Vergleichsprinzip < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:40 Mi 23.11.2011 | | Autor: | LuisA44 |
| Aufgabe | Es seien f, g : [mm] \IR \to \IR [/mm] stetig und u, v seinen Lösungen von
u'=f(t,u)
v'=g(t,u)
auf einem Intervall [a,b]. Zeigensie für diese Situation folgendes Vergleichsprinzip:
Gilt f( t,s)<g(t,s) für alle (t,s) [mm] \in [/mm] (a,b]x W , mit [mm] W:=u((a,b])\cap [/mm] v((a,b]) und entweder
u(a)<v(a)
Oder
u(a)=v(a) und f(a,u(a))< g(a,v(a)),
so folgt u(t)<v(t) für alle t [mm] \in [/mm] (a,b] |
Hallo Forum,
Ich sitze gerade an dieser Aufgabe und komme einfach nicht voran:(
Mein Problem ist schon dass ich mir nicht vorstellen kann,was die Aufgabe überhaupt aussagt ![[verwirrt]](/images/smileys/verwirrt.gif "[verwirrt]")
Kann ich jetzt anfangen mit:
Dass es einen Punkt gibt [mm] t_1>a [/mm] mit [mm] u(t_1)=v(t_1) [/mm] und u(t)<v(t) für t [mm] \in (a,t_1)??? [/mm]
Über eine Antwort würde ich mich sehr freuen. Weis einfach nicht wie ich das machen soll :(
Beste Grüße
LuisA44
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:44 Mi 23.11.2011 | | Autor: | fred97 |
> Es seien f, g : [mm]\IR \to \IR[/mm] stetig und u, v seinen
> Lösungen von
> u'=f(t,u)
> v'=g(t,u)
> auf einem Intervall [a,b]. Zeigensie für diese Situation
> folgendes Vergleichsprinzip:
> Gilt f( t,s)<g(t,s) für alle (t,s) [mm]\in[/mm] (a,b]x W , mit
> [mm]W:=u((a,b])\cap[/mm] v((a,b]) und entweder
> u(a)<v(a)
> Oder
> u(a)=v(a) und f(a,u(a))< g(a,v(a)),
> so folgt u(t)<v(t) für alle t [mm]\in[/mm] (a,b]
> Hallo Forum,
> Ich sitze gerade an dieser Aufgabe und komme einfach nicht
> voran:(
> Mein Problem ist schon dass ich mir nicht vorstellen
> kann,was die Aufgabe überhaupt aussagt
Du hast 2 DGLen und von jeder eine Lösung u bzw v.
Weiter gelte:
(*) f( t,s)<g(t,s) für alle (t,s) $ [mm] \in [/mm] $ (a,b]x W
Jetzt stellt sich die Frage: wann gilt unter der Vor. (*) für die Lösungen u und v die Ungl.
u<v auf v[a,b] ?
Du sollst zeigen, dass dies der Fall ist, wenn
(1) u(a)<v(a) ist,
oder wenn
(2) u(a)=v(a) und f(a,u(a))< g(a,v(a)) gilt.
Ich zeigs Dir mal , wenn (1) gilt: dazu setzen wir w:=v-u.
Es ist für t [mm] \in [/mm] (a,b]:
u'(t)=f(t,u(t)) und v'(t)=f(t,v(t).
Wegen (*) haben wir dann u'(t)<v'(t), also w'(t)>0.
(**) w ist also auf (a,b] steng wachsend.
Aus (1) folgt: w(a)>0. Wegen (**) ist dann w(t) [mm] \ge [/mm] w(a)>0 für t [mm] \in [/mm] (a,b]
Fazit: w(t)>0 für alle t [mm] \in [/mm] [a,b]
Und das bedeutet: u(t)<v(t) für alle t $ [mm] \in [/mm] $ [a,b]
FRED
> Kann ich jetzt anfangen mit:
> Dass es einen Punkt gibt [mm]t_1>a[/mm] mit [mm]u(t_1)=v(t_1)[/mm] und
> u(t)<v(t) für t [mm]\in (a,t_1)???[/mm]
> Über eine Antwort würde ich mich sehr freuen. Weis
> einfach nicht wie ich das machen soll :(
> Beste Grüße
> LuisA44
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:56 Mi 23.11.2011 | | Autor: | LuisA44 |
Hallo Fred,
das was du mir erklärt hast habe ich verstande. Danke super erklärt :)
> Du hast 2 DGLen und von jeder eine Lösung u bzw v.
