Vereinigung sigma - Algebras < Wahrscheinlichkeitstheorie < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:14 Fr 11.03.2016 | | Autor: | nero08 |
Gegeben sei [mm] \Omega, (A_n)_{n \in \IN} [/mm] mit A [mm] \subset \mathcal{P}(\Omega) [/mm] ist eine Familie von simga- algebras. Es ist zu zeigen: Wenn gilt, dass [mm] A_n \subset A_{n+1} [/mm] dann ist [mm] \bigcup_{n}^{} A_n [/mm] im Allgemeinen keine sigma- algebra.
Ich überleg jetzt schon hin und her, mir will aber keine Situation einfallen, in welcher hier die Vereinigung keine Algebra ist.
Ideen? :)
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:26 Fr 11.03.2016 | | Autor: | tobit09 |
Hallo nero08!
Ich gehe mal davon aus, dass die Zahl 0 NICHT zu [mm] $\IN$ [/mm] gehört. Anderenfalls sind meine Überlegungen entsprechend anzupassen.
> Gegeben sei [mm]\Omega, (A_n)_{n \in \IN}[/mm] mit A [mm]\subset \mathcal{P}(\Omega)[/mm]
> ist eine Familie von simga- algebras.
> Es ist zu zeigen:
> Wenn gilt, dass [mm]A_n \subset A_{n+1}[/mm] dann ist [mm]\bigcup_{n}^{} A_n[/mm]
> im Allgemeinen keine sigma- algebra.
Gemeint ist wohl Folgendes:
Gegeben sei eine Menge [mm] $\Omega$ [/mm] und eine Folge [mm] $(\mathcal{A}_n)_{n\in\IN}$ [/mm] von Sigma-Algebren auf [mm] $\Omega$ [/mm] mit [mm] $\mathcal{A}_n\subset\mathcal{A}_{n+1}$ [/mm] für alle [mm] $n\in\IN$.
[/mm]
Zu zeigen ist, dass [mm] $\mathcal{A}:=\bigcup_{n\in\IN}\mathcal{A}_n$ [/mm] im Allgemeinen keine Sigma-Algebra auf [mm] $\Omega$ [/mm] ist.
> Ich überleg jetzt schon hin und her, mir will aber keine
> Situation einfallen, in welcher hier die Vereinigung keine
> Algebra ist.
Eine Algebra ist [mm] $\mathcal{A}$ [/mm] in obiger Situation stets (warum?), aber im Allgemeinen keine Sigma-Algebra (woran scheitert ein Beweisversuch der [mm] sigma-$\cup$-Stabilität [/mm] von [mm] $\mathcal{A}$?).
[/mm]
Wir suchen also ein Beispiel, in dem die [mm] sigma-$\cup$-Stabilität [/mm] von [mm] $\mathcal{A}$ [/mm] verletzt ist.
> Ideen? :)
Zunächst mal könnte man versuchen, eine Folge [mm] $\mathcal{A}_1\subsetneq\mathcal{A}_2\subsetneq\ldots$ [/mm] von Sigma-Algebren auf einer Menge [mm] $\Omega$ [/mm] zu basteln.
Endliche Mengen [mm] $\Omega$ [/mm] sind dazu nicht geeignet, da auf Ihnen nur endlich viele Sigma-Algebren existieren.
Versuchen wir es der Einfachheit halber mal mit der "einfachsten" unendlichen Menge, nämlich der Menge [mm] $\Omega:=\IN$.
[/mm]
Jetzt könnten wir mal mit der kleinsten Sigma-Algebra [mm] $\mathcal{A}_1$ [/mm] auf [mm] $\Omega=\IN$ [/mm] starten und sie sukzessive erweitern:
[mm] $\mathcal{A}_1:=\{\emptyset,\IN\}$.
[/mm]
Jetzt nehmen wir eine (möglichst einfache) Teilmenge von [mm] $\IN$ [/mm] zusätzlich in [mm] $\mathcal{A}_2$ [/mm] auf, etwa die Teilmenge [mm] $\{1\}$ [/mm] und bilden die kleinste Sigma-Algebra, die [mm] $\mathcal{A}_1$ [/mm] umfasst und [mm] $\{1\}$ [/mm] enthält. Wir erhalten so
[mm] $\mathcal{A}_2:=\sigma(\mathcal{A}_1\cup\{\{1\}\})$.
[/mm]
Allgemeiner können wir entsprechend
[mm] $\mathcal{A}_{n+1}:=\sigma(\mathcal{A}_n\cup\{\{n\}\})$
[/mm]
für alle [mm] $n\in\IN$ [/mm] setzen.
Direktere Darstellungen dieser Sigma-Algebren wären
[mm] $\mathcal{A}_n=\sigma(\{\{1\},\{2\}\ldots,\{n-1\}\})
[/mm]
und
[mm] $\mathcal{A}_n=\{A\subseteq\IN\;|\;A\subseteq\{1,\ldots,n-1\}\text{ oder }A^c\subseteq\{1,\ldots,n-1\}\}$.
[/mm]
Du könntest auch gleich die letzte Darstellung als Definition von [mm] $\mathcal{A}_n$ [/mm] nehmen. Dann musst du nicht die von mir behaupteten Gleichheiten nachprüfen, sondern nur, dass [mm] $\mathcal{A}_n$ [/mm] tatsächlich eine Sigma-Algebra bildet für jedes [mm] $n\in\IN$ [/mm] und dass tatsächlich [mm] $\mathcal{A}_n\subseteq\mathcal{A}_{n+1}$ [/mm] für alle [mm] $n\in\IN$ [/mm] gilt.
Wie sieht nun [mm] $\mathcal{A}=\bigcup_{n\in\IN}\mathcal{A}_n$ [/mm] aus?
Warum ist dies keine Sigma-Algebra auf [mm] $\IN$?
[/mm]
Viele Grüße
Tobias
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:57 Fr 11.03.2016 | | Autor: | nero08 |
Hallo!
Danke gleichmal für die Hilfe!
> Hallo nero08!
>
>
> Ich gehe mal davon aus, dass die Zahl 0 NICHT zu [mm]\IN[/mm]
> gehört. Anderenfalls sind meine Überlegungen entsprechend
> anzupassen.
>
>
> > Gegeben sei [mm]\Omega, (A_n)_{n \in \IN}[/mm] mit A [mm]\subset \mathcal{P}(\Omega)[/mm]
> > ist eine Familie von simga- algebras.
> > Es ist zu zeigen:
> > Wenn gilt, dass [mm]A_n \subset A_{n+1}[/mm] dann ist [mm]\bigcup_{n}^{} A_n[/mm]
> > im Allgemeinen keine sigma- algebra.
> Gemeint ist wohl Folgendes:
>
> Gegeben sei eine Menge [mm]\Omega[/mm] und eine Folge
> [mm](\mathcal{A}_n)_{n\in\IN}[/mm] von Sigma-Algebren auf [mm]\Omega[/mm] mit
> [mm]\mathcal{A}_n\subset\mathcal{A}_{n+1}[/mm] für alle [mm]n\in\IN[/mm].
> Zu zeigen ist, dass
> [mm]\mathcal{A}:=\bigcup_{n\in\IN}\mathcal{A}_n[/mm] im Allgemeinen
> keine Sigma-Algebra auf [mm]\Omega[/mm] ist.
