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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:17 Mi 15.10.2008 | | Autor: | Hans76 |
| Aufgabe | Im Dreieck ABC sei M der Mittelpunkt der Seitenhalbierenden durch C.
In welchem Verhältnis teilt der Strahl von A durch M die Seite BC? |
Ich komme mit der Aufgabe nicht klar. Ich habe mir bereits schon Ansätze bearbeitet.
Ich habe den Punkt auf der der Strahl auf der Seite BC liegt D genannt.
Meine geschlossene Vektorkette lautet CD+DM+MC=0.
Ist das ein richtiger Ansatz?
und dann komme ich nicht weiter:(
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hi, Hans,
> Im Dreieck ABC sei M der Mittelpunkt der Seitenhalbierenden durch C.
> In welchem Verhältnis teilt der Strahl von A durch M die Seite BC?
> Ich komme mit der Aufgabe nicht klar. Ich habe mir bereits
> schon Ansätze bearbeitet.
> Ich habe den Punkt auf der der Strahl auf der Seite BC
> liegt D genannt.
> Meine geschlossene Vektorkette lautet CD+DM+MC=0.
> Ist das ein richtiger Ansatz?
Ja!
Jetzt nenne die lin.unabh. Vektoren [mm] \overrightarrow{AB}= \vec{a} [/mm] und [mm] \overrightarrow{AC}= \vec{b} [/mm] und drücke die drei in Deiner Vektorkette vorkommenden Vektoren durch diese beiden und Konstante aus.
Z.B.: [mm] \overrightarrow{CD} [/mm] = [mm] k*\overrightarrow{CB} [/mm] = [mm] k*(\vec{a}-\vec{b})
[/mm]
und: [mm] \overrightarrow{DM} [/mm] = [mm] l*\overrightarrow{DA} [/mm] = [mm] l*(\overrightarrow{DC}-\vec{b}) [/mm] (für [mm] \overrightarrow{DC} [/mm] = [mm] -\overrightarrow{CD} [/mm] verwende den oben genannten Vektor!)
Für die Bestimmung von [mm] \overrightarrow{MC} [/mm] musst Du noch den Punkt auf der Seitenmitte AB benennen, sagen wir mal: E.
Dann ist [mm] \overrightarrow{MC} [/mm] = [mm] \bruch{1}{2}*\overrightarrow{EC}= [/mm] ...
(Den kriegst Du nun selbst hin: Da steckt keine Unbekannte mehr drin!)
Naja: k und l berechnest Du nun auf üblichem Weg!
mfG!
Zwerglein
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:07 Mi 15.10.2008 | | Autor: | Hans76 |
Ich danke dir erst einmal für die schnell Antwort.
Soweit habe ich es jetzt verstanden nur bei DM habe ich noch probleme.
Es heisst ja dann DM=l(-b-DC) aber wie trage ich DC ein wenn ich da schon die Variable k drin habe?
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> Ich danke dir erst einmal für die schnell Antwort.
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> Soweit habe ich es jetzt verstanden nur bei DM habe ich
> noch probleme.
> Es heisst ja dann DM=l(-b-DC) aber wie trage ich DC ein
> wenn ich da schon die Variable k drin habe?
Du hast in der Vektorrechnung immer verschiedene Wege zur Wahl, daher hier mal ein paar.
Übrigens hast du oben ein Minus zu viel :)
Gleich vorweg, ich setze die Seitennamen mit den Vektoren gleich, sonst wirds zu verwirrend. Normalerweise würde man sagen, Vektor a geht vom Punkt A aus oder so, aber bei mir ist Vektor a die Seite a, also CB
Angenommen, das Dreieck hat die Eckpunkte ABC, M sei der Mittelpunkt der Seitenhalbierenden von c, D der Punkt auf der Seite a (also AB) und E der Fußpunkt der Seitenhöhe von c, also die Mitte der Seite c (AB)
Dann gilt deine Kette:
$ [mm] \vec [/mm] {CD} + [mm] \vec [/mm] {DM} + [mm] \vec [/mm] {MC} = [mm] \vec [/mm] 0 $
Fangen wir mit $ [mm] \vec [/mm] {CD} $ an:
$ [mm] \vec [/mm] {CD} = [mm] \delta \vec [/mm] {CB}= [mm] \delta (-\vec [/mm] b + [mm] \vec [/mm] c) $
Jetzt kommt $ [mm] \vec [/mm] {DM} $
$ [mm] \vec {DM}=\lambda \vec [/mm] {DA} $
Nun, $ [mm] \vec [/mm] {AD} $ lässt sich nun über zwei Richtungen darstellen, entweder über die Seiten a und b oder über die Seiten c und a. Von mir aus machen wir es über b
$ [mm] \vec [/mm] {DA} = - [mm] \vec {CD}-\vec b=-\delta (-\vec [/mm] b + [mm] \vec c)-\vec [/mm] b $
$ [mm] \vec {DM}=\lambda (-\delta (-\vec [/mm] b + [mm] \vec c)-\vec [/mm] b) $
bleibt noch
$ [mm] \vec [/mm] {MC} = [mm] \bruch{1}{2} \vec [/mm] {EC} $
Auch hier wieder zwei Varianten, ich nehme die mit c und b
$ [mm] \vec [/mm] {EC} = - [mm] \bruch{1}{2}\vec {c}+\vec [/mm] {b} $
$ [mm] \vec [/mm] {MC} = [mm] \bruch{1}{2} [/mm] (- [mm] \bruch{1}{2}\vec {c}+\vec [/mm] {b}) $
Das ergibt
$ [mm] \delta (-\vec [/mm] b + [mm] \vec [/mm] c)+ [mm] \lambda (-\delta (-\vec [/mm] b + [mm] \vec c)-\vec [/mm] b) + [mm] \bruch{1}{2} [/mm] (- [mm] \bruch{1}{2}\vec {c}+\vec [/mm] {b}) = [mm] \vec [/mm] 0 $
Jetzt ausmultiplizieren, nach a,b,c ordnen und die Bedingung für lineare Abhängigkeit anwenden :)
Damit geht es auch, durch die letzte Bedingung erhält man nämlich letztendlich auch Zahlen, die dann auf die andere Seite kommen und nicht alles 0 werden lassen, Gott sei Dank...der Schreck jeder Mathearbeit...
Man erhält
$ [mm] \lambda=\bruch{1}{4} [/mm] $ und $ [mm] \delta=\bruch{1}{3} [/mm] $
Da man das Verhältnis von $ [mm] \vec {CD}:\vec{DB} [/mm] $ wissen will, gilt nun:
$ [mm] \vec {CD}=\bruch{1}{3}*\vec [/mm] {CB} $ Verhältnis ist also 1:2
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