>
> Weiter gelte:
>
>
> (*) f( t,s)<g(t,s) für alle (t,s) [mm]\in[/mm] (a,b]x W
>
> Jetzt stellt sich die Frage: wann gilt unter der Vor. (*)
> für die Lösungen u und v die Ungl.
>
> u<v auf v[a,b] ?
>
> Du sollst zeigen, dass dies der Fall ist, wenn
>
> (1) u(a)<v(a) ist,
>
> oder wenn
>
> (2) u(a)=v(a) und f(a,u(a))< g(a,v(a)) gilt.
>
>
> Ich zeigs Dir mal , wenn (1) gilt: dazu setzen wir w:=v-u.
>
> Es ist für t [mm]\in[/mm] (a,b]:
>
> u'(t)=f(t,u(t)) und v'(t)=f(t,v(t).
>
> Wegen (*) haben wir dann u'(t)<v'(t), also w'(t)>0.
>
> (**) w ist also auf (a,b] steng wachsend.
>
> Aus (1) folgt: w(a)>0. Wegen (**) ist dann w(t) [mm]\ge[/mm] w(a)>0
> für t [mm]\in[/mm] (a,b]
>
> Fazit: w(t)>0 für alle t [mm]\in[/mm] [a,b]
>
> Und das bedeutet: u(t)<v(t) für alle t [mm]\in[/mm] [a,b]
Jetzt muss ich ja noch zeigen, dass wenn (2) gilt auch u(t)<v(t)
Nunja obwohl ich das verstanden habe, habe ich trotzdem so meine Probleme :/
Also meine Voraussetzungen bleiben:
(*) f(t,s)<g(t,s) für ale [mm] t\in [/mm] (a,b]
und
u'(a)=f(a,u(a))
v'(a)=g(a,v(a))
dann wäre doch nach (*)
u'(a)<v'(a) bzw. f(a,u(a))<g(a,v(a))
das wäre ja dann der zweite TEil von (2)
hmmm aber hier wäre ja auch u(a)<v(a) aber soll doch u(a)=v(a). Was hab ich getan?
Hier komme ich nicht weiter. Und das t muss ja auch wieder rein weil ja am schluss u(t)<v(t) rauskommen soll?
Kannst du mich nochmal anstupsen? :)
Beste Grüße
LuisA44
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(Antwort) fertig | | Datum: | 06:15 Do 24.11.2011 | | Autor: | fred97 |
Sei w wie in meiner ersten Antwort.
Es gelte: u(a)=v(a) ung f(a,u(a)) < g(a,v(a)).
Dann folgt u'(a)<v'(a)
Damit haben wir ( s. meine 1. Antwort), sogar: w'>0 auf ganz [a,b].
Damit ist w auf ganz [a,b] steng wachsend. Somit ist für t [mm] \in [/mm] (a,b]: w(t)>w(a)=0, also
u(t)<v(t) für t [mm] \in [/mm] (a,b],
wie gewünscht.
FRED
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> Es seien f, g : [mm]\IR \to \IR[/mm] stetig und u, v seinen
> Lösungen von
> u'=f(t,u)
> v'=g(t,u)
> auf einem Intervall [a,b]. Zeigensie für diese Situation
> folgendes Vergleichsprinzip:
> Gilt f( t,s)<g(t,s) für alle (t,s) [mm]\in[/mm] (a,b]x W , mit
> [mm]W:=u((a,b])\cap[/mm] v((a,b]) und entweder
> u(a)<v(a)
> Oder
> u(a)=v(a) und f(a,u(a))< g(a,v(a)),
> so folgt u(t)<v(t) für alle t [mm]\in[/mm] (a,b]
> Hallo Forum,
> Ich sitze gerade an dieser Aufgabe und komme einfach nicht
> voran:(
> Mein Problem ist schon dass ich mir nicht vorstellen
> kann,was die Aufgabe überhaupt aussagt
> Kann ich jetzt anfangen mit:
> Dass es einen Punkt gibt [mm]t_1>a[/mm] mit [mm]u(t_1)=v(t_1)[/mm] und
> u(t)<v(t) für t [mm]\in (a,t_1)???[/mm]
> Über eine Antwort würde ich mich sehr freuen. Weis
> einfach nicht wie ich das machen soll :(
> Beste Grüße
> LuisA44
Hallo Luis,
bei dieser Aufgabe sehe ich zunächst auch nur eine ganze
Reihe von Fragezeichen:
1.) Wenn f, g : [mm]\IR \to \IR[/mm] , wie kommen dann
überhaupt f(t,u) und g(t,u) (mit zwei Variablen) in Frage ?
