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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:07 Di 06.12.2011 | | Autor: | ella87 |
| Aufgabe | Es seien die Funktionen [mm]f: \IR \to \IR [/mm] mit [mm]f(x)=x^2[/mm] und [mm]g: \IR \to \IR [/mm] mit [mm]g(x)=(x-\bruch{1}{2})^2[/mm] gegeben.
X sein binomialverteilte Zufallsvariable mit Parametern [mm]1[/mm] und [mm]\bruch{1}{3}[/mm].
Bestimmen Sie die Verteilungen
(a)[mm]f \circ X [/mm]
(b)[mm]g \circ X [/mm] |
X binomialverteilte Zufallsvariable mit Parametern [mm]1[/mm] und [mm]\bruch{1}{3}[/mm] bedeutet:
[mm]P(X=x) = {1 \choose x} \bruch{1}{3}^x \bruch{2}{3}^{1-x}[/mm]
wobei für x doch gilt [mm] x \in \{0,1,2,...\}[/mm] oder?
dann hab ich bei (a):
[mm]f \circ X [/mm] = [mm] f (X(x ))[/mm] = [mm]\left( {1 \choose x} \bruch{1}{3}^x \bruch{2}{3}^{1-x} \right)^2[/mm] = [mm]\left( \bruch{1!}{x!(1-x)!}\bruch{1}{3}^x \bruch{2}{3}^{1-x} \right)^2[/mm]
aber jetzt ist [mm] \bruch{1!}{x!(1-x)!}[/mm] nur defniert für [mm]x \in \{0,1\}[/mm], weil ich für negative Zahlen doch keine Fakultäten berechnen kann, oder?
Muss ich dann nur die beiden Werte ausrechnen oder ist das alles falsch?
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Hallo ella87,
> Es seien die Funktionen [mm]f: \IR \to \IR[/mm] mit [mm]f(x)=x^2[/mm] und [mm]g: \IR \to \IR[/mm]
> mit [mm]g(x)=(x-\bruch{1}{2})^2[/mm] gegeben.
> X sein binomialverteilte Zufallsvariable mit Parametern [mm]1[/mm]
> und [mm]\bruch{1}{3}[/mm].
>
> Bestimmen Sie die Verteilungen
> (a)[mm]f \circ X[/mm]
> (b)[mm]g \circ X[/mm]
> X binomialverteilte
> Zufallsvariable mit Parametern [mm]1[/mm] und [mm]\bruch{1}{3}[/mm]
> bedeutet:
>
> [mm]P(X=x) = {1 \choose x} \bruch{1}{3}^x \bruch{2}{3}^{1-x}[/mm]
>
> wobei für x doch gilt [mm]x \in \{0,1,2,...\}[/mm] oder?
Sinnvollerweise betrachtet man hier nur [mm] \{0,1\} [/mm] als Wertebereich der Zufallsvariable X.
Für Zahlen [mm] z\in\IZ\backslash\{0,1