>
>
> > Ich überleg jetzt schon hin und her, mir will aber keine
> > Situation einfallen, in welcher hier die Vereinigung keine
> > Algebra ist.
> Eine Algebra ist [mm]\mathcal{A}[/mm] in obiger Situation stets
> (warum?), aber im Allgemeinen keine Sigma-Algebra (woran
> scheitert ein Beweisversuch der sigma-[mm]\cup[/mm]-Stabilität von
> [mm]\mathcal{A}[/mm]?).
>
> Wir suchen also ein Beispiel, in dem die
> sigma-[mm]\cup[/mm]-Stabilität von [mm]\mathcal{A}[/mm] verletzt ist.
>
>
> > Ideen? :)
> Zunächst mal könnte man versuchen, eine Folge
> [mm]\mathcal{A}_1\subsetneq\mathcal{A}_2\subsetneq\ldots[/mm] von
> Sigma-Algebren auf einer Menge [mm]\Omega[/mm] zu basteln.
> Endliche Mengen [mm]\Omega[/mm] sind dazu nicht geeignet, da auf
> Ihnen nur endlich viele Sigma-Algebren existieren.
>
> Versuchen wir es der Einfachheit halber mal mit der
> "einfachsten" unendlichen Menge, nämlich der Menge
> [mm]\Omega:=\IN[/mm].
>
> Jetzt könnten wir mal mit der kleinsten Sigma-Algebra
> [mm]\mathcal{A}_1[/mm] auf [mm]\Omega=\IN[/mm] starten und sie sukzessive
> erweitern:
>
> [mm]\mathcal{A}_1:=\{\emptyset,\IN\}[/mm].
>
> Jetzt nehmen wir eine (möglichst einfache) Teilmenge von
> [mm]\IN[/mm] zusätzlich in [mm]\mathcal{A}_2[/mm] auf, etwa die Teilmenge
> [mm]\{1\}[/mm] und bilden die kleinste Sigma-Algebra, die
> [mm]\mathcal{A}_1[/mm] umfasst und [mm]\{1\}[/mm] enthält. Wir erhalten so
>
> [mm]\mathcal{A}_2:=\sigma(\mathcal{A}_1\cup\{\{1\}\})[/mm].
>
Hier hab ich ein Verständnisproblem. Für das vorhandensein einer sigma Alebra muss doch auch gelten, dass das komplement von {1} vorhanden sein oder? dies wäre halt [mm] \IN [/mm] ohne {1} . Oder sehe ich da was falsch?
> Allgemeiner können wir entsprechend
>
> [mm]\mathcal{A}_{n+1}:=\sigma(\mathcal{A}_n\cup\{\{n\}\})[/mm]
>
> für alle [mm]n\in\IN[/mm] setzen.
>
> Direktere Darstellungen dieser Sigma-Algebren wären
>
> [mm]$\mathcal{A}_n=\sigma(\{\{1\},\{2\}\ldots,\{n-1\}\})[/mm]
>
> und
>
> [mm]\mathcal{A}_n=\{A\subseteq\IN\;|\;A\subseteq\{1,\ldots,n-1\}\text{ oder }A^c\subseteq\{1,\ldots,n-1\}\}[/mm].
>
> Du könntest auch gleich die letzte Darstellung als
> Definition von [mm]\mathcal{A}_n[/mm] nehmen. Dann musst du nicht
> die von mir behaupteten Gleichheiten nachprüfen, sondern
> nur, dass [mm]\mathcal{A}_n[/mm] tatsächlich eine Sigma-Algebra
> bildet für jedes [mm]n\in\IN[/mm] und dass tatsächlich
> [mm]\mathcal{A}_n\subseteq\mathcal{A}_{n+1}[/mm] für alle [mm]n\in\IN[/mm]
> gilt.
>
> Wie sieht nun [mm]\mathcal{A}=\bigcup_{n\in\IN}\mathcal{A}_n[/mm]
> aus?
wenn ich dies jetzt richtig verstanden habe, müsste gelten, dass [mm] \mathcal{A} [/mm] = { [mm] \emptyset, [/mm] {1}, {2}, ... , [mm] \IN} [/mm] ist. Es würden mir auch irgendwie die jeweiligen Vereinigungen fehlen, kann aber auch sein, dass ich deine Schreibweise nicht richtig aufgefasst habe....
> Warum ist dies keine Sigma-Algebra auf [mm]\IN[/mm]?
>
>
> Viele Grüße
> Tobias
lg
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:22 Fr 11.03.2016 | | Autor: | tobit09 |
Gut, dass du nachfragst!
> Hier hab ich ein Verständnisproblem. Für das
> vorhandensein einer sigma Alebra muss doch auch gelten,
> dass das komplement von {1} vorhanden sein oder? dies wäre
> halt [mm]\IN[/mm] ohne {1} . Oder sehe ich da was falsch?
Völlig richtig.
Für eine beliebige Menge [mm] $\mathcal{E}$ [/mm] von Teilmengen von [mm] $\Omega$
[/mm]
bezeichnet [mm] $\sigma(\mathcal{E})$ [/mm] die (bezüglich [mm] "$\subseteq$") [/mm] kleinste Sigma-Algebra [mm] $\mathcal{B}$, [/mm] die [mm] $\mathcal{E}$ [/mm] umfasst (d.h. [mm] $\mathcal{B}\supseteq\mathcal{E}$). [/mm] Die Sigma-Algebra [mm] $\sigma(\mathcal{E})$ [/mm] bezeichnet man als die von [mm] $\mathcal{E}$ [/mm] erzeugte Sigma-Algebra.
Es gilt
[mm] $\mathcal{A}_2=\sigma(\mathcal{A}_1\cup\{\{1\}\})=\sigma(\{\emptyset,\IN,\{1\}\})=\{\emptyset,\IN,\{1\},\IN\setminus\{1\}\}$.
[/mm]
Wenn ihr dieses Konzept noch nicht hattet, ignoriere am besten meine motivierenden Bemerkungen und betrachte schlichtweg
[mm] $\mathcal{A}_n:=\{A\subseteq\IN\;|\;A\subseteq\{1,2,\ldots,n-1\}\text{ oder }A^c\subseteq\{1,2,\ldots,n-1\}\}$.
[/mm]
> wenn ich dies jetzt richtig verstanden habe, müsste
> gelten, dass [mm]\mathcal{A}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
= $\{$ [mm]\emptyset,[/mm] {1}, {2}, ... , [mm]\IN\}[/mm] ist.
Diese Schreibweise verstehe ich nicht richtig. Wofür stehen die Pünktchen genau?
> Es würden mir auch irgendwie die jeweiligen
> Vereinigungen fehlen, kann aber auch sein, dass ich deine
> Schreibweise nicht richtig aufgefasst habe....
Die [mm] $\mathcal{A}_n$ [/mm] sind schon abgeschlossen unter abzählbaren Vereinigungen, die Menge [mm] $\mathcal{A}=\bigcup_{n\in\IN}\mathcal{A}_n$ [/mm] jedoch nicht.
(Das ist auch gut so, denn wir wollen ja gerade, dass [mm] $\mathcal{A}$ [/mm] keine Sigma-Algebra bildet.)