2.) Was bedeutet der Ableitungsstrich in u' ? Nach welcher
Variablen wird hier abgeleitet ?
Es wäre jedenfalls wünschenswert, dass derartige Aufgaben
formal korrekt und vollständig formuliert werden, damit
man nicht gleich von Anfang an mit (zu) Kurz-Notationen
kämpfen muss.
LG Al-Chw.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 06:20 Do 24.11.2011 | | Autor: | fred97 |
> > Es seien f, g : [mm]\IR \to \IR[/mm] stetig und u, v seinen
> > Lösungen von
> > u'=f(t,u)
> > v'=g(t,u)
> > auf einem Intervall [a,b]. Zeigensie für diese
> Situation
> > folgendes Vergleichsprinzip:
> > Gilt f( t,s)<g(t,s) für alle (t,s) [mm]\in[/mm] (a,b]x W , mit
> > [mm]W:=u((a,b])\cap[/mm] v((a,b]) und entweder
> > u(a)<v(a)
> > Oder
> > u(a)=v(a) und f(a,u(a))< g(a,v(a)),
> > so folgt u(t)<v(t) für alle t [mm]\in[/mm] (a,b]
> > Hallo Forum,
> > Ich sitze gerade an dieser Aufgabe und komme einfach nicht
> > voran:(
> > Mein Problem ist schon dass ich mir nicht vorstellen
> > kann,was die Aufgabe überhaupt aussagt
> > Kann ich jetzt anfangen mit:
> > Dass es einen Punkt gibt [mm]t_1>a[/mm] mit [mm]u(t_1)=v(t_1)[/mm] und
> > u(t)<v(t) für t [mm]\in (a,t_1)???[/mm]
> > Über eine Antwort würde ich mich sehr freuen. Weis
> > einfach nicht wie ich das machen soll :(
> > Beste Grüße
> > LuisA44
>
>
> Hallo Luis,
>
> bei dieser Aufgabe sehe ich zunächst auch nur eine ganze
> Reihe von Fragezeichen:
>
> 1.) Wenn f, g : [mm]\IR \to \IR[/mm] , wie kommen dann
> überhaupt f(t,u) und g(t,u) (mit zwei Variablen) in
> Frage ?
Hallo Al,
diese Kritik ist berechtigt. Mir ist gar nicht aufgefallen, dass Luis beim Def-Bereich der beiden Funktionen geschlampt hat.
>
> 2.) Was bedeutet der Ableitungsstrich in u' ? Nach
> welcher
> Variablen wird hier abgeleitet ?
Diese Kritik ist weniger berechtigt, denn im Dunstkreis "gewöhnliche DGLen" schreibt man für eine DGL 1. Ordnung oft
(*) y'=f(t,y).
Ganz korrekt sollte es natürlich
y'(t)=f(t,y(t))
lauten. Die Kurzschreibweise (*) ist dennoch üblich.
Gruß FRED
>
> Es wäre jedenfalls wünschenswert, dass derartige
> Aufgaben
> formal korrekt und vollständig formuliert werden, damit
> man nicht gleich von Anfang an mit (zu) Kurz-Notationen
> kämpfen muss.
>
> LG Al-Chw.
>
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 06:30 Do 24.11.2011 | | Autor: | LuisA44 |
Hallo zusammen,
Also die Aufgabenstellung ist genau die die wir auf unserem Übungsblatt haben. Ich fand es auch verwirrend, aber ich muss mich wohl dran gewöhnen. Und übrigens bin ich eine LuisA :)
Beste Grüße
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