Vergleichsoperatoren in metrischen Räumen < Topologie+Geometrie < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:42 Sa 10.07.2004 | | Autor: | Micha |
Hallo!
Ich habe mal eine seeeehr allgemeine Frage:
Ein metrischer Raum ist ja eine Menge von "Punkten", die durch eine Metrik in einem Zusammenhang stehen. Wenn ich nun mal nicht Konstrukte von Zahlen oder Funktionen betrachte, sondern andere Elemente der Umwelt, kann ich dann überhaupt noch mit Metriken Arbeiten? Konret geht es darum: Wir haben in der VL gezeigt, dass die menge der Ubahnhöfe einer Stadt versehen mit der Metrik "kürzeste Schienenverbindung" ein metrischer Raum ist.
Aber ich kann doch die "Elemente" der Grundmenge, nennen wir sie M doch gar nicht in Relation bringen oder? Wann bewege ich mich ausserhalb des Modells, und kann ich somit nur Operationen auf den Metriken ausführen? Wenn ich z.B. die Abstände vergleichen will, nehme ich ja dann die Metriken, denn ich kann ja schwer sagen, zb.
Ostbahnhof < Friedrichstraße,
oder??? Es geht mir mal um das Grundlegende an der ganzen Geschichte...
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:13 Sa 10.07.2004 | | Autor: | Wessel |
Hallo Micha,
ich versuche mich mal in einer Antwort.
Also, gegeben war die Menge aller U-Bahnhöfe. Dann wurde die Metrik d definiert als kürzeste Verbindung zwischen zwei Bahnhöfen. Wir haben dann gezeigt, dass d eine Metrik ist.
Nun war aber unsere Menge [mm] $M=\{x | x$ ist U-Bahnhof $\}$ [/mm] entgegen zu den uns sonst bekannten Mengen keine [b]angeordnete[/] Menge, wie z.B. [mm] $\IR$. [/mm] In [mm] $\IR$ [/mm] kann ich ja sagen $3<4$ (erweitertes Körperaxiom - glaube "archimedisch angeordneter Körper"), was in unserem $M$ wenig Sinn macht.
Wir haben auch nicht die Elemente an sich in Relation zueinander gesetzt, sondern deren Abstand (gemessen in [mm] $\IR$). [/mm] Wie gesagt, Elemente an sich in Relation bringen, läuft - Lars oder Stefan mögen mich korrigieren - nur in angeordneten Mengen.
Gruß
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:24 Sa 10.07.2004 | | Autor: | Micha |
Ja aber die frage ist, ob ich dafür immer Zahlen als Grundlage brauche?
Wenn ich z.B. das Spektrum des Lichtes im Vakuum betrachte bekomme ich einen fließenden Übergang von "Rot" zu "Violett". Ich kann doch z.B. sagen, dass "Orange" zwischen "Rot und "Gelb" liegt. Also wäre das doch z.B. ein Fall, wo ich keine Zahlen als Grundlage habe und trotzdem anordnen kann.
Sorry wenn es jetzt mathematisch-philosophisch wird, aber wenn man mir im Script so ein exotisches Beispiel liefert dann muss das ja auch mit Mathematik zu tun haben. 
Angenommen ich habe nun meine Menge der Regenbogenfarben. Nun kann ich mir ja auch darauf abstrakte Funktionen definieren so wie: f: "Farben" -> "Geschmack", gegeben durch: (eine Farbe) -> "Gefällt mir" für "Rot" und "Gefällt mir nicht" für sonstige Farben. Dabei will ich die Farben gar nicht diskretisieren. Besipielsweise kann man ja mit den Wellenlängen der Farben arbeiten:
F( "440 nm" ) = F ("blau" ) = "Gefällt mir nicht"
Naja ich hoffe ihr habt den Kern meiner Frage mitbekommen: Brauche ich in der Mathematik immer Zahlen als Grundlage für Räume?
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Hallo Hathorman,
> Ja aber die frage ist, ob ich dafür immer Zahlen als
> Grundlage brauche?
