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Forum "Stetigkeit" - Verhalten in Definitionslücke
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Verhalten in Definitionslücke: Hilfestellung Korrektur
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:36 Di 10.12.2013
Autor: gauschling

Aufgabe
Untersuchen sie das Verhalten in der Definitionslücke und untersuchen sie die Grenzwerte minus Unendlich/+Unendlich!

Funktion siehe Bild.

Ich habe die Aufgabe in keinem anderem Forum gefunden und gestellt.


Hallo ich stehe gerade auf dem Schlauch und bräuchte eine Hilfestellung, denn ich komme an einer Stelle bislang nicht weiter. ( Siehe Bild), Auf dem Bild ist die Rechnung  und die Aufgabe zusehen. Habe versucht den rechtsseitigen Grenzwert an der Definitionslücke zubestimmen. Jetzt zumindest weiß ich nicht was ich in der letzten Zeile machen soll, da ich noch zu viele "n" in der Gleichung habe. kann mir Jemand einen Tipp geben.
Danke im vorraus.
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: JPG) [nicht öffentlich]
        
Bezug
Verhalten in Definitionslücke: Keine Antwort?
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 21:06 Di 10.12.2013
Autor: gauschling

Kann mir denn niemand helfen ?
Bezug
                
Bezug
Verhalten in Definitionslücke: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 21:51 Di 10.12.2013
Autor: abakus


> Kann mir denn niemand helfen ?

Hallo,
du betreibst hier unnötigen Aufwand.
Der Betrag im Zähler ist für alle x ungleich [mm]\pm1[/mm] positiv, insbesondere auch in der näheren Umgebung von x=-2.
x-1 ist für alle x<1 (und damit auch in der Nähe von x=-2) negativ.
Der Faktor (x+2) im Nenner ist für x<-2 negativ und für x>-2 positiv.
Du hast damit links von der Polstelle -2 den Fall
[mm]\frac {(+)}{(-)*(-)}[/mm] und  rechts von der Polstelle -2 den Fall [mm]\frac {(+)}{(-)*(+)}[/mm].
Damit dürfte die Unterscheidung zwischen [mm]+\infty[/mm] und [mm]-\infty[/mm] hinreichend geklärt sein.
Gruß Abakus
 
Bezug
        
Bezug
Verhalten in Definitionslücke: 1x vorgerechnet
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:50 Di 10.12.2013
Autor: Loddar

Hallo gauschling!


[eek] Mir scheint, Du missachtest / vergewaltigst in Deiner "Rechnung" diverse Potenzgesetze / binomische Formeln sowie einfachste Regeln der Bruchrechnung.


Um hier den rechtsseitigen Grenzwert an der Stelle [mm]x_1 \ = \ -2[/mm] zu bestimmen, gilt es zu berechnen:

[mm]\limes_{n\rightarrow\infty}f\left(-2+\bruch{1}{n}\right)[/mm]

[mm]= \ \limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{\left|\left(-2+\bruch{1}{n}\right)^2-1\right|}{\left(-2+\bruch{1}{n}\right)^2+\left(-2+\bruch{1}{n}\right)-2}[/mm]

[lehrer] Um die Quadratklammern aufzulösen, musst Du selbstverständlich auch die binomischen Formeln beachten und nicht einfach nur summandenweise quadrieren.

[mm]= \ \limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{\left|(-2)^2+2*(-2)*\bruch{1}{n}+\left(\bruch{1}{n}\right)^2-1\right|}{(-2)^2+2*(-2)*\bruch{1}{n}+\left(\bruch{1}{n}\right)^2+\left(-2+\bruch{1}{n}\right)-2}[/mm]

[mm]= \ \limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{\left|4-\bruch{4}{n}+\bruch{1}{n^2}-1\right|}{4-\bruch{4}{n}+\bruch{1}{n^2}-2+\bruch{1}{n}-2}[/mm]

[lehrer] Zusammenfassen:

[mm]= \ \limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{\left|3-\bruch{4}{n}+\bruch{1}{n^2}\right|}{\bruch{1}{n^2}-\bruch{3}{n}}[/mm]

[lehrer] Für hinreichend große [mm]n\in\IN[/mm] gilt im Zähler [mm]3-\bruch{4}{n}+\bruch{1}{n^2} \ \ge \ 0[/mm] , so dass hier die Betragsstriche entfallen dürfen.

