Verhalten im Unendlichen < Differenzialrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:18 Di 31.07.2007 | | Autor: | Jakre |
ich muss eine Mathenachprüfung machen und das Thema ist Kurvendiskussion und dann allgemein noch Differenzialrechnung! Und ich versteh das mit dem Verhalten im Unendlichen nicht! Ich weiß nicht was ich da machen muss...unsere Lehrerin hat zwar was dazu aufgeschrieben welche Fälle es gibt aber ich weiß nicht wie man das anwendet...
Könntet ihr mir das vielleicht erklären?? 
Danke schon mal im Vorraus!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") .
Vielleicht kannst Du mal aufschreiben, was Du aufgeschrieben hast.
Vielleicht hast Du sogar ein paar eigene Beispiele?
Ich glaube, daß man Dir mit diesen Informationen effektiver helfen könnte.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:48 Di 31.07.2007 | | Autor: | Zwerglein |
Hi, Jakre,
vor allem: Um welchen Funktionstyp geht es denn?
- ganzrationale Funktionen?
- gebrochen-rationale Funktionen?
oder gar
- Exponential- und Logarithmusfunktionen?
- sonstige?
mfG!
Zwerglein
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Hallo Jakre!
Es gibt verschiedene Möglichkeiten,hier 2:
1.Potenzreihenentwicklung;
2.Regel von de l'Hospital.
Grüße Martha.
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Hallo Jakre!
Hier eine Formel für Regel von de l'Hospital:
u(x)=f(x)/g(x)
h=lim(u(x))=?
x->a
f(a)=0 und g(a)=0
f'(x)
g'(x)
falls g'(a) ungleich 0,dann h=f'(a)/g'(a)
sonst wiederhole mit f' und g' an der Stelle von f und g.
Hoffe,daß ich helfen konnte.
Grüße Martha.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:28 Di 31.07.2007 | | Autor: | Kroni |
Hi,
ich glaube nicht, dass der Schüler in der Schule die Regel von l'Hospital lernt.
@Jakre: Wie die Vorredner schon sagten: Gib uns mal die Beispiele und sage uns, um welche Funktionstypen es geht, dann kann man dort etwas allgemeineres zu sagen.
LG
Kroni
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:55 Di 31.07.2007 | | Autor: | kochmn |
Grüß Dich, Jakre,
im Regelfall genügt es, wenn Du Dir die einzelnen Teile der
Funktionen anschaust und Dich fragst, wie sie sich im unendlichen
Verhalten. Wenn Du dann noch weißt, dass [mm]0\cdot c=0[/mm]
für beliebiges [mm]c[/mm], so hast Du fast schon gewonnen. Schwierig
sind die Fälle in denen 0 mit unendlich multipliziert wird.
Einige Beispiele:
[mm]\lim_{x\to\infty} e^x\to \infty[/mm] (schneller als jedes Polynom)
[mm]\lim_{x\to\infty} e^{-x} = 0[/mm] (schneller als jedes Polynom)
[mm]\lim_{x\to\infty} \ln(x)\to \infty[/mm] (langsamer als jedes Polynom)
[mm]\lim_{x\to\infty} \sin(x)[/mm] konvergiert nicht gegen
irgendeinen Grenzwert bleibt aber dem Betrage nach zwischen 0 und 1
und verschwindet demnach, wenn es nochmal mit 0 multipliziert wird.
[mm]\lim_{x\to\infty} x^c\to \infty[/mm] für c>0
[mm]\lim_{x\to\infty} x^c= 0[/mm] für c<0
etc.
Einige Beispiele:
[mm]\lim_{x\to\infty}\sin(x)[/mm] konvergiert nicht, da der Sinus ewig zw. -1 und 1 oszilliert.
[mm]\lim_{x\to\infty}\bruch{\sin(x)}{x}=0[/mm] da 1/x gegen 0 und der Sinus dem Betrage nach kleiner oder gleich 1: Null mal der kleine Sinuswert ist Null.
[mm]\lim_{x\to\infty}x^2\to\infty[/mm]. Klar, oder? Je größer das x desto größer auch [mm] x^2.
