Mathe Klassen 8-10" - Vereinfachen eines Wurzelterms
Vereinfachen eines Wurzelterms < Klassen 8-10 < Schule < Mathe < Vorhilfe
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Vereinfachen eines Wurzelterms: Korrektur
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:50 Sa 29.03.2014
Autor: clft

Aufgabe
Vereinfache:

[mm] \bruch{(\wurzel{7}+\wurzel{3})*(\wurzel{63}-\wurzel{7})}{(\wurzel{7}-\wurzel{3})*(\wurzel{7}+\wurzel{3})} [/mm]


Hallo,

ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

Eine Mathelehrerin an meiner Schule hat folgende Rechnung gemacht:

[mm] \bruch{(\wurzel{7}+\wurzel{3})*(\wurzel{63}-\wurzel{7})}{(\wurzel{7}-\wurzel{3})*(\wurzel{7}+\wurzel{3})} [/mm]

[mm] =\bruch{(\wurzel{7}+\wurzel{3})*(\wurzel{63}-\wurzel{7})}{(\wurzel{7}-\wurzel{3})*(\wurzel{7}+\wurzel{3})}*\bruch{(\wurzel{7}+\wurzel{3})} {(\wurzel{7}+\wurzel{3})} [/mm]

[mm] =\bruch{(7+2*\wurzel{21}+3)*(\wurzel{63}-\wurzel{7})}{7-3} [/mm]

[mm] =\bruch{7*\wurzel{63}-7*\wurzel{7}+2*\wurzel{21*63}-2\wurzel{21*7}+3*\wurzel{63}+3*\wurzel{7}}{4} [/mm]

[mm] =\bruch{10*\wurzel{63}-10*\wurzel{7}+2*\wurzel{21*63}-2*\wurzel{21*7}}{4} [/mm]

[mm] =\bruch{30*\wurzel{7}-10*\wurzel{7}+42*\wurzel{3}-14*\wurzel{3}}{4} [/mm]

[mm] =\bruch{20*\wurzel{7}+28*\wurzel{3}}{4} [/mm]

[mm] =5*\wurzel{7}+7\wurzel{3} [/mm]

Ich verstehe den Rechenweg leider nicht so ganz.

Danke im voraus
clft
        
Bezug
Vereinfachen eines Wurzelterms: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:07 Sa 29.03.2014
Autor: DieAcht

Hallo clft,


> Vereinfache:
>  
> [mm]\bruch{(\wurzel{7}+\wurzel{3})*(\wurzel{63}-\wurzel{7})}{(\wurzel{7}-\wurzel{3})*(\wurzel{7}+\wurzel{3})}[/mm]
>  
> Hallo,
>  
> ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>  
> Eine Mathelehrerin an meiner Schule hat folgende Rechnung
> gemacht:
>  
> [mm]\bruch{(\wurzel{7}+\wurzel{3})*(\wurzel{63}-\wurzel{7})}{(\wurzel{7}-\wurzel{3})*(\wurzel{7}+\wurzel{3})}[/mm]
>
> [mm]=\bruch{(\wurzel{7}+\wurzel{3})*(\wurzel{63}-\wurzel{7})}{(\wurzel{7}-\wurzel{3})*(\wurzel{7}+\wurzel{3})}*\bruch{(\wurzel{7}+\wurzel{3})} {(\wurzel{7}+\wurzel{3})}[/mm]
>  
> [mm]=\bruch{(7+2*\wurzel{21}+3)*(\wurzel{63}-\wurzel{7})}{7-3}[/mm]
>  
> [mm]=\bruch{7*\wurzel{63}-7*\wurzel{7}+2*\wurzel{21*63}-2\wurzel{21*7}+3*\wurzel{63}+3*\wurzel{7}}{4}[/mm]
>  
> [mm]=\bruch{10*\wurzel{63}-10*\wurzel{7}+2*\wurzel{21*63}-2*\wurzel{21*7}}{4}[/mm]
>  
> [mm]=\bruch{30*\wurzel{7}-10*\wurzel{7}+42*\wurzel{3}-14*\wurzel{3}}{4}[/mm]
>  
> [mm]=\bruch{20*\wurzel{7}+28*\wurzel{3}}{4}[/mm]
>  
> [mm]=5*\wurzel{7}+7\wurzel{3}[/mm]
>  
> Ich verstehe den Rechenweg leider nicht so ganz.