Nein, brauchst du nicht. Solange du deine Objekte als Elemente einer Menge darstellen kannst, kannst du mit ihnen arbeiten. (Und selbst diese Voraussetzung ist in "höheren Sphären" wie der Kategorientheorie nicht notwendig.)
> Wenn ich z.B. das Spektrum des Lichtes im Vakuum betrachte
> bekomme ich einen fließenden Übergang von "Rot" zu
> "Violett". Ich kann doch z.B. sagen, dass "Orange" zwischen
> "Rot und "Gelb" liegt. Also wäre das doch z.B. ein Fall, wo
> ich keine Zahlen als Grundlage habe und trotzdem anordnen
> kann.
Ja. Die Anordnung der Farben geschieht hier mit dem Umweg über ihre Wellenlänge. Denn diese entscheidet ja, wie stark die Farbe gebrochen wird und wo im Spektrum sie also liegt. (Spektrumserzeugung am Prisma)
Du hast also eine Zuordnung zwischen reinen Farben (Regenbogenfarben) über ihre Wellenlänge zu ihrem Ort im Spektrum. Diese Orte sind linear geordnet (von links nach rechts, zum Beispiel), und diese Ordnung überträgst du zurück auf die Farben. Damit hast du die "Menge der reinen Farben" geordnet. (Ich setze die Menge in Anführungszeichen, weil erst noch geklärt werden muss, in welchem Sinne ich Farben zu einer Menge zusammenfassen kann.)
> Angenommen ich habe nun meine Menge der Regenbogenfarben.
> Nun kann ich mir ja auch darauf abstrakte Funktionen
> definieren so wie: f: "Farben" -> "Geschmack", gegeben
> durch: (eine Farbe) -> "Gefällt mir" für "Rot" und "Gefällt
> mir nicht" für sonstige Farben. Dabei will ich die Farben
> gar nicht diskretisieren. Besipielsweise kann man ja mit
> den Wellenlängen der Farben arbeiten:
>
> F( "440 nm" ) = F ("blau" ) = "Gefällt mir nicht"
>
> Naja ich hoffe ihr habt den Kern meiner Frage mitbekommen:
> Brauche ich in der Mathematik immer Zahlen als Grundlage
> für Räume?
Hier identifizierst du anscheinend eine Farbe mit ihrer Wellenlänge.
Damit arbeitest du wieder mit "Zahlen", nämlich mit Längen, die du vergleichen und anordnen kannst. (Sie zu addieren ergibt im Kontext von Farben wiederum keinen Sinn, so dass du nicht wirklich mit Zahlen arbeitest.)
Die Auffassung, was eine "Zahl" ist, hat sich im Laufe der Zeit gewandelt und mitunter besteht auch heute für bestimmte Strukturen keine Einigkeit. Normalerweise betrachtet man als Zahlen nur Objekte, mit denen man "rechnen" kann: addieren, multiplizieren etc. Diese Rechenarten können aber schon sehr kompliziert aussehen, und mit der gewöhnlichen Addition reeller Zahlen nichts zu tun haben.
Für metrische Räume brauchst du definitiv keine Zahlen. Wenn ich die Menge aller (leiblichen) Nachfahren irgendeines Menschen betrachte, kann ich zwischen den Personen in diesem Stammbaum einen Abstand definieren, der davon abhängt, in welcher Generation der letzte gemeinsame (leibliche) Vorfahr steht. Damit wird dieser Stammbaum ein metrischer Raum. (Es gibt da ein paar technische Probleme mit gemeinsamen Kindern von Verwandten, die wir der Einfachheit halber ausschliessen *gg*)
Gruss,
SirJective
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:21 Sa 10.07.2004 | | Autor: | Marc |
Hallo zusammen,
> Wir haben auch nicht die Elemente an sich in Relation
> zueinander gesetzt, sondern deren Abstand (gemessen in
> [mm]\IR[/mm]). Wie gesagt, Elemente an sich in Relation bringen,
> läuft - Lars oder Stefan mögen mich korrigieren - nur in
> angeordneten Mengen.