[/mm]
[mm]\lim_{x\to\infty}x^2\cdot e^{-x}=0[/mm]. Der ist nicht ganz so
klar. Merke Dir: Die [mm] e^{-x}-Funktion [/mm] strebt schneller gegen 0 als jedes Polynom gegen unendlich. Das kannst Du Dir klar machen, wenn Du das Verhalten der Ableitungen von Polynomen mit dem Verhalten von Ableitungen der e-Funktion vergleichst.
[mm]\lim_{x\to\infty}x^{-1}\cdot \ln{x}=0[/mm]. Ähnliche Argumentation. Der Logarithmus haut zwar ins unendliche ab, aber so dermaßen langsam, dass der "Nullsog" von (1/x) einfach stärker ist.
Ich hoffe, dass Dir das ein Stück weiter hilft.
Liebe Grüße,
Markus-Hermann.
P.S.: In diesem Forum ist Dir bereits die Regel von de l'Hospital
erklärt worden. Sie ist nicht Schulstoff. Dennoch ist sie einfach
zu erlernen und sowohl zuverlässig als auch mächtig in der
Anwendung.
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Hi,
das mit dem Unendlichkeitsverhalten einer Funktion ist eigentlich völlig simpel und im Zweifelsfalle sogar völlig easy mit dem TR (für die, die mit dem Rechnen auf Kriegsfuß stehen) zu bestimmen.
Es gibt lediglich an, wie bei großen positiven bzw. negativen x-Werten (daher die Bezeichnung [mm] x->\infty [/mm] bzw. x-> [mm] -\infty) [/mm] die zugehörigen y-Werte (also die passenden f(x)-Werte, die Du durch Einsetzen der entsprechenden großen positiven oder negativen Werte für x in die Funktionsgleichung erhältst) ausfallen. Im Falle von ganz-rationalen Funktionen (Polynomen) ist das sehr simpel und auch einfach zu merken.
Bsp1: [mm] f(x)=x^1=x [/mm] für x = 1000 gilt also y=f(1000) = 1000 bzw. für x = - 1000 gilt y=f(-1000) = -1000
Das Grenzwertverhalten ist also:
Falls [mm] x->\infty [/mm] [/green] (hier beispielsweise x = 1000), dann ist folglich y = [mm] f(x)->\infty [/mm] (hier beispielsweise y = 1000).
Falls [mm] x->-\infty [/mm] (hier beispielsweise x = -1000), dann ist folglich y = [mm] f(x)->-\infty [/mm] (hier beispielsweise y = -1000).
Bsp2: [mm] f(x)=x^2 [/mm] für x = 1000 gilt also y=f(1000) = 1000000 bzw. für x = - 1000 gilt y=f(-1000) = 1000000
Das Grenzwertverhalten ist also:
Falls [mm] x->\infty [/mm] (hier beispielsweise x = 1000), dann ist folglich y = [mm] f(x)->\infty [/mm] (hier beispielsweise y = 1000000).
Falls [mm] x->-\infty [/mm] (hier beispielsweise x = -1000), dann ist folglich y = [mm] f(x)->\infty [/mm] (hier beispielsweise y = 1000000).
Es ist nicht schwer zu erkennen, dass dieses Verhalten vom Typ der Hochzahl abhängt. Bei ungeraden Exponenten verhält es sich stets wie bei Bsp1, bei geraden Exponenten stets wie bei Bsp2.
Besonders einfach zu merken ist das Grenzwertverhalten anhand zweier bekannter Graphen, nämlich genau denen der beiden Beispielfunktionen:
Bsp1: [Dateianhang nicht öffentlich]
Bsp2: [Dateianhang nicht öffentlich]
Was passiert bei Vorfaktoren (Koeffizienten)?
Bsp3: f(x) = [mm] 3x^2 [/mm] Der Faktor 3 bewirkt nur, dass die Werte von Bsp2 mit der Zahler 3 multiplizeirt werden, das Grenzwertverhalten ändert sich also nicht.
Bsp4: f(x) = 0,25 [mm] x^2 [/mm] Der Faktor 0,25 bewirkt nur, dass die Werte von Bsp2 mit der Zahler 0,25 multiplizeirt (also durch 4 geteilt) werden, das Grenzwertverhalten ändert sich also nicht.