Sag uns doch bitte was du genau nicht verstanden hast. Der
eigentlich Trick hierbei ist die dritte binomische Formel

      [mm] (a+b)(a-b)=a^2-b^2 [/mm] für alle [mm] a,b\in\IR. [/mm]

im Nenner. Am Besten du schreibst nach jedem Gleichheits-
zeichen auf was du nicht verstanden hast.


Gruß
DieAcht
Bezug
        
Bezug
Vereinfachen eines Wurzelterms: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:23 Sa 29.03.2014
Autor: M.Rex

Hallo und [willkommenmr]

> Vereinfache:

>
> [mm]\bruch{(\wurzel{7}+\wurzel{3})*(\wurzel{63}-\wurzel{7})}{(\wurzel{7}-\wurzel{3})*(\wurzel{7}+\wurzel{3})}[/mm]

>
> Hallo,

>
> ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.

>
> Eine Mathelehrerin an meiner Schule hat folgende Rechnung
> gemacht:

>
> [mm]\bruch{(\wurzel{7}+\wurzel{3})*(\wurzel{63}-\wurzel{7})}{(\wurzel{7}-\wurzel{3})*(\wurzel{7}+\wurzel{3})}[/mm]

Erweitern, so dass im Nenner die 3. bin. Formel auftaucht, denn damit kannst du den Nenner wurzelfrei machen.

>
> [mm]=\bruch{(\wurzel{7}+\wurzel{3})*(\wurzel{63}-\wurzel{7})}{(\wurzel{7}-\wurzel{3})*(\wurzel{7}+\wurzel{3})}*\bruch{(\wurzel{7}+\wurzel{3})} {(\wurzel{7}+\wurzel{3})}[/mm]

Ausmultiplizieren, im Nenner die 3. bin. F. nutzen

>
> [mm]=\bruch{(7+2*\wurzel{21}+3)*(\wurzel{63}-\wurzel{7})}{7-3}[/mm]

Nochmal ausmultiplizieren

>
> [mm]=\bruch{7*\wurzel{63}-7*\wurzel{7}+2*\wurzel{21*63}-2\wurzel{21*7}+3*\wurzel{63}+3*\wurzel{7}}{4}[/mm]

Zusammenfassen

>
> [mm]=\bruch{10*\wurzel{63}-10*\wurzel{7}+2*\wurzel{21*63}-2*\wurzel{21*7}}{4}[/mm]

Teilweise radizieren, wenn möglich

>
> [mm]=\bruch{30*\wurzel{7}-10*\wurzel{7}+42*\wurzel{3}-14*\wurzel{3}}{4}[/mm]

Zusammenfassen
>
> [mm]=\bruch{20*\wurzel{7}+28*\wurzel{3}}{4}[/mm]

Kürzen
>
> [mm]=5*\wurzel{7}+7\wurzel{3}[/mm]

>
> Ich verstehe den Rechenweg leider nicht so ganz.

>
> Danke im voraus
> clft

Marius
Bezug
                
Bezug
Vereinfachen eines Wurzelterms: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 18:30 Sa 29.03.2014
Autor: clft

Danke.

Mein Problem ist mittlerweile nur noch folgendes:

Wenn ich:

[mm] (\wurzel{7}-\wurzel{3})*(\wurzel{7}+\wurzel{3})*(\wurzel{7}+\wurzel{3}) [/mm] rechne, kommt bei mir nicht 7-3 raus, sondern etwas anderes...

