Verhältnisse im Viereck < Topologie+Geometrie < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Seien A, B, C und D die Eckpunkte eines Vierecks und M bzw. MM' die Mittelpunkte der Diagonalen AC bzw. BD. Beweisen Sie die Gültigkeit der Gleichung
|AB|²+|BC|²+|CD|²+|DA|²=|AC|²+|BD|²+4|MM´|² |
Also:
1. Kann das sein, dass da schon ein Fehler in der Aufgabenstellung ist? Also bezüglich des zweiten Mittelpunktes MM'. Kann mir das absolut nicht vorstellen.
2. Ich habe das jetzt mal gezeichnet, aber mir fällt nichts auf. Mich irritieren auch die quadrate. Ist damit die Länge der Vektoren gemeint?
Ich bitte euch um Hilfe.
Lg kleinlilly
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Geh weder von einem Quadrat, Rechteck, noch von einer Raute aus. Bei allen anderen Vierecken sind die beiden genannten Mittelpunkte verschieden voneinander. Nimm ein allgemeines Viereck, notfalls einen Drachen.
Ja, die Quadrate beziehen sich auf die Seitenlängen. Wenn Du sie vektoriell darstellst, dann eben auf die Länge der Vektoren (also ihren Betrag).
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So ich habe ein allgemeines Viereck. Da sind M und M´auch verschieden und ich kann sie durch eine Gerade verbinden.
Dann ist ja klar das die Seitenquadrate gleich den Diagonalenquadraten + 4 mal das Quadrat von der Seitenlänge MM`sein soll. Das habe ich ja jetzt verstanden.
Des Weiteren weiß ich nun nicht wie ich weiter fortfahren soll. Ich kann wohl sagen dass |AC|²=|AD|²+|DC|² ist und |DB|²=|BC|²+|CD|². aber das bringt mir ja auch irgendwie nichts. oder mache ich irgendwas falsch? Ich blick da wirklich nicht durch.
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> So ich habe ein allgemeines Viereck. Da sind M und M´auch
> verschieden und ich kann sie durch eine Gerade verbinden.
> Dann ist ja klar das die Seitenquadrate gleich den
> Diagonalenquadraten + 4 mal das Quadrat von der Seitenlänge
> MM'sein soll. Das habe ich ja jetzt verstanden.
Gut. Die Aufgabenstellung ist also klar.
> Des Weiteren weiß ich nun nicht wie ich weiter fortfahren
> soll. Ich kann wohl sagen dass |AC|²=|AD|²+|DC|² ist und
> |DB|²=|BC|²+|CD|². aber das bringt mir ja auch irgendwie
> nichts. oder mache ich irgendwas falsch? Ich blick da
> wirklich nicht durch.
Du brauchst eine geeignet Aufteilung in Dreiecke. Zur Verfügung stehen die vier Ecken und die beiden Mittelpunkte der Diagonalen. Schau mal, welche Sätze Dir zur Verfügung stehen (womöglich einschließlich der Ermittlung des Umkreises, wer weiß) und versuch, eine Aufteilung zu finden, die Dir irgendwie die Anwendung von Formeln mit Quadraten ermöglicht...
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Ich habe jetzt das versucht, was du gesagt hast, komme aber trotzdem kein Stück weiter. Kannst du mir nochmal helfen? Bitte.
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Betrachte mal die beiden Dreiecke M'MD und MCD. Sie haben die Strecke [mm] \overline{MD} [/mm] gemeinsam, außerdem ist die Strecke [mm] \overline{MM'} [/mm] in einem der beiden enthalten.
Nun könntest du, im wesentlichen mit dem Cosinussatz und unter Heranziehung der trigonometrischen Additionstheoreme in eine wilde und umfangreiche Rechnung einsteigen. Dein Ansatz über Vektoren ist aber viel besser.
Kennst Du den Zusammenhang zwischen der Projektion von Vektoren und ihrem Skalarprodukt? Wenn nicht, schlag das mal nach. Vielleicht kommst Du dann auf eine elegantere Lösung. Wenn der Schnittpunkt der Diagonalen S sein möge, dann wird die Strecke [mm] \overline{MS} [/mm] eine wesentliche Rolle spielen. Oder die Strecke [mm] \overline{M'S}, [/mm] aber nicht beide.
Ich habe leider kein Zeichenprogramm, hoffe aber, dass die Punkte eindeutig identifiziert sind (ach ja: M liegt ja mittig auf [mm] \overline{AC}, [/mm] M' ebenso auf [mm] \overline{BD}).
[/mm]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:34 So 30.11.2008 | | Autor: | reverend |
Hallo kleinlilly,
bist Du weitergekommen?
Ich habe Dir verschwiegen, dass mein ach so allgemeines Viereck die Strecke [mm] \overline{MM'} [/mm] und [mm] \overline{CD} [/mm] auf der "gleichen Seite" des Schnittpunkts S liegen hatte. Es funktioniert zwar auch ohne diese Einschränkung, ist aber viel besser vorstellbar, wenn Du Deine Skizze so umbenennst, dass das auch der Fall ist.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:20 Di 02.12.2008 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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