Bsp5: f(x) = - [mm] x^2 [/mm] Das Vorzeichen - bewirkt jetzt, dass die Werte von Bsp2 mit der Zahler -1 multiplizeirt werden, das Grenzwertverhalten ändert sich also diesmal in der Tat. Die y-Werte enthalten ein geändertes Vorzeichen, es gilt daher nun:
[mm] f(x)=-x^2 [/mm] für x = 1000 gilt also y=f(1000) = -1000000 bzw. für x = - 1000 gilt y=f(-1000) = -1000000
Das Grenzwertverhalten ist also:
Falls [mm] x->\infty [/mm] (hier beispielsweise x = 1000), dann ist folglich y = [mm] f(x)->-\infty [/mm] (hier beispielsweise y = -1000000).
Falls [mm] x->-\infty [/mm] (hier beispielsweise x = -1000), dann ist folglich y = [mm] f(x)->-\infty [/mm] (hier beispielsweise y = -1000000).
MERKE: Nur bei negativen Koeffizienten muss man aufpassen, da sich hier die Vorzeichen gegenüber den Standardbeispielen ändern.
Auch hier die graphische Veranschaulichung:
Bsp f(x) = -x: [Dateianhang nicht öffentlich]
Bsp f(x) = [mm] -x^2:[/mm] [Dateianhang nicht öffentlich]
Was passiert bei aus den Standardbeispielen zusammengesetzten Funktionen (Polynomen)?
MERKE: Die höchste Potenz bestimmt, wo es lang geht. Da bei großen positiven bzw. negativen x-Werte hohe Potenzen stärker "zuschlagen" (man vergleich in Bsp 1 und Bsp 2 für x = 1000 ist y = 1000 bzw. y = 1000000).
Bsp6: f(x) = [mm] 2x^3-4x^2+8x-12 [/mm] hat das gleiche Unendlichkeitsverhalten wie y = [mm] 2x^3. [/mm] Der Faktor 2 spielt keine Rolle, also ist das Verhalten so wie bei y = [mm] x^3 [/mm] und wegen der ungeraden Hochzahl somit auch so wie bei Bsp 1.
Falls [mm] x->\infty, [/mm] dann ist folglich y = [mm] f(x)->\infty.
[/mm]
Falls [mm] x->-\infty, [/mm] dann ist folglich y = [mm] f(x)->-\infty.
[/mm]
Bsp7: f(x) = [mm] -3x^4+7x^3+5x^2-12x+10 [/mm] hat das gleiche Unendlichkeitsverhalten wie y = [mm] -3x^4. [/mm] Der Faktor -3 spielt eine Rolle, also ist das Verhalten umgekehrt zu dem von y = [mm] x^4 [/mm] und wegen der geraden Hochzahl somit auch umgekehrt zu Bsp 2.
Falls [mm] x->\infty, [/mm] dann ist folglich y = [mm] f(x)->-\infty.
[/mm]
Falls [mm] x->-\infty, [/mm] dann ist folglich y = [mm] f(x)->-\infty.
[/mm]
Bsp6 und Bsp 7 kannst Du natürlich auch lösen, indem Du wie ganz am Anfang z.B. x = 1000 und x = -1000 jeweils einsetzt und die y-Werte ausrechnest:
Für Bsp6 ergibt dies: f(1000) = 1996007988 und f(-1000) = -2004008012. Also:
Falls [mm] x->\infty, [/mm] dann ist folglich y = [mm] f(x)->\infty.
[/mm]
Falls [mm] x->-\infty, [/mm] dann ist folglich y = [mm] f(x)->-\infty.
[/mm]
Für Bsp7 ergibt dies: f(1000) = -2992995011990 und f(-1000) = -3006994987990. Also:
Falls [mm] x->\infty, [/mm] dann ist folglich y = [mm] f(x)->-\infty.
[/mm]
Falls [mm] x->-\infty, [/mm] dann ist folglich y = [mm] f(x)->-\infty.
[/mm]
Wenn Du diese Zahlenwerte (eigentlich ja nur die Vorzeichen) mit den Ergebnissen von oben vergleichst, siehst Du hoffentlich, dass ein wenig Nachdenken weniger umständlich und schneller sein kann, als stupides Eintippen in den TR.
