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| Aufgabe | | Geben Sie (mit direktem Beweis) ein Beispiel für einen [mm] \IR-Vektorraum [/mm] V und für zwei Untervektorräume V1 und V2, so dass die Vereinigung V1 [mm] \cup [/mm] V2 KEIN Untervektorraum von V ist |
Hi,
habe mir jetzt erst einmal V=R² genommen und als untervektorräume zwei Geraden V1= [mm] r*\vektor{1 \\ 1}
[/mm]
V2= [mm] s*\vektor{1 \\ 2}
[/mm]
das sind ja untervektorräume des R²
1) wie genau habe ich mir jetzt die Vereinigung dieser Geraden vorzustellen
2) Ich soll hier doch für mein Beispiel beweisen, dass die Vereinigung kein Untervektorraum von V ist oder???
3) einfach die Axiome durchprobieren?
lg, Richard
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> Geben Sie (mit direktem Beweis) ein Beispiel für einen
> [mm]\IR-Vektorraum[/mm] V und für zwei Untervektorräume V1 und V2,
> so dass die Vereinigung V1 [mm]\cup[/mm] V2 KEIN Untervektorraum von
> V ist
> Hi,
>
> habe mir jetzt erst einmal V=R² genommen und als
> untervektorräume zwei Geraden V1= [mm]r*\vektor{1 \\ 1}[/mm]
>
> V2= [mm]s*\vektor{1 \\ 2}[/mm]
>
> das sind ja untervektorräume des R²
Hallo,
ja, das sind sie.
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> 1) wie genau habe ich mir jetzt die Vereinigung dieser
> Geraden vorzustellen
Die Vereinigung dieser Geraden ist das "Kreuz", welches Du siehst, wenn Du die beiden Geraden in ein Koordinatensystem zeichnest.
> 2) Ich soll hier doch für mein Beispiel beweisen, dass die
> Vereinigung kein Untervektorraum von V ist oder???
Ja.
> 3) einfach die Axiome durchprobieren?
Da Du es mit UVRen des [mm] \IR^2 [/mm] zu tun hast, kann es ja nicht anders sein, als daß, WENN die Vereinigung ein Vektorraum wäre, dies ein UVR des [mm] \IR^2 [/mm] wäre.
Von daher reicht eigentlich die Überprüfung der Unterraumbedingungen.
Gruß v. Angela
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Danke,
1) Ist die Vereinigung als Ebene aufzufassen in meinem Beispiel als
r* [mm] \vektor{1 \\ 1}, s*\vektor{1 \\ 2} [/mm] ??
den Nullvektor lasse ich hier mal weg
2) 1. Nullvektor ist Element dieser Vereinigung
habe jetzt abg. der Multiplikation udn Addition probiert und es klappt
immer
das ist ärgerlich weil ich ja einen widerspruch brauche, bzw. zeigen muss, dass es für dieses Beispiel kein UVR ist (die Vereinigung)
hat jemand eine Idee, liebe Grüße Richard
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> Danke,
>
> 1) Ist die Vereinigung als Ebene aufzufassen in meinem
> Beispiel als
>
> r* [mm]\vektor{1 \\ 1}, s*\vektor{1 \\ 2}[/mm] ??
> den Nullvektor lasse ich hier mal weg
>
> 2) 1. Nullvektor ist Element dieser Vereinigung
>
> habe jetzt abg. der Multiplikation udn Addition probiert
> und es klappt
> immer
Das wundert mich aber sehr.
Mich wundert nicht, daß Du die addieren kannst, aber mich wundert, daß das Ergebnis jedesmal auf einer der beiden Geraden liegt, denn das müßte es ja, wenn die Vereinigung ein UVR wäre.
Gruß v. Angela
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Sorry, dass war die falsche Darstellung,
1) Ist die Vereinigung der beiden UVR also der Geraden, die Ebene
[mm] \vektor{0 \\ 0} [/mm] + r* [mm] \vektor{1 \\ 1} [/mm] + s* [mm] \vektor{1 \\ 2} [/mm] ?