Tipp zur Bestimmung der Menge [mm] $\mathcal{A}$:
[/mm]
Unterscheide zwischen
1. endlichen Teilmengen von [mm] $\IN$
[/mm]
2. koendlichen Teilmengen von [mm] $\IN$, [/mm] d.h. solchen Teilmengen [mm] $A\subseteq\IN$, [/mm] für die [mm] $A^c$ [/mm] endlich ist
3. Teilmengen von [mm] $\IN$, [/mm] die weder endlich noch koendlich sind.
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:09 Sa 12.03.2016 | | Autor: | nero08 |
> Gut, dass du nachfragst!
>
>
> > Hier hab ich ein Verständnisproblem. Für das
> > vorhandensein einer sigma Alebra muss doch auch gelten,
> > dass das komplement von {1} vorhanden sein oder? dies wäre
> > halt [mm]\IN[/mm] ohne {1} . Oder sehe ich da was falsch?
> Völlig richtig.
>
> Für eine beliebige Menge [mm]\mathcal{E}[/mm] von Teilmengen von
> [mm]\Omega[/mm]
> bezeichnet [mm]\sigma(\mathcal{E})[/mm] die (bezüglich
> "[mm]\subseteq[/mm]") kleinste Sigma-Algebra [mm]\mathcal{B}[/mm], die
> [mm]\mathcal{E}[/mm] umfasst (d.h. [mm]\mathcal{B}\supseteq\mathcal{E}[/mm]).
> Die Sigma-Algebra [mm]\sigma(\mathcal{E})[/mm] bezeichnet man als
> die von [mm]\mathcal{E}[/mm] erzeugte Sigma-Algebra.
>
> Es gilt
>
> [mm]\mathcal{A}_2=\sigma(\mathcal{A}_1\cup\{\{1\}\})=\sigma(\{\emptyset,\IN,\{1\}\})=\{\emptyset,\IN,\{1\},\IN\setminus\{1\}\}[/mm].
>
> Wenn ihr dieses Konzept noch nicht hattet, ignoriere am
> besten meine motivierenden Bemerkungen und betrachte
> schlichtweg
>
> [mm]\mathcal{A}_n:=\{A\subseteq\IN\;|\;A\subseteq\{1,2,\ldots,n-1\}\text{ oder }A^c\subseteq\{1,2,\ldots,n-1\}\}[/mm].
Bei deiner SChreinbweise hab in dem Kontext ein kleines Verstädnisproblem. Wieso ist A für [mm] A_N [/mm] eine Teilmenge von {1,..., n-1} ? Müsste es nicht genau diese Werte enthalten?
>
>
> > wenn ich dies jetzt richtig verstanden habe, müsste
> > gelten, dass [mm]\mathcal{A}[/mm] = [mm]\{[/mm] [mm]\emptyset,[/mm] {1}, {2}, ... ,
> [mm]\IN\}[/mm] ist.
> Diese Schreibweise verstehe ich nicht richtig. Wofür
> stehen die Pünktchen genau?
>
steht im Prinzip für beliebge Werte bis einschließlich n - 1, also genauer : {, {2}, ..., {n-1}}
>
> > Es würden mir auch irgendwie die jeweiligen
> > Vereinigungen fehlen, kann aber auch sein, dass ich deine
> > Schreibweise nicht richtig aufgefasst habe....
> Die [mm]\mathcal{A}_n[/mm] sind schon abgeschlossen unter
> abzählbaren Vereinigungen, die Menge
> [mm]\mathcal{A}=\bigcup_{n\in\IN}\mathcal{A}_n[/mm] jedoch nicht.
> (Das ist auch gut so, denn wir wollen ja gerade, dass
> [mm]\mathcal{A}[/mm] keine Sigma-Algebra bildet.)
>
>
das verwirrt mich abre noch immer, den [mm] A_2, A_3, [/mm] ... sind ja per Voraussetzung eine sigma- Algebra.
also müsste [mm] A_3= [/mm] { [mm] \emptyset,\IN,\{1\},\{2\}, \{1,2\}, \IN\setminus\{1\}, \IN\setminus\{2\},\IN\setminus\{1,2\} [/mm] }
> Tipp zur Bestimmung der Menge [mm]\mathcal{A}[/mm]:
> Unterscheide zwischen
> 1. endlichen Teilmengen von [mm]\IN[/mm]
> 2. koendlichen Teilmengen von [mm]\IN[/mm], d.h. solchen Teilmengen
> [mm]A\subseteq\IN[/mm], für die [mm]A^c[/mm] endlich ist
> 3. Teilmengen von [mm]\IN[/mm], die weder endlich noch koendlich
> sind.
Sorry, für mich hört sich das ganze schon sehr exakt an, ich kann aber aus Erfahrung der LV sagen(sie ist für Informatiker nicht für Mathematiker), dass der Beweis nicht sonderlich genau geführt werden muss.
Ich kann muss ich auch ehrlich sagen nach längerem überlegen mit dem Tipp leider nicht viel anfangen, sorry....
lg
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:16 Sa 12.03.2016 | | Autor: | tobit09 |
> also müsste [mm]A_3=[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
$\{$ [mm]\emptyset,\IN,\{1\},\{2\}, \{1,2\}, \IN\setminus\{1\}, \IN\setminus\{2\},\IN\setminus\{1,2\}[/mm]
Ja, es gilt
[mm] $\mathcal{A}_3=\{A\subseteq\IN\;|\;A\subseteq\{1,2\}\text{ oder }A^c\subseteq\{1,2\}\}=\{\emptyset,\{1\},\{2\}, \{1,2\},\IN,\IN\setminus\{1\}, \IN\setminus\{2\},\IN\setminus\{1,2\}\}$
[/mm]
(In [mm] $\mathcal{A}_3$ [/mm] liegen genau die Teilmengen [mm] $A\subseteq\IN$ [/mm] für die [mm] $A\subseteq\{1,2\}$ [/mm] oder [mm] $A^c\subseteq\{1,2\}$ [/mm] gilt.
Die Teilmengen [mm] $A\subseteq\IN$ [/mm] mit [mm] $A\subseteq\{1,2\}$ [/mm] sind genau die Mengen [mm] $\emptyset$, $\{1\}$, $\{2\}$ [/mm] und [mm] $\{1,2\}$.
[/mm]
Die Teilmengen [mm] $A\subseteq\IN$ [/mm] mit [mm] $A^c\subseteq\{1,2\}$ [/mm] sind genau die Mengen [mm] $\IN$, $\IN\setminus\{1\}$, $\IN\setminus\{2\}$ [/mm] und [mm] $\IN\setminus\{1,2\}$.)
[/mm]
> [mm]\mathcal{A}_n:=\{A\subseteq\IN\;|\;A\subseteq\{1,2,\ldots,n-1\}\text{ oder }A^c\subseteq\{1,2,\ldots,n-1\}\}[/mm].
>
> Bei deiner SChreinbweise hab in dem Kontext ein kleines
> Verstädnisproblem. Wieso ist A für [mm]A_N[/mm] eine Teilmenge von
> {1,..., n-1} ? Müsste es nicht genau diese Werte
> enthalten?
Was meinst du mit [mm] $A_N$?
[/mm]
Beachte, dass $A$ für eine einzelne Teilmenge von [mm] $\IN$ [/mm] steht, während jedes [mm] $\mathcal{A}_n$ [/mm] sowie [mm] $\mathcal{A}:=\bigcup_{n\in\IN}\mathcal{A}_n$ [/mm] Mengen von mehreren Teilmengen von [mm] $\IN$ [/mm] sind.