Mfg
clft
Bezug
                        
Bezug
Vereinfachen eines Wurzelterms: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 18:32 Sa 29.03.2014
Autor: DieAcht


> Danke.
>  
> Mein Problem ist mittlerweile nur noch folgendes:
>  
> Wenn ich:
>  
> [mm](\wurzel{7}-\wurzel{3})*(\wurzel{7}+\wurzel{3})*(\wurzel{7}+\wurzel{3})[/mm]
> rechne, kommt bei mir nicht 7-3 raus, sondern etwas
> anderes...

Dritte binomische Formel:

      [mm] (a+b)(a-b)=a^2-b^2 [/mm] für alle [mm] a,b\in\IR. [/mm]

Setze [mm] a:=\wurzel{7} [/mm] und [mm] b:=\wurzel{3}, [/mm] dann gilt:

      [mm] (a+b)(a-b)=a^2-b^2=(\wurzel{7})^2-(\wurzel{3})^2=7-3=4 [/mm]


DieAcht
Bezug
                                
Bezug
Vereinfachen eines Wurzelterms: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 18:56 Sa 29.03.2014
Autor: clft

Das ist mir schon bewusst, allerdings bleibt ja noch ein [mm] (\wurzel{7}+\wurzel{3}) [/mm] übrig...
Bezug
                                        
Bezug
Vereinfachen eines Wurzelterms: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 19:11 Sa 29.03.2014
Autor: DieAcht

Die Lösung ist falsch. Ich habe am Ende auch was anderes raus.
Das Erweitern am Anfang macht meiner Ansicht nach nicht viel Sinn.

DieAcht
Bezug
        
Bezug
Vereinfachen eines Wurzelterms: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:46 Sa 29.03.2014
Autor: chrisno

Das sieht so aus, als hätte das Ganze mit
$ [mm] \bruch{(\wurzel{63}-\wurzel{7})}{(\wurzel{7}-\wurzel{3})\cdot{}} [/mm] $
angefangen. Dann wird erweitert und
$ $ [mm] \bruch{(\wurzel{7}+\wurzel{3})\cdot{}(\wurzel{63}-\wurzel{7})}{(\wurzel{7}-\wurzel{3})\cdot{}(\wurzel{7}+\wurzel{3})} [/mm] $
erhalten. Nun würde ich mal $63 = 3 * 3 * 7$ sehen und damit umformen [mm] $\wurzel{63} [/mm] = 3 * [mm] \wurzel{7}$. [/mm]
Im Nenner die dritte binomische Formel, deshalb wurde ja erweitert
$ [mm] \bruch{(\wurzel{7}+\wurzel{3})\cdot{}(3\wurzel{7}-\wurzel{7})}{7-3} [/mm] $
$= [mm] \bruch{(\wurzel{7}+\wurzel{3})\cdot{}2\wurzel{7}}{4} [/mm] $
[mm] $=\bruch{2*7+2\wurzel{21}}{4}$ [/mm]
[mm] $=\bruch{7+\wurzel{21}}{2}$ [/mm]

> Vereinfache:
>  
> [mm]\bruch{(\wurzel{7}+\wurzel{3})*(\wurzel{63}-\wurzel{7})}{(\wurzel{7}-\wurzel{3})*(\wurzel{7}+\wurzel{3})}[/mm]
>  
> Hallo,
>  
> ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>  
> Eine Mathelehrerin an meiner Schule hat folgende Rechnung
> gemacht:
>  
> [mm]\bruch{(\wurzel{7}+\wurzel{3})*(\wurzel{63}-\wurzel{7})}{(\wurzel{7}-\wurzel{3})*(\wurzel{7}+\wurzel{3})}[/mm]
>
> [mm]=\bruch{(\wurzel{7}+\wurzel{3})*(\wurzel{63}-\wurzel{7})}{(\wurzel{7}-\wurzel{3})*(\wurzel{7}+\wurzel{3})}*\bruch{(\wurzel{7}+\wurzel{3})} {(\wurzel{7}+\wurzel{3})}[/mm]
>

ab hier ist es dann falsch, wie Du schon selbst gemerkt hast.
> [mm]=\bruch{(7+2*\wurzel{21}+3)*(\wurzel{63}-\wurzel{7})}{7-3}[/mm]
>  

Bezug
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