Verkettung < Klassen 8-10 < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:36 Sa 05.03.2005 | | Autor: | greg1810 |
morgen *wein*
ich habe keine ahnung von mathe....
ich weiß noch nicht einmal wo ich ansetzen soll.
habe hier zwei aufgaben:
c)
welchen grad hat die verkettung der ganzrationalen funktion f vom grad n mit der funktion g vom grad m?
f(x) = [mm] a_{n} [/mm] * [mm] x^{n} [/mm] + ... + [mm] a_{0}
[/mm]
g(x) = [mm] b_{m} [/mm] * [mm] x^{m} [/mm] + ... [mm] b_{0}
[/mm]
begründen sie ihre antwort.
toll habe keine ahnung was ich hier machen soll....
aufgabe d) untersuchen sie frage c) bezüglich der beiden speizialfälle
m > 1 und n=0
sowie
m = 1 und n > 1
habe wirklich keine ahnung und únd weiß einfach nichts in dieser richtung...
was soll ich denn dort machen?
kann mir jemand nen kleinen tipp geben?
vielen dank schon mal.
greg
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:26 Sa 05.03.2005 | | Autor: | Karl_Pech |
Hi,
Was genau ist denn mit "Verkettung" gemeint? [m]f\left(x\right) + g\left(x\right)[/m] oder doch eher im üblichen Sinne [m]f\left(g\left(x\right)\right) = \left(f \circ g\right)\left(x\right)[/m]?
Grüße
Karl
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:25 Sa 05.03.2005 | | Autor: | greg1810 |
es ist $ [mm] f\left(x\right) [/mm] + [mm] g\left(x\right) [/mm] $
das gemeint
|
|
|
| |
|
Hallo Greg,
Ich denke, daß die Aufgabe dann nicht so schwer ist:
Du hast also folgendes gegeben:
[m]\begin{gathered}
f\left( x \right): = a_n x^n + \ldots + a_0 x^0 \hfill \\
g\left( x \right): = b_m x^m + \ldots + b_0 x^0 \hfill \\
\end{gathered}[/m]
Dann würde ich sagen, lautet die Verkettung in deinem Sinne:
[m]f\left( x \right) + g\left( x \right) = a_n x^n + \ldots + a_0 x^0 + b_m x^m + \ldots + b_0 x^0[/m]
Und jetzt kommen wir zu deinen Bedingungen:
> Aufgabe d) untersuchen Sie Frage c) bezüglich der beiden
> Spezialfälle
>
> m > 1 und n = 0
Ok, für n = 0 gilt: [m]f\left( x \right): = a_0 x^0 = a_0[/m]
Und dann gilt für die Summe: [m]f\left( x \right) + g\left( x \right) = a_0 + b_m x^m + \ldots + b_0 x^0 = b_m x^m + \ldots + \underbrace {b_0 + a_0 }_k[/m]. Und dieses k ist wie [mm] $a_0$ [/mm] oder [mm] $b_0$ [/mm] bloß ein freies Restglied des "Summenpolynoms". Damit müßte der Grad des Summenpolynoms > 1 sein.
> sowie
>
> m = 1 und n > 1
Dann erhalten wir also folgendes:
[m]g\left( x \right): = b_1 x^1 + b_0 x^0 = b_1 x + b_0[/m]
und unsere Summe lautet dann:
[m]\begin{gathered}
f\left( x \right) + g\left( x \right) = a_n x^n + \ldots + a_0 x^0 + b_1 x + b_0 = a_n x^n + \ldots + a_1 x + b_1 x + \underbrace {a_0 + b_0 }_{k_1 } \hfill \\
= a_n x^n + \ldots + \underbrace {\left( {a_1 + b_1 } \right)}_{k_2 }x + \underbrace {a_0 + b_0 }_{k_1 } \hfill \\
\end{gathered}[/m]
[mm] $k_1$ [/mm] und [mm] $k_2$ [/mm] sind wieder nur Koeffizienten, womit der Grad des Summenpolynoms > 1 sein sollte.