2) nehme mir zum Beispiel die Vektoren [mm] \vektor{7 \\ 10} [/mm] aus der Vereinigung
und den Vektor [mm] \vektor{1\\ -3}
[/mm]
dann addiere ich sie und die Summe beider Vektoren ist auch wieder in der Vereinigung.....
sag mir doch bitte mal zwei Vektoren wo das nicht klappt
lg Richard
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> Sorry, dass war die falsche Darstellung,
>
> 1) Ist die Vereinigung der beiden UVR also der Geraden, die
> Ebene
>
>
> [mm]\vektor{0 \\ 0}[/mm] + r* [mm]\vektor{1 \\ 1}[/mm] + s* [mm]\vektor{1 \\ 2}[/mm]
> ?
>
Nein.
Die Vereinigung ist die Menge aller Punkte, welche auf der einen oder der andern Geraden liegen.
Ich hatte doch eingangs schon geschreiben: das Kreuz, bestehend aus diesen beiden Geraden. Mehr nicht.
Gruß v. Angela
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:08 So 11.11.2007 | | Autor: | SirRichard |
Danke, jetzt hab ichs verstanden!!! :)
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Hallo,
also die vereinigung der beiden geraden beinhalten ja wie bereits erwähnt alle punkte auf der einen oder auf der anderen geraden. Jetzt bilden diese beiden geraden im beispiel ja nicht wirklich ein kreuz, sondern beginnen bei 0 wenn ich mich täusche?!
Laut vorlesung gilt eine teilmenge als Untervektorraum falls alle elemente aus der teilmenge miteinander addiert werden können und wieder in der teilmenge enthalten sind.
Wenn man davon ausgeht das die teilmengen v1 und v2 nur jeweils ein element(wie oben genannt) besitzen,
entsteht ein weterer vektor, der weder in der ersten noch in der zweiten teilmenge enthalten ist, aber durch die addition habe ich die beiden elemente ja nicht vereinigt sondern nur gezeigt, dass es sich nicht um einen untervektorraum handelt. Aber es geht ja um die vereinigung.
Ich hoffe ihr könnt mir ein wenig klarheit verschaffen...
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> also die vereinigung der beiden geraden beinhalten ja wie
> bereits erwähnt alle punkte auf der einen oder auf der
> anderen geraden. Jetzt bilden diese beiden geraden im
> beispiel ja nicht wirklich ein kreuz, sondern beginnen bei
> 0 wenn ich mich täusche?!
Hallo,
hast Du schonmal eine Gerade gesehen, welche irgendwo "beginnt"?
Gucken wir uns den im Beispiel von [mm] \vektor{1 \\ 2} [/mm] aufgespannten Unterraum [mm] V_2:=< \vektor{1 \\ 2}> [/mm] an.
Was ist das für eine Menge? Die Menge aller Linearkombinationen v. [mm] \vektor{1 \\ 2}, [/mm] also sämtlche Vektoren x, die sich schreiben lassen als [mm] x=\lambda \vektor{1 \\ 2} [/mm] mit [mm] \lambda \in \IR, [/mm] eine Gerade durch den Ursprung - in beide Richtungen, denn das [mm] \lambda [/mm] darf negativ sein.
> Laut vorlesung gilt eine teilmenge als Untervektorraum
> falls alle elemente aus der teilmenge miteinander addiert
> werden können und wieder in der teilmenge enthalten sind.
Das ist eine der Bedingungen, die an einen Unterraum gestellt werden.
> Wenn man davon ausgeht das die teilmengen v1 und v2 nur
> jeweils ein element(wie oben genannt) besitzen,
Die Vektorräume [mm] V_2 [/mm] und [mm] V_1 [/mm] besitzen unendlcih viele Elemente. S.o.
> entsteht ein weterer vektor, der weder in der ersten noch
> in der zweiten teilmenge enthalten ist, aber durch die
> addition habe ich die beiden elemente ja nicht vereinigt
> sondern nur gezeigt, dass es sich nicht um einen
> untervektorraum handelt. Aber es geht ja um die
> vereinigung.
Ich verstehe nicht, was Du sagen willst.
Da z.B. die Addition der beiden erzeugenden Elemente v. [mm] V_1 [/mm] und [mm] V_2 [/mm] einen Vektor ergibt, welcher weder in [mm] V_1 [/mm] noch in [mm] V_2 [/mm] liegt, ist [mm] V_1\cap V_2 [/mm] kein Vektorraum.
Gruß v. Angela
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