Eine Teilmenge [mm] $A\subseteq\IN$ [/mm] und unsere Menge [mm] $\mathcal{A}$ [/mm] von Teilmengen von [mm] $\IN$ [/mm] sind ganz verschiedenartige Objekte!
Schauen wir uns nochmal obiges Beispiel [mm] $\mathcal{A}_3$ [/mm] an:
[mm] $\mathcal{A}_3=\{A\subseteq\IN\;|\;A\subseteq\{1,2\}\text{ oder }A^c\subseteq\{1,2\}\}$.
[/mm]
[mm] $\mathcal{A}_3$ [/mm] soll nicht nur die Menge [mm] $\{1,2\}$ [/mm] als Element enthalten, sondern u.a. auch die Mengen [mm] $\emptyset$, $\{1\}$ [/mm] und [mm] $\{2\}$, [/mm] also alle Teilmengen von [mm] $\{1,2\}$.
[/mm]
(Zusätzlich enthält [mm] $\mathcal{A}_3$ [/mm] die Komplemente [mm] $\IN$, $\IN\setminus\{1\}$, $\IN\setminus\{2\}$ [/mm] und [mm] $\{1,2\}$ [/mm] dieser Mengen. Diese Komplemente sind genau die Teilmengen [mm] $A\subseteq\IN$ [/mm] mit [mm] $A^c\subseteq\{1,2\}$.)
[/mm]
> > > wenn ich dies jetzt richtig verstanden habe, müsste
> > > gelten, dass [mm]\mathcal{A}[/mm] = [mm]\{[/mm] [mm]\emptyset,[/mm] {1}, {2}, ... ,
> > [mm]\IN\}[/mm] ist.
> > Diese Schreibweise verstehe ich nicht richtig. Wofür
> > stehen die Pünktchen genau?
> >
>
> steht im Prinzip für beliebge Werte bis einschließlich n
> - 1, also genauer : {, {2}, ..., {n-1}}
Schon [mm] $\mathcal{A}_3$ [/mm] enthält nicht nur einelementige Mengen als Elemente.
Erst recht enthält somit die Vereinigung [mm] $\mathcal{A}$ [/mm] aller [mm] $\mathcal{A}_n$ [/mm] nicht nur einelementige Mengen.
> > > Es würden mir auch irgendwie die jeweiligen
> > > Vereinigungen fehlen, kann aber auch sein, dass ich deine
> > > Schreibweise nicht richtig aufgefasst habe....
> > Die [mm]\mathcal{A}_n[/mm] sind schon abgeschlossen unter
> > abzählbaren Vereinigungen, die Menge
> > [mm]\mathcal{A}=\bigcup_{n\in\IN}\mathcal{A}_n[/mm] jedoch nicht.
> > (Das ist auch gut so, denn wir wollen ja gerade, dass
> > [mm]\mathcal{A}[/mm] keine Sigma-Algebra bildet.)
> >
> >
>
> das verwirrt mich abre noch immer, den [mm]A_2, A_3,[/mm] ... sind
> ja per Voraussetzung eine sigma- Algebra.
[mm] $\mathcal{A}_2$ [/mm] ist eine Sigma-Algebra, [mm] $\mathcal{A}_3$ [/mm] ist eine Sigma-Algebra, usw.
Die Vereinigung dieser unendlich vielen Sigma-Algebren ist hingegen keine Sigma-Algebra.
Ich vermute (bin mir aber nicht sicher), dass du Teilmengen von [mm] $\IN$ [/mm] und Mengen von Teilmengen von [mm] $\IN$ [/mm] durcheinander wirfst.
Teilmengen von [mm] $\IN$ [/mm] bezeichne ich mit $A$ (oder auch [mm] $A_1$ [/mm] oder [mm] $A_2$ [/mm] oder ...), während ich Mengen von Teilmengen von [mm] $\IN$ [/mm] mit [mm] $\mathcal{A}$, $\mathcal{A}_1$, $\mathcal{A}_2$ [/mm] usw. bezeichne.
Vielleicht ist dir auch die Bedeutung von [mm] $\mathcal{A}:=\bigcup_{n\in\IN}\mathcal{A}_n$ [/mm] unklar:
[mm] $\mathcal{A}$ [/mm] enthält als Elemente genau die Teilmengen von [mm] $\IN$, [/mm] die (für genügend großes [mm] $n\in\IN$) [/mm] in einer der Sigma-Algebren [mm] $\mathcal{A}_n$ [/mm] liegen.
Beispiele für Elemente von [mm] $\mathcal{A}$:
[/mm]
[mm] $\{1,2\}$ [/mm] (denn [mm] $\{1,2\}\in\mathcal{A}_3$),
[/mm]
[mm] $\{1,3,5,7,8\}$ [/mm] (denn z.B. [mm] $\{1,3,5,7,8\}\in\mathcal{A}_{10}$)
[/mm]
[mm] $\{n\in\IN\;|\;n\ge 1.000.000\}$ [/mm] (denn [mm] \{n\in\IN\;|\;n\ge 1.000.000\}^c=\{1,2,3,\ldots,999.999\}$ [/mm] und somit [mm] \{n\in\IN\;|\;n\ge1.000.000\}\in\mathcal{A}_{1.000.000}).
[/mm]
> > Tipp zur Bestimmung der Menge [mm]\mathcal{A}[/mm]:
> > Unterscheide zwischen
> > 1. endlichen Teilmengen von [mm]\IN[/mm]
> > 2. koendlichen Teilmengen von [mm]\IN[/mm], d.h. solchen
> Teilmengen
> > [mm]A\subseteq\IN[/mm], für die [mm]A^c[/mm] endlich ist
> > 3. Teilmengen von [mm]\IN[/mm], die weder endlich noch koendlich
> > sind.
>
> Sorry, für mich hört sich das ganze schon sehr exakt an,
> ich kann aber aus Erfahrung der LV sagen(sie ist für
> Informatiker nicht für Mathematiker), dass der Beweis
> nicht sonderlich genau geführt werden muss.
Was speziell bei euch erwartet wird, weiß ich natürlich nicht. Möglicherweise wird kein Nachprüfen erwartet, dass die [mm] $\mathcal{A}_n$ [/mm] Sigma-Algebren sind.
> Ich kann muss ich auch ehrlich sagen nach längerem
> überlegen mit dem Tipp leider nicht viel anfangen,
> sorry....
1. Die endlichen Teilmengen [mm] $A\subseteq\IN$ [/mm] erfüllen [mm] $A\in\mathcal{A}$.
[/mm]
2. Die koendlichen Teilmengen [mm] $A\subseteq\IN$ [/mm] erfüllen [mm] $A\in\mathcal{A}$.
[/mm]
3. Für die weder endlichen noch koendlichen Teilmengen [mm] $A\subseteq\IN$ [/mm] gilt [mm] $A\notin\mathcal{A}$ [/mm] (denn: Alle [mm] $\mathcal{A}_n$ [/mm] enthalten nur endliche und koendliche Mengen. Somit enthält auch [mm] $\mathcal{A}=\bigcup_{n\in\IN}\mathcal{A}_n$ [/mm] nur endliche und koendliche Mengen).
Es gilt also
[mm] $\mathcal{A}=\{A\subseteq\IN\;|\;A\text{ endlich oder koendlich}\}$.