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
Anhang Nr. 2 (Typ: png) [nicht öffentlich]
Anhang Nr. 3 (Typ: png) [nicht öffentlich]
Anhang Nr. 4 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:59 Di 31.07.2007 | | Autor: | Jakre |
@ MatheHoca: Und wofür benutze ich dann das ganze??
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:37 Di 31.07.2007 | | Autor: | Jakre |
Okay ich suche grade mal meine Sachen wo ich das aufgeschrieben habe dazu und schon mal Dankeschön an alle
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:18 Di 31.07.2007 | | Autor: | Jakre |
Meine Lehrerin hat das dazu geschrieben:
Verhalten im Unendlichen
lim f(x) = unendlich lim f(x)= - unendlich
x-> unendlich x-> - unendlich
Beispiel: f(x)= x²
lim x²= unendlich
x-> - unendlich
1.Fall: lim f(x)= unendlich
x-> unendlich
lim f(x)= unendlich
x-> - unendlich
2.Fall: lim f(x)= unendlich
x-> unendlich
lim f(x)= - unendlich
x-> - unendlich
3.Fall: lim f(x)= - unendlich
x-> unendlich
lim f(x)= unendlich
x-> - unendlich
4.Fall: lim f(x)= - unendlich
x-> unendlich
lim f(x)= - unendlich
x-> - unendlich
ich habe da überall unendlich hin geschrieben,weil ich das zeichen nicht darein machen konnte
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:38 Di 31.07.2007 | | Autor: | Kroni |
Hi,
guck dir mal diesen Link an.
Dort steht beschrieben, wie du Formeln in das Forum eingibst.
Die Sache mit dem [mm] f(x)=x^2 [/mm] habe ich soweit verstanden was das soll, aber was ist bei den anderen Fällen? Suchst du dafür ein Beispiel oder hast du dafür eines vorgegeben?!
LG
Kroni
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:49 Di 31.07.2007 | | Autor: | Jakre |
Okay danke schön
nee sie hatte uns nur das eine beispiel gegeben....
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:16 Di 31.07.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
> Meine Lehrerin hat das dazu geschrieben:
> Verhalten im Unendlichen
>
> lim f(x) = unendlich lim f(x)=
> - unendlich
> x-> unendlich x-> -
> unendlich
Sie hat aufgeschrieben , was bie Polynomen passieren kann, die gehen ALLE für grosse positive oder negative x gegen [mm] +\infty [/mm] oder [mm] -\infty-
[/mm]
1. Beispiel: f(x)= x²
> lim x²= unendlich
> x-> - unendlich
>
>
> 1.Fall: lim f(x)= unendlich
> x-> unendlich
>
> lim f(x)= unendlich
> x-> - unendlich
2. Beispiel [mm] f(x)=x^3 [/mm] oder [mm] f(x)=x^3-7x^2+6x
[/mm]
> 2.Fall: lim f(x)= unendlich
> x-> unendlich
>
> lim f(x)= - unendlich
> x-> - unendlich
3. Beispiel [mm] f(x)=-x^3 [/mm] oder [mm] f(x)=-x^3+2x^2 [/mm]
> 3.Fall: lim f(x)= - unendlich
> x-> unendlich
>
> lim f(x)= unendlich
> x-> - unendlich
4. Beispiel: [mm] f(x)=-x^4 [/mm] oder [mm] f(x)=-x^4+x^2+17
[/mm]
> 4.Fall: lim f(x)= - unendlich
> x-> unendlich
>
> lim f(x)= - unendlich
> x-> - unendlich
>
jetzt hast du für alle 4 Fälle Beispiele. Es kommt bei einem Polynom IMMER NUR auf das x mit dem höchsten Exponenten an, weil der für grosse x alle anderen überragt.
gerade höchste Exponenten also [mm] x^2 x^4, x^6 [/mm] gehen immer gegen [mm] +\infty [/mm] egal ob x neg oder pos ist.
entsprechend [mm] -x^2 ,-x^4 [/mm] usw immer gegen [mm] -\infty.
[/mm]
Für die ungeraden überlegst dus jetzt selbst!