Leider kann ich dir zur Aufgabe c) nicht mehr so viel sagen. Dort müßte man vermutlich mit Fallunterscheidungen arbeiten.
Viele Grüße
Karl
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:13 Sa 05.03.2005 | | Autor: | greg1810 |
danke schön
für deine hilfe
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:49 Sa 05.03.2005 | | Autor: | payon |
Ich hätte da eine Frage zu der Lösung.
Ist eine Verkettung von Funktionen nicht eigentlich
[mm]f(g(x)) [/mm] bzw. [mm]g(f(x)) [/mm] (In diesem Fall egal wier rum)?
Somit ist doch der maximale Grad der Verkettung n*n:
[mm] f(g(x) = ... + a_n(.... + b_nx^n)^n [/mm]
Und somit [mm] f(g(x) = ... + a_nb_n^nx^{n^{2}} [/mm]
Oder irre ich da?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:04 Sa 05.03.2005 | | Autor: | payon |
Hatte da einen kleinen Fehler bei mir gesehen. Natürlich ist der höxhste Grad der Verkettung n*m da ja nicht davon ausgegangen wird dass n=m.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:14 Sa 05.03.2005 | | Autor: | Sigrid |
Hallo greg
> morgen *wein*
> ich habe keine ahnung von mathe....
> ich weiß noch nicht einmal wo ich ansetzen soll.
>
> habe hier zwei aufgaben:
> c)
> welchen grad hat die verkettung der ganzrationalen
> funktion f vom grad n mit der funktion g vom grad m?
>
> f(x) = [mm]a_{n}[/mm] * [mm]x^{n}[/mm] + ... + [mm]a_{0}
[/mm]
> g(x) = [mm]b_{n}[/mm] * [mm]x^{m}[/mm] + ... + [mm]b_{0}
[/mm]
> begründen sie ihre antwort.
> toll habe keine ahnung was ich hier machen soll....
Wenn hier wirklich f(x)+g(x) gemeint ist, was eher unwahrscheinlich ist, dann ist die größere der beiden Zahlen m und n der Grad der Summenfunktion. Denn der größte Exponent, der vorkommt, bestimmt ja den Grad.
Wenn du aber nach der Verkettung fragst, dann ist das die Funktion
f(g(x)), d.h. du setzt bei der Funktion f für jedes x den Term g(x) ein. Dann kannst du dir überlegen, dass du den Grad aus dem Summanden
[mm]a_{n} \cdot (g(x))^{n} [/mm] = [mm]a_{n} \cdot (b_{m} \cdot x^{m} + ... +b_{0})^n [/mm]
ermitteln kannst. Die anderen Summanden haben mit Sicherheit keine größeren Exponenten.
Vielleicht kannst du dir jetzt selbst überlegen, wie der größte Exponent von x aussieht.
Ein konkretes Beispiel hilft dir dabei:
[mm] f(x) = x^3 + x [/mm] und [mm] g(x) = x^2 - 1[/mm].
Die Verkettung liefert dann
[mm] f(g(x)) = (x^2 - 1)^3 + (x^2 - 1) [/mm]
Das kannst du konkret ausrechnen und den Grad bestimmen. Das Ergebnis liefert dir auch schon eine Vermutung für den allgemeinen Fall
>
> aufgabe d) untersuchen sie frage c) bezüglich der beiden
> speizialfälle
>
> m > 1 und n=0
>
> sowie
>
> m = 1 und n > 1
>
> habe wirklich keine ahnung und únd weiß einfach nichts in
> dieser richtung...
>
Wenn du c) hast, musst du dir überlege,was das konkret für die Fälle bedeutet. Versuche es mal. Wenn's nicht klappt oder du deine Ergebnisse kontrolliert haben möchtest, melde dich.
> was soll ich denn dort machen?
> kann mir jemand nen kleinen tipp geben?
>
> vielen dank schon mal.
>
> greg
>
|
|
|
|