[/mm]
Ein Beispiel für eine weder endliche noch koendliche Teilmenge [mm] $A\subseteq\IN$ [/mm] ist die Menge
[mm] $A:=\{2k\;|\;k\in\IN\}$
[/mm]
aller geraden natürlichen Zahlen.
Es gilt also [mm] $A\notin\mathcal{A}$ [/mm] für diese Menge $A$.
Wenn du $A$ als Vereinigung abzählbar vieler Mengen aus [mm] $\mathcal{A}$ [/mm] (also von endlichen und/oder koendlichen Teilmengen von [mm] $\IN$) [/mm] darstellen kannst, hast du eine Argumentation, dass [mm] $\mathcal{A}$ [/mm] nicht abgeschlossen unter abzählbaren Vereinigungen ist und somit keine Sigma-Algebra sein kann.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:11 Sa 12.03.2016 | | Autor: | nero08 |
> > also müsste [mm]A_3=[/mm] [mm]\{[/mm] [mm]\emptyset,\IN,\{1\},\{2\}, \{1,2\}, \IN\setminus\{1\}, \IN\setminus\{2\},\IN\setminus\{1,2\}[/mm]
>
> Ja, es gilt
>
> [mm]\mathcal{A}_3=\{A\subseteq\IN\;|\;A\subseteq\{1,2\}\text{ oder }A^c\subseteq\{1,2\}\}=\{\emptyset,\{1\},\{2\}, \{1,2\},\IN,\IN\setminus\{1\}, \IN\setminus\{2\},\IN\setminus\{1,2\}\}[/mm]
>
> (In [mm]\mathcal{A}_3[/mm] liegen genau die Teilmengen [mm]A\subseteq\IN[/mm]
> für die [mm]A\subseteq\{1,2\}[/mm] oder [mm]A^c\subseteq\{1,2\}[/mm] gilt.
> Die Teilmengen [mm]A\subseteq\IN[/mm] mit [mm]A\subseteq\{1,2\}[/mm] sind
> genau die Mengen [mm]\emptyset[/mm], [mm]\{1\}[/mm], [mm]\{2\}[/mm] und [mm]\{1,2\}[/mm].
> Die Teilmengen [mm]A\subseteq\IN[/mm] mit [mm]A^c\subseteq\{1,2\}[/mm] sind
> genau die Mengen [mm]\IN[/mm], [mm]\IN\setminus\{1\}[/mm], [mm]\IN\setminus\{2\}[/mm]
> und [mm]\IN\setminus\{1,2\}[/mm].)
>
>
> >
> [mm]\mathcal{A}_n:=\{A\subseteq\IN\;|\;A\subseteq\{1,2,\ldots,n-1\}\text{ oder }A^c\subseteq\{1,2,\ldots,n-1\}\}[/mm].
>
> >
> > Bei deiner SChreinbweise hab in dem Kontext ein kleines
> > Verstädnisproblem. Wieso ist A für [mm]A_N[/mm] eine Teilmenge von
> > {1,..., n-1} ? Müsste es nicht genau diese Werte
> > enthalten?
> Was meinst du mit [mm]A_N[/mm]?
Tippfehler, sollte ein kleines n sein.
>
> Beachte, dass [mm]A[/mm] für eine einzelne Teilmenge von [mm]\IN[/mm] steht,
> während jedes [mm]\mathcal{A}_n[/mm] sowie
> [mm]\mathcal{A}:=\bigcup_{n\in\IN}\mathcal{A}_n[/mm] Mengen von
> mehreren Teilmengen von [mm]\IN[/mm] sind.
> Eine Teilmenge [mm]A\subseteq\IN[/mm] und unsere Menge [mm]\mathcal{A}[/mm]
> von Teilmengen von [mm]\IN[/mm] sind ganz verschiedenartige
> Objekte!
>
> Schauen wir uns nochmal obiges Beispiel [mm]\mathcal{A}_3[/mm] an:
>
> [mm]\mathcal{A}_3=\{A\subseteq\IN\;|\;A\subseteq\{1,2\}\text{ oder }A^c\subseteq\{1,2\}\}[/mm].
>
> [mm]\mathcal{A}_3[/mm] soll nicht nur die Menge [mm]\{1,2\}[/mm] als Element
> enthalten, sondern u.a. auch die Mengen [mm]\emptyset[/mm], [mm]\{1\}[/mm]
> und [mm]\{2\}[/mm], also alle Teilmengen von [mm]\{1,2\}[/mm].
> (Zusätzlich enthält [mm]\mathcal{A}_3[/mm] die Komplemente [mm]\IN[/mm],
> [mm]\IN\setminus\{1\}[/mm], [mm]\IN\setminus\{2\}[/mm] und [mm]\{1,2\}[/mm] dieser
> Mengen. Diese Komplemente sind genau die Teilmengen
> [mm]A\subseteq\IN[/mm] mit [mm]A^c\subseteq\{1,2\}[/mm].)
>
>
> > > > wenn ich dies jetzt richtig verstanden habe, müsste
> > > > gelten, dass [mm]\mathcal{A}[/mm] = [mm]\{[/mm] [mm]\emptyset,[/mm] {1}, {2}, ... ,
> > > [mm]\IN\}[/mm] ist.
> > > Diese Schreibweise verstehe ich nicht richtig.
> Wofür
> > > stehen die Pünktchen genau?
> > >
> >
> > steht im Prinzip für beliebge Werte bis einschließlich n
> > - 1, also genauer : {, {2}, ..., {n-1}}
> Schon [mm]\mathcal{A}_3[/mm] enthält nicht nur einelementige
> Mengen als Elemente.
> Erst recht enthält somit die Vereinigung [mm]\mathcal{A}[/mm]
> aller [mm]\mathcal{A}_n[/mm] nicht nur einelementige Mengen.
>
>
> > > > Es würden mir auch irgendwie die jeweiligen
> > > > Vereinigungen fehlen, kann aber auch sein, dass ich deine
> > > > Schreibweise nicht richtig aufgefasst habe....
> > > Die [mm]\mathcal{A}_n[/mm] sind schon abgeschlossen unter
> > > abzählbaren Vereinigungen, die Menge
> > > [mm]\mathcal{A}=\bigcup_{n\in\IN}\mathcal{A}_n[/mm] jedoch nicht.
> > > (Das ist auch gut so, denn wir wollen ja gerade,
> dass
> > > [mm]\mathcal{A}[/mm] keine Sigma-Algebra bildet.)
> > >
> > >
> >
> > das verwirrt mich abre noch immer, den [mm]A_2, A_3,[/mm] ... sind
> > ja per Voraussetzung eine sigma- Algebra.
> [mm]\mathcal{A}_2[/mm] ist eine Sigma-Algebra, [mm]\mathcal{A}_3[/mm] ist
> eine Sigma-Algebra, usw.
> Die Vereinigung dieser unendlich vielen Sigma-Algebren ist
> hingegen keine Sigma-Algebra.
>
> Ich vermute (bin mir aber nicht sicher), dass du Teilmengen
> von [mm]\IN[/mm] und Mengen von Teilmengen von [mm]\IN[/mm] durcheinander
> wirfst.