Ja, das stimmt, da diese Aussage eine Tautologie ist: Auf einer angeordneten Menge ist ja gerade eine Ordnungsrelation definiert.
Man kann aber auf vielen Mengen Metriken und Ordnungsrelationen definieren, diesen Mengen müssen auch nicht notwendig "Zahlen" zu Grunde liegen.
Sogar auf der Menge der U-Bahnstationen kann man unter Umständen eine Ordnungsrelation definieren, so dass man dann tatsächlich Sachen wie "Ostbahnhof < Friedrichstraße" sagen kann.
Beispiel: Das U-Bahnnetz besteht nur aus einer Linie. Dann sind die Stationen doch schön linear angeordnet und man kann definieren:
Haltestelle A [mm] \le [/mm] Haltestelle B [mm] :\gdw [/mm] Fahrzeit(Anfangshaltestelle,Haltestelle A) [mm] \le [/mm] Fahrzeit(Anfangshaltestelle, Haltestelle B)
Aber selbst das ist nicht gar nötig.
Ich denke, auf jeder diskreten Menge kann man eine Ordnungsrelation definieren, man muß die Elemente ja nur linear anordnen. Ob das dann Sinn macht, ist eine andere Frage.
Viele Grüße,
Marc
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 02:02 So 11.07.2004 | | Autor: | Gnometech |
Gruß!
Es geht sogar noch allgemeiner, vorausgesetzt man "glaubt" an das Auswahlaxiom. ;)
Dieses ist nämlich äquivalent zum sogenannten "Wohlordnungssatz", der besagt, dass jede (!) Menge eine totale Ordnung besitzt, d.h. für jede Menge kann man Regeln einführen, die denen der Ordnung der reellen Zahlen entsprechen.
Um nochmal auf die Ursprungsfrage zurückzukommen: ein metrischer Raum kann eine beliebige Menge sein, aber die Zahlen kommen trotzdem mit hinein: wenn ich nämlich eine Metrik habe, dann ist das zunächst mal eine Abbildung [mm] d: X \times X \rightarrow \IR [/mm] mit gewissen formalen Eigenschaften (X soll der Raum sein). Und da haben sich in der Bildmenge schon die reellen Zahlen eingeschlichen als das, womit man Abstände mißt - in Zahlen bzw. Größen.
Auch im Stammbaumbeispiel sind diese Zahlen da - nämlich die "Anzahl" der Generationen, wie Marc definierte.
Natürlich gibt es auch da Verallgemeinerungen, Metriken z.B. die nicht Werte in [mm] \IR [/mm] annehmen, sondern in anderen Mengen, aber das ist eine andere Geschichte...
Lars
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:42 Mo 12.07.2004 | | Autor: | SirJective |
Hallo gnometech,
> Es geht sogar noch allgemeiner, vorausgesetzt man "glaubt"
> an das Auswahlaxiom. ;)
>
> Dieses ist nämlich äquivalent zum sogenannten
> "Wohlordnungssatz", der besagt, dass jede (!) Menge eine
> totale Ordnung besitzt, d.h. für jede Menge kann man Regeln
> einführen, die denen der Ordnung der reellen Zahlen
> entsprechen.
Obacht: Die natürliche Ordnung der reellen Zahlen sind keine Wohlordnung. Auch eine Wohlordnung der reellen Zahlen ist erst über den Wohlordnungssatz möglich.
Der Wohlordnungssatz postuliert etwas stärkeres als eine totale Ordnung, nämlich eben eine Wohlordnung: Eine totale Ordnung, in der jede nichtleere Menge ein kleinstes Element besitzt.
> Auch im Stammbaumbeispiel sind diese Zahlen da - nämlich
> die "Anzahl" der Generationen, wie Marc definierte.
Das war übrigens von mir 
Da ich die Metrik nicht angegeben habe, lass mich noch dazusagen, dass genaugenommen der Kehrwert der Generationenzahl zu nehmen ist, damit die Dreiecksungleichung erfüllt wird. Bei Bedarf kann ich das Beispiel gern ausführlich darlegen.
Gruss,
SirJective
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