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Vereinigung von Intervallen: Frage
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:52 Di 26.10.2004
Autor: SERIF

Eine Frage. Ich habe hier eine Menge M,  wie soll ich den anfangen. Hier sind mehrere Betrag Zeichen. Kann man die einfach weglassen? Ich glaube nicht alle auf einmal

Aufgabe:  Schreiben Sie die Menge als Vereinigung von Intervallen.

M: = { x [mm] \in \IR [/mm] : |||x| - 2 | - 5 | < 5 }

        
Bezug
Vereinigung von Intervallen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:12 Di 26.10.2004
Autor: Paulus

Hallo SERIF

ich glaube, das ist lediglich eine einfache Fleissaufgabe, um den Umgang mit Betragsstrichen und den nötigen Fallunterscheidungen zu üben.

Es geht dabei nur darum:

es gilt:

[mm] $\left|X\right| [/mm] = X$ für $X [mm] \ge [/mm] 0$ und
[mm] $\left|X\right| [/mm] = -X$ für $X < 0$

Somit musst du immer eine Fallunterscheidung machen, wenn du Betragsstriche wegnimmst.

Wenn es also etwa heisst:
[mm] $\left|x-5\right| [/mm] < 4$

Dann machst du die Fallunterscheidung:

Fall I: $x-5 [mm] \ge [/mm] 0$, oder umgestellt: $x [mm] \ge [/mm] 5$

Dann ergibt sich die folgende Ungleichung:

$x-5 < 4$, also:
$x < 9$

Die Lösungsmenge für Fall I ist somit:
$x [mm] \ge [/mm] 5$ UND $x < 9$, also:

$5 [mm] \le [/mm] x < 9$

Die Lösungsmenge für Fall I ist somit:
$x-5 [mm] \ge [/mm] 0$ UND $x < 9$, also:

$5 [mm] \le [/mm] x < 9$


Fall II: $x-5 < 0$, oder umgestellt: $x < 5$

Dann ergibt sich die folgende Ungleichung:

$-x+5 < 4$, also:
$-x < -1$ oder
$x > 1$

Somit insgesamt für Fall II:

$1 < x < 5$


Die beiden Fälle I und II ergeben somit die gesamte Lösungsmenge:

$1 < x < 9$

Oder so formuliert: $x [mm] \in \left[1,9\right]$ [/mm]

Bei deiner Aufgabe nimmst du der Reihe nach die Betragsstriche von aussen nach innen weg, musst aber jedesmal eine Fallunterscheidung machen. Das wird insgesamt wohl acht Fälle geben! Deshalb: Fleissarbeit.

An Schluss musst du die Intervalle aller Fälle vereinigen! ;-)

Viel Spass!

Mit lieben Grüssen

Paul

Bezug
                
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Vereinigung von Intervallen: Danke
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 17:02 Di 26.10.2004
Autor: SERIF

Dankeschön Paulos

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