> Teilmengen von [mm]\IN[/mm] bezeichne ich mit [mm]A[/mm] (oder auch [mm]A_1[/mm] oder
> [mm]A_2[/mm] oder ...), während ich Mengen von Teilmengen von [mm]\IN[/mm]
> mit [mm]\mathcal{A}[/mm], [mm]\mathcal{A}_1[/mm], [mm]\mathcal{A}_2[/mm] usw.
> bezeichne.
>
> Vielleicht ist dir auch die Bedeutung von
> [mm]\mathcal{A}:=\bigcup_{n\in\IN}\mathcal{A}_n[/mm] unklar:
> [mm]\mathcal{A}[/mm] enthält als Elemente genau die Teilmengen von
> [mm]\IN[/mm], die (für genügend großes [mm]n\in\IN[/mm]) in einer der
> Sigma-Algebren [mm]\mathcal{A}_n[/mm] liegen.
> Beispiele für Elemente von [mm]\mathcal{A}[/mm]:
>
> [mm]\{1,2\}[/mm] (denn [mm]\{1,2\}\in\mathcal{A}_3[/mm]),
> [mm]\{1,3,5,7,8\}[/mm] (denn z.B.
> [mm]\{1,3,5,7,8\}\in\mathcal{A}_{10}[/mm])
> [mm]$\{n\in\IN\;|\;n\ge 1.000.000\}$[/mm] (denn
> [mm]\{n\in\IN\;|\;n\ge 1.000.000\}^c=\{1,2,3,\ldots,999.999\}$[/mm]
> und somit
> [mm]\{n\in\IN\;|\;n\ge1.000.000\}\in\mathcal{A}_{1.000.000}).[/mm]
>
>
Danke, das hat mir geholfen, ich hab da tatsächlich was durcheinander gebracht.
> > > Tipp zur Bestimmung der Menge [mm]\mathcal{A}[/mm]:
> > > Unterscheide zwischen
> > > 1. endlichen Teilmengen von [mm]\IN[/mm]
> > > 2. koendlichen Teilmengen von [mm]\IN[/mm], d.h. solchen
> > Teilmengen
> > > [mm]A\subseteq\IN[/mm], für die [mm]A^c[/mm] endlich ist
> > > 3. Teilmengen von [mm]\IN[/mm], die weder endlich noch
> koendlich
> > > sind.
> >
> > Sorry, für mich hört sich das ganze schon sehr exakt an,
> > ich kann aber aus Erfahrung der LV sagen(sie ist für
> > Informatiker nicht für Mathematiker), dass der Beweis
> > nicht sonderlich genau geführt werden muss.
> Was speziell bei euch erwartet wird, weiß ich natürlich
> nicht. Möglicherweise wird kein Nachprüfen erwartet, dass
> die [mm]\mathcal{A}_n[/mm] Sigma-Algebren sind.
>
>
> > Ich kann muss ich auch ehrlich sagen nach längerem
> > überlegen mit dem Tipp leider nicht viel anfangen,
> > sorry....
> 1. Die endlichen Teilmengen [mm]A\subseteq\IN[/mm] erfüllen
> [mm]A\in\mathcal{A}[/mm].
> 2. Die koendlichen Teilmengen [mm]A\subseteq\IN[/mm] erfüllen
> [mm]A\in\mathcal{A}[/mm].
> 3. Für die weder endlichen noch koendlichen Teilmengen
> [mm]A\subseteq\IN[/mm] gilt [mm]A\notin\mathcal{A}[/mm] (denn: Alle
> [mm]\mathcal{A}_n[/mm] enthalten nur endliche und koendliche Mengen.
> Somit enthält auch
> [mm]\mathcal{A}=\bigcup_{n\in\IN}\mathcal{A}_n[/mm] nur endliche und
> koendliche Mengen).
koendlich heißt doch nicht anders, als fast alle oder? sprich weder koeendlich noch endlich ist unendlich?
>
> Es gilt also
>
> [mm]\mathcal{A}=\{A\subseteq\IN\;|\;A\text{ endlich oder koendlich}\}[/mm].
>
>
> Ein Beispiel für eine weder endliche noch koendliche
> Teilmenge [mm]A\subseteq\IN[/mm] ist die Menge
>
> [mm]A:=\{2k\;|\;k\in\IN\}[/mm]
>
> aller geraden natürlichen Zahlen.
okay, dies wäre (anzählbar) unendlich oder? also kann dies in einer koendlichen bzw. einer endlichen Menge nicht enthalten sein?
>
> Es gilt also [mm]A\notin\mathcal{A}[/mm] für diese Menge [mm]A[/mm].
> Wenn du [mm]A[/mm] als Vereinigung abzählbar vieler Mengen aus
> [mm]\mathcal{A}[/mm] (also von endlichen und/oder koendlichen
> Teilmengen von [mm]\IN[/mm]) darstellen kannst, hast du eine
> Argumentation, dass [mm]\mathcal{A}[/mm] nicht abgeschlossen unter
> abzählbaren Vereinigungen ist und somit keine
> Sigma-Algebra sein kann.
Mit dem letzten Satz hab ich Probleme. Ich weiß, dass [mm] \IN [/mm] abzählbar ist, aber kann mir irgendwie keinen Reim drauf machen, was du mir sagen willst :(
lg
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:34 Sa 12.03.2016 | | Autor: | tobit09 |
> > 1. Die endlichen Teilmengen [mm]A\subseteq\IN[/mm] erfüllen
> > [mm]A\in\mathcal{A}[/mm].
> > 2. Die koendlichen Teilmengen [mm]A\subseteq\IN[/mm] erfüllen
> > [mm]A\in\mathcal{A}[/mm].
> > 3. Für die weder endlichen noch koendlichen Teilmengen
> > [mm]A\subseteq\IN[/mm] gilt [mm]A\notin\mathcal{A}[/mm] (denn: Alle
> > [mm]\mathcal{A}_n[/mm] enthalten nur endliche und koendliche Mengen.
> > Somit enthält auch
> > [mm]\mathcal{A}=\bigcup_{n\in\IN}\mathcal{A}_n[/mm] nur endliche und
> > koendliche Mengen).
>
> koendlich heißt doch nicht anders, als fast alle oder?
Eine Teilmenge [mm] $A\subseteq\IN$ [/mm] heißt koendlich, wenn [mm] $A^c$ [/mm] endlich ist, d.h. wenn $A$ fast alle natürlichen Zahlen enthält.
> sprich weder koeendlich noch endlich ist unendlich?
Das Gegenteil von "endlich" ist "unendlich".
Endliche Teilmengen von [mm] $\IN$ [/mm] sind stets NICHT koendlich.
Die unendlichen Teilmengen von [mm] $\IN$ [/mm] teilen sich auf in die koendlichen und die unendlichen nicht koendlichen.
Beispiel für eine koendliche Teilmenge von [mm] $\IN$: $\{n\in\IN\;|\;n\ge 1.000.000\}$.
[/mm]
Beispiel für eine unendliche, aber nicht koendliche Teilmenge von [mm] $\IN$: [/mm] Die Menge aller geraden natürlichen Zahlen (nicht koendlich ist sie, weil ihr Komplement - die Menge der ungeraden natürlichen Zahlen - unendlich ist).
> > Es gilt also
> >
> > [mm]\mathcal{A}=\{A\subseteq\IN\;|\;A\text{ endlich oder koendlich}\}[/mm].
