Verkettung von Potenzreihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo liebes Forum,
ich komme seit mehr als einem Jahr immer wieder zu der Frage zurück,
wie man die Konvergenz einer Verkettung von Potenzreihen beweist. Die
Fragestellung ist z. B. in Aufgabe 66.5 in Harro Heusers Lehrbuch der Analysis Teil 1 beschrieben.
Kann mir jemand eine Beweisidee geben, wie ich diese Aufgabe lösen kann oder vielleicht eine Literaturstelle angeben, wo ich ihn selbst nachlesen kann?
Ich habe gelesen, dass man mit Cauchy-Produkten arbeiten soll, aber wie genau ist mir schleierhaft.
Vielen Dank im Voraus und einen schönen Abend,
Christoph
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Hiho,
> Die Fragestellung ist z. B. in Aufgabe 66.5 in Harro Heusers Lehrbuch der Analysis Teil 1 beschrieben.
Na "beschrieben" ist untertrieben. Dort steht ja auch, wie man es beweist.
> Kann mir jemand eine Beweisidee geben, wie ich diese
> Aufgabe lösen kann oder vielleicht eine Literaturstelle
> angeben, wo ich ihn selbst nachlesen kann?
Aufgabe 66.5 in Harro Heusers Lehrbuch der Analysis Teil 1
> Ich habe gelesen, dass man mit Cauchy-Produkten arbeiten soll, aber wie genau ist mir schleierhaft.
Es steht ja eigentlich alles da:
Sei $f(x) = [mm] \sum_{n=0}^\infty a_nx^n$ [/mm] und $F(y) = [mm] \sum_{k=0}^\infty b_ky^k$
[/mm]
Dann ist formal nach Einsetzen erstmal:
$F(f(x)) = [mm] \sum_{k=0}^\infty b_k\left(\sum_{n=0}^\infty a_nx^n\right)^k$
[/mm]
Wenn man das nun auf eine Potenzreihenform bringen will, sollte das am Ende eine Darstellung haben der Form:
$F(f(x)) = [mm] \sum_{k=0}^\infty c_k x^k$
[/mm]
Dazu betrachten wir mal obige enthaltene Ausdrücke der Form [mm] $\left(\sum_{n=0}^\infty a_nx^n\right)^k$
[/mm]
Der Hinweis beinhaltet ja bereits, dass die Anwendung der ![[]](/images/popup.gif) Cauchy-Produktformel zum Ziel führt.
Wie sehen denn nach Anwendung der Cauchy-Produktformel folgende Ausdrücke aus:
[mm] $\left(\sum_{n=0}^\infty a_nx^n\right)^2 [/mm] = [mm] \ldots$
[/mm]
[mm] $\left(\sum_{n=0}^\infty a_nx^n\right)^3 [/mm] = [mm] \ldots$
[/mm]
[mm] $\left(\sum_{n=0}^\infty a_nx^n\right)^4 [/mm] = [mm] \ldots$
[/mm]
.
.
.
[mm] $\left(\sum_{n=0}^\infty a_nx^n\right)^k [/mm] = [mm] \ldots$
[/mm]
Gruß,
Gono
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Hallo liebes Forum,
ein Jahr nachdem ich mich zum letzten mal mit der Frage zur Verkettung von Potenzreihen beschäftigt habe, ist mir gestern die Lösung mit Hilfe der Bemerkung von Gonozal_IX geglückt. Vielen Dank dafür!
Dafür stellt sich mir eine neue Frage, von der ich mir vorstelle, dass deren Antwort auf dem Verkettungssachverhalt aufbauen könnte.
Ich habe nun schon öfters gelesen, ich formuliere es mal etwas locker, dass unter gewissen Voraussetzungen auch die Umkehrfunktion einer durch eine Potenzreihe darstellbaren bijektiven Funktion eine Potenzreihenentwicklung besitzt. Ich würde dies gerne in "Satzform" selbst beweisen und niederschreiben. Kann mir jemand dazu einen Tipp geben, oder ein Schlagwort nennen, unter dem ich weitere Informationen finde?
Bisher hat meine Internetrecherche nämlich leider wenig ergeben...
Vielen Dank und einen schönen Tag,
Christoph
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:12 Do 26.11.2020 | | Autor: | statler |
Guten Abend,
um mal bei Gonozals Nomenklatur zu bleiben, ist jetzt F(f(x)) = id(x) = x. Das gibt erstmal viele schöne Gleichungen für die Koeffizienten der gesuchten Potenzreihe und auch Hinweise auf gewisse notwendige Bedingungen. Damit kann man jedenfalls im Ring der formalen Potenzreihen herumwerkeln. Was ist überhaupt dein Grundkörper? Da ein Polynom auch eine Potenzreihe ist, kannst du daran üben, Mathematik ist kein Zuschauersport.
Über Konvergenz und so muß man sich dann natürlich auch noch Gedanken machen.
Viel Spaß :)
Dieter
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:20 So 29.11.2020 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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