[mm]= \ \limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{3-\bruch{4}{n}+\bruch{1}{n^2}}{\bruch{1}{n^2}-\bruch{3}{n}}[/mm]

[lehrer] Nun diesen Doppelbruch mit [mm]n_[/mm] erweitern.
(Und nicht einfach termweise den Kehrwert nehmen.

Denn es gilt im Allgemeinen: [mm]\bruch{1}{\bruch{1}{a}+\bruch{1}{b}} \ \red{\not=} \ a+b[/mm] !)

[mm]= \ \limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{\left(3-\bruch{4}{n}+\bruch{1}{n^2}\right)*n}{\left(\bruch{1}{n^2}-\bruch{3}{n}\right)*n}[/mm]

[mm]= \ \limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{3*n-\bruch{4}{n}*n+\bruch{1}{n^2}*n}{\bruch{1}{n^2}*n-\bruch{3}{n}*n}[/mm]


[mm]= \ \limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{3*n-4+\bruch{1}{n}}{\bruch{1}{n}-3}[/mm]


[lehrer] Wie verhalten sich nun der Zähler und der Nenner für [mm]n\rightarrow\infty[/mm] ?

Was bedeutet das dann für den Gesamtgrenzwert?



Gruß
Loddar


PS: "in" einer Definitionslücke kann es kein Verhalten geben, nur "an" einer Definitionslücke.
Bezug
                
Bezug
Verhalten in Definitionslücke: Dankeschöön!
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 22:22 Di 10.12.2013
Autor: gauschling

Vielen vielen Dank Loddar,
ich habe bisher hier noch nie eine soo gute, verständliche und ausführliche Erklärung bekommen wie die deine!!
Ich finde es unglaublich toll dass du mir so ausführlich meine Fehler aufzeigst.
Echt vielen lieben Dank für die Mühe! Bevor ich auf deine Schlussfrage eingehe, muss ich mir das nochmal durch den Kopf gehen lassen, nicht dass ich wieder so einen Blödsinn poste. Denn die Fehler mit der binomischen Formel sind mir gerade ganz schön peinlich.


Bezug
        
Bezug
Verhalten in Definitionslücke: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 21:58 Di 10.12.2013
Autor: Al-Chwarizmi


> Untersuchen sie das Verhalten in der Definitionslücke

  
> Funktion siehe Bild.



Hallo gauschling,

ich würde mal sagen, dass die Funktion in ihren
Definitionslücken überhaupt kein Verhalten
zeigt, aus dem einfachen Grund, weil sie da ja eben
gar nicht definiert ist ...

Analog dazu gibt es über meine bisherigen Aktivitäten
auf dem Mond nichts zu berichten ...

LG ,   Al-Chw.


Bezug
        
Bezug
Verhalten in Definitionslücke: erst vereinfachen
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 22:23 Di 10.12.2013
Autor: Loddar

Hallo gauschling!


Für die weitere Berechnung ist es durchaus sinnbehaftet, die Betragsstriche aufzulösen und den Funktionsterm entscheidend zu vereinfachen.

Dafür wenden wir die Definition der Betragsfunktion an:

[mm]f(x) \ = \ \bruch{\left|x^2-1\right|}{(x-1)*(x+2)}[/mm]

[mm]f(x) \ = \ \begin{cases} \bruch{+\left(x^2-1\right)}{(x-1)*(x+2)}, & \textrm{für } |x| \ \ge \ 1 \\ \bruch{-\left(x^2-1\right)}{(x-1)*(x+2)}, & \textrm{für } |x| \ < \ 1 \end{cases}[/mm]

[mm]f(x) \ = \ \begin{cases} \bruch{+(x+1)*(x-1)}{(x-1)*(x+2)}, & \textrm{für } |x| \ \ge \ 1 \\ \bruch{-(x+1)*(x-1)}{(x-1)*(x+2)}, & \textrm{für } |x| \ < \ 1 \end{cases}[/mm]

[mm]f(x) \ = \ \begin{cases} \bruch{x+1}{x+2}, & \textrm{für } |x| \ \ge \ 1 \\ -\bruch{x+1}{x+2}, & \textrm{für } |x| \ < \ 1 \end{cases}[/mm]

Damit sollte das weitere Rechnen deutlich leichter fallen.
Bedenke aber, dass der Definitionsbereich weiterhin [mm]D_f \ = \ \IR\backslash\left\{-2;+1\right\}[/mm] lautet.


Gruß
Loddar
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