>
> >
> >
> > Ein Beispiel für eine weder endliche noch koendliche
> > Teilmenge [mm]A\subseteq\IN[/mm] ist die Menge
> >
> > [mm]A:=\{2k\;|\;k\in\IN\}[/mm]
> >
> > aller geraden natürlichen Zahlen.
>
> okay, dies wäre (anzählbar) unendlich oder?
Ja, diese Menge A ist abzählbar unendlich.
> also kann
> dies in einer koendlichen bzw. einer endlichen Menge nicht
> enthalten sein?
A kann nicht Teilmenge einer endlichen Menge sein.
A ist sehr wohl Teilmenge von koendlichen Teilmengen von [mm] $\IN$: [/mm] Z.B. die triviale Teilmenge [mm] $\IN\subseteq\IN$ [/mm] ist eine koendliche Teilmenge von [mm] $\IN$ [/mm] und [mm] $A\subseteq\IN$.
[/mm]
> > Es gilt also [mm]A\notin\mathcal{A}[/mm] für diese Menge [mm]A[/mm].
> > Wenn du [mm]A[/mm] als Vereinigung abzählbar vieler Mengen aus
> > [mm]\mathcal{A}[/mm] (also von endlichen und/oder koendlichen
> > Teilmengen von [mm]\IN[/mm]) darstellen kannst, hast du eine
> > Argumentation, dass [mm]\mathcal{A}[/mm] nicht abgeschlossen unter
> > abzählbaren Vereinigungen ist und somit keine
> > Sigma-Algebra sein kann.
>
> Mit dem letzten Satz hab ich Probleme. Ich weiß, dass [mm]\IN[/mm]
> abzählbar ist, aber kann mir irgendwie keinen Reim drauf
> machen, was du mir sagen willst :(
Wo wollen wir hin?
Laut Aufgabe gesucht ist eine Folge von Sigma-Algebren [mm] $\mathcal{A}_1\subseteq\mathcal{A}_2\subseteq\ldots$ [/mm] auf einer Menge [mm] $\Omega$, [/mm] so dass die Vereinigung [mm] $\mathcal{A}:=\bigcup_{n\in\IN}\mathcal{A}_n$ [/mm] dieser Sigma-Algebren keine Sigma-Algebra ist.
Eine Folge von Sigma-Algebren [mm] $\mathcal{A}_1\subseteq\mathcal{A}_2\subseteq\ldots$ [/mm] auf der Menge [mm] $\Omega:=\IN$ [/mm] haben wir. (Auch wenn wir nicht bewiesen haben, dass es sich tatsächlich um Sigma-Algebren handelt.)
Nun gilt es zu verstehen, warum die Vereinigung [mm] $\mathcal{A}:=\bigcup_{n\in\IN}\mathcal{A}_n=\{A\subseteq\IN\;|\;A\text{ endlich oder koendlich}\}$ [/mm] keine Sigma-Algebra ist.
Dazu suchen wir eine Eigenschaft aller Sigma-Algebren, die unsere Menge [mm] $\mathcal{A}$ [/mm] nicht hat.
Eine solche geeignete Eigenschaft ist die Abgeschlossenheit unter abzählbaren Vereinigungen:
Für jede Sigma-Algebra [mm] $\mathcal{B}$ [/mm] auf [mm] $\IN$ [/mm] gilt (nach Definition des Begriffes einer Sigma-Algebra):
(*) Sind [mm] $A_1,A_2,A_3\ldots$ [/mm] Teilmengen von [mm] $\IN$ [/mm] mit [mm] $A_n\in\mathcal{B}$ [/mm] für alle [mm] $n\in\IN$, [/mm] so erfüllt auch die Vereinigung [mm] $A:=\bigcup_{n\in\IN}A_n$ [/mm] die Eigenschaft [mm] $A\in\mathcal{B}$.
[/mm]
Wir wollen nun also zeigen, dass unsere Menge [mm] $\mathcal{A}$ [/mm] NICHT der Eigenschaft (*) mit [mm] $\mathcal{A}$ [/mm] anstelle von [mm] $\mathcal{B}$ [/mm] genügt (und somit keine Sigma-Algebra auf [mm] $\IN$ [/mm] sein kann).
Zu zeigen ist also:
Es gibt Teilmengen [mm] $A_1,A_2,A_3,\ldots$ [/mm] von [mm] $\IN$ [/mm] mit [mm] $A_n\in\mathcal{A}$ [/mm] für alle [mm] $n\in\IN$, [/mm] so dass [mm] $\bigcup_{n\in\IN}A_n\notin\mathcal{A}$ [/mm] gilt.
Wegen [mm] $\mathcal{A}=\{A\subseteq\IN\;|\;A\text{ endlich oder koendlich}\}$ [/mm] suchen wir somit eine Folge endlicher bzw. koendlicher Teilmengen [mm] $A_1,A_2,A_3,\ldots$ [/mm] von [mm] $\IN$, [/mm] so dass die Vereinigung [mm] $\bigcup_{n\in\IN}A_n$ [/mm] weder endlich noch koendlich ist.
Die letztgenannte Bedingung [mm] "$\bigcup_{n\in\IN}A_n$ [/mm] weder endlich noch koendlich" ist auf jeden Fall erfüllt, wenn [mm] $\bigcup_{n\in\IN}A_n=\{2k\;|\;k\in\IN\}$ [/mm] gelten sollte.
Findest du nun endliche (!) Teilmengen [mm] $A_1,A_2,A_3,\ldots$ [/mm] von [mm] $\IN$, [/mm] so dass [mm] $\bigcup_{n\in\IN}A_n=\{2k\;|\;k\in\IN\}$ [/mm] gilt, also die Vereinigung der endlichen Mengen [mm] $A_1,A_2,A_3,\ldots$ [/mm] genau die Menge der geraden natürlichen Zahlen ist?
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:52 So 13.03.2016 | | Autor: | nero08 |
Hallo!
Danke mal für die ausführliche Antwort!
> > > 1. Die endlichen Teilmengen [mm]A\subseteq\IN[/mm] erfüllen
> > > [mm]A\in\mathcal{A}[/mm].
> > > 2. Die koendlichen Teilmengen [mm]A\subseteq\IN[/mm]
> erfüllen
> > > [mm]A\in\mathcal{A}[/mm].
> > > 3. Für die weder endlichen noch koendlichen
> Teilmengen
> > > [mm]A\subseteq\IN[/mm] gilt [mm]A\notin\mathcal{A}[/mm] (denn: Alle
> > > [mm]\mathcal{A}_n[/mm] enthalten nur endliche und koendliche Mengen.
> > > Somit enthält auch
> > > [mm]\mathcal{A}=\bigcup_{n\in\IN}\mathcal{A}_n[/mm] nur endliche und
> > > koendliche Mengen).
> >
> > koendlich heißt doch nicht anders, als fast alle oder?
> Eine Teilmenge [mm]A\subseteq\IN[/mm] heißt koendlich, wenn [mm]A^c[/mm]
> endlich ist, d.h. wenn [mm]A[/mm] fast alle natürlichen Zahlen
> enthält.
>
>
> > sprich weder koeendlich noch endlich ist unendlich?
> Das Gegenteil von "endlich" ist "unendlich".
> Endliche Teilmengen von [mm]\IN[/mm] sind stets NICHT koendlich.