Habt ihr wirklich nur Polynome diskutiert?
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:01 Mi 01.08.2007 | | Autor: | Kroni |
Hi,
die Grenzwertbetrachtung brauchst du normalerweise bei jeder Kurvendiskussion.
Spätestens, wenn du dann hinteher den Graphen skizzieren sollst ist es immer nützlich zu wissen, in welche Richtungen sich dein Graph für betragsmäßig große Zahlen bewegt.
Teilweise braucht man die Grenzwertbetrachtung auch für andere Sachen, die du aber erst später lernen wirst.
LG
Kroni
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:06 Mi 01.08.2007 | | Autor: | Jakre |
@ Kroni: Okay also brauche ich das nur um den Graphen dann später zeichnen zu können? Und sonst nciht?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:39 Mi 01.08.2007 | | Autor: | kochmn |
Hallo Jakre,
die sakramentale Schülerfrage: "Wozu brauch' ich den Müll?"
Ich will versuchen diese Frage zu beantworten:
Falls Du Dich später einmal entschließen solltest (und nur dann) einen Studiengang zu wählen und einen Lebensweg einzuschlagen auf
dem Du entweder
* Viel Statistik treibst
* Physikalische oder chemische Prozesse mathematisch beschreibst
* Grafiken designst deren Elemente über Ellipsen und Rechtecke
hinausgehen
wirst Du des öfteren in die Situation kommen, dass Du eine
Kurve modellieren willst.
Du weißt dann einige Dinge über die Kurve... etwa
- Wie steil ist sie an bestimmten Stellen,
- Welche Werte muss sie an bestimmten Stellen annehmen.
- Wie viele Wende- und Extrempunkte hat sie in etwa
- Und last, most certainly not least: Wie verhält sie
sich wenn Du auf der x-Achse besonders weit rausgehst.
Und dann schreibst Du
[mm]f(x)= ...[/mm] ja was eigentlich?
Und an dieser Stelle greifst Du auf Dein Wissen aus der Schule
zurück, welches Du Dir damals mit dem Lösen etwas langweiliger,
weltfremd anmutender Aufgaben angeeignet hast. Du wirst wissen
welche Grundfunktionen in Frage kommen, wenn gefordert ist,
dass [mm]lim_{x\to\infty} f(x)=c[/mm] und welche nicht.
Also habe Geduld mit der Schule! Niemand macht im Hauptberuf
Kurvendiskussion zum Selbstzweck. Aber viele viele Menschen
brauchen alle Handwerkszeuge die dafür erforderlich sind fast
täglich.
Liebe Grüße
Markus-Hermann.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:43 Mi 01.08.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
Beispiel, wo du es brauchst.
Polynom5. Grades [mm] f(x)=1,7x^5+3x^2+3,7x+199
[/mm]
Frage: hat das ding ne Nullstelle? Antwort: garantiert, denn es läuft von [mm] -\infty [/mm] bis [mm] +\infty, [/mm] muss also irgendwo die x-Achse mindestens einmal kreuzen.
2. Frage ich weiss die Fkt. hat sicher 2 Nullstellen, ist es möglich dass es die einzigen sind?
Antwort NEIN denn wenn sie von [mm] -\infty [/mm] kommt und genau 2 Nst. hat ginge sie wieder nach [mm] \-\infty, [/mm] also hat sie mindestens drei! oder sie hat in einer der 2 Nst. ein Maximum oder Minimum.
2. Bsp.
[mm] f(x)=x^4+..... [/mm] hat genau eine Nullstelle, bei der kein Minimum oder Max. liegt. geht das? Antwort nein, denn dann ginge sie nicht von [mm] +\infty [/mm] nach [mm] +\infty.
[/mm]
(Interessanter ist aber eigentlich erst das Verhalten von fkt. im Unendlichen, wenn es nicht nur Polynome sind. und dafür ist das eben ne vorbereitung innerhalb der Schule.
(das sind meist fkt. die als Quotient von 2 Polynomen bestehen, wie [mm] f(x)=\bruch{x^2+1}{x^4+1} [/mm] etwa.)
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:25 Do 02.08.2007 | | Autor: | Jakre |
Okay dankeschööön
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