> Die unendlichen Teilmengen von [mm]\IN[/mm] teilen sich auf in die
> koendlichen und die unendlichen nicht koendlichen.
>
> Beispiel für eine koendliche Teilmenge von [mm]\IN[/mm]:
> [mm]\{n\in\IN\;|\;n\ge 1.000.000\}[/mm].
> Beispiel für eine
> unendliche, aber nicht koendliche Teilmenge von [mm]\IN[/mm]: Die
> Menge aller geraden natürlichen Zahlen (nicht koendlich
> ist sie, weil ihr Komplement - die Menge der ungeraden
> natürlichen Zahlen - unendlich ist).
>
>
> > > Es gilt also
> > >
> > > [mm]\mathcal{A}=\{A\subseteq\IN\;|\;A\text{ endlich oder koendlich}\}[/mm].
>
> >
> > >
> > >
> > > Ein Beispiel für eine weder endliche noch koendliche
> > > Teilmenge [mm]A\subseteq\IN[/mm] ist die Menge
> > >
> > > [mm]A:=\{2k\;|\;k\in\IN\}[/mm]
> > >
> > > aller geraden natürlichen Zahlen.
> >
> > okay, dies wäre (anzählbar) unendlich oder?
> Ja, diese Menge A ist abzählbar unendlich.
>
>
> > also kann
> > dies in einer koendlichen bzw. einer endlichen Menge nicht
> > enthalten sein?
> A kann nicht Teilmenge einer endlichen Menge sein.
> A ist sehr wohl Teilmenge von koendlichen Teilmengen von
> [mm]\IN[/mm]: Z.B. die triviale Teilmenge [mm]\IN\subseteq\IN[/mm] ist eine
> koendliche Teilmenge von [mm]\IN[/mm] und [mm]A\subseteq\IN[/mm].
>
>
> > > Es gilt also [mm]A\notin\mathcal{A}[/mm] für diese Menge [mm]A[/mm].
> > > Wenn du [mm]A[/mm] als Vereinigung abzählbar vieler Mengen
> aus
> > > [mm]\mathcal{A}[/mm] (also von endlichen und/oder koendlichen
> > > Teilmengen von [mm]\IN[/mm]) darstellen kannst, hast du eine
> > > Argumentation, dass [mm]\mathcal{A}[/mm] nicht abgeschlossen unter
> > > abzählbaren Vereinigungen ist und somit keine
> > > Sigma-Algebra sein kann.
> >
> > Mit dem letzten Satz hab ich Probleme. Ich weiß, dass [mm]\IN[/mm]
> > abzählbar ist, aber kann mir irgendwie keinen Reim drauf
> > machen, was du mir sagen willst :(
> Wo wollen wir hin?
> Laut Aufgabe gesucht ist eine Folge von Sigma-Algebren
> [mm]\mathcal{A}_1\subseteq\mathcal{A}_2\subseteq\ldots[/mm] auf
> einer Menge [mm]\Omega[/mm], so dass die Vereinigung
> [mm]\mathcal{A}:=\bigcup_{n\in\IN}\mathcal{A}_n[/mm] dieser
> Sigma-Algebren keine Sigma-Algebra ist.
>
> Eine Folge von Sigma-Algebren
> [mm]\mathcal{A}_1\subseteq\mathcal{A}_2\subseteq\ldots[/mm] auf der
> Menge [mm]\Omega:=\IN[/mm] haben wir. (Auch wenn wir nicht bewiesen
> haben, dass es sich tatsächlich um Sigma-Algebren
> handelt.)
> Nun gilt es zu verstehen, warum die Vereinigung
> [mm]\mathcal{A}:=\bigcup_{n\in\IN}\mathcal{A}_n=\{A\subseteq\IN\;|\;A\text{ endlich oder koendlich}\}[/mm]
> keine Sigma-Algebra ist.
>
> Dazu suchen wir eine Eigenschaft aller Sigma-Algebren, die
> unsere Menge [mm]\mathcal{A}[/mm] nicht hat.
> Eine solche geeignete Eigenschaft ist die
> Abgeschlossenheit unter abzählbaren Vereinigungen:
>
> Für jede Sigma-Algebra [mm]\mathcal{B}[/mm] auf [mm]\IN[/mm] gilt (nach
> Definition des Begriffes einer Sigma-Algebra):
>
> (*) Sind [mm]A_1,A_2,A_3\ldots[/mm] Teilmengen von [mm]\IN[/mm] mit
> [mm]A_n\in\mathcal{B}[/mm] für alle [mm]n\in\IN[/mm], so erfüllt auch die
> Vereinigung [mm]A:=\bigcup_{n\in\IN}A_n[/mm] die Eigenschaft
> [mm]A\in\mathcal{B}[/mm].
>
> Wir wollen nun also zeigen, dass unsere Menge [mm]\mathcal{A}[/mm]
> NICHT der Eigenschaft (*) mit [mm]\mathcal{A}[/mm] anstelle von
> [mm]\mathcal{B}[/mm] genügt (und somit keine Sigma-Algebra auf [mm]\IN[/mm]
> sein kann).
>
> Zu zeigen ist also:
>
> Es gibt Teilmengen [mm]A_1,A_2,A_3,\ldots[/mm] von [mm]\IN[/mm] mit
> [mm]A_n\in\mathcal{A}[/mm] für alle [mm]n\in\IN[/mm], so dass
> [mm]\bigcup_{n\in\IN}A_n\notin\mathcal{A}[/mm] gilt.
>
> Wegen [mm]\mathcal{A}=\{A\subseteq\IN\;|\;A\text{ endlich oder koendlich}\}[/mm]
> suchen wir somit eine Folge endlicher bzw. koendlicher
> Teilmengen [mm]A_1,A_2,A_3,\ldots[/mm] von [mm]\IN[/mm], so dass die
> Vereinigung [mm]\bigcup_{n\in\IN}A_n[/mm] weder endlich noch
> koendlich ist.
>
> Die letztgenannte Bedingung "[mm]\bigcup_{n\in\IN}A_n[/mm] weder
> endlich noch koendlich" ist auf jeden Fall erfüllt, wenn
> [mm]\bigcup_{n\in\IN}A_n=\{2k\;|\;k\in\IN\}[/mm] gelten sollte.
>
> Findest du nun endliche (!) Teilmengen [mm]A_1,A_2,A_3,\ldots[/mm]
> von [mm]\IN[/mm], so dass [mm]\bigcup_{n\in\IN}A_n=\{2k\;|\;k\in\IN\}[/mm]
> gilt, also die Vereinigung der endlichen Mengen
> [mm]A_1,A_2,A_3,\ldots[/mm] genau die Menge der geraden natürlichen
> Zahlen ist?
Endlich hat sich mal ein Knoten gelöst gg. Diese [mm] A_1, A_2,... [/mm] sind ja gar keien Algebras, sie sind nur Element einer Algebra. Also müsste gelten:
[mm] A_1 [/mm] = {2}
[mm] A_2 [/mm] = {4}
...
[mm] A_n [/mm] = {2n}
Die Vereinigung dieser A's ist sodann die von dir angepsrochene menge, welcher weder koendlich noch endlich ist somit keien sigma-algebra?
danke und lg
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:36 So 13.03.2016 | | Autor: | nero08 |
Wunderbar :)
ICh sag danke für deien Geduld mit mir ! ;D
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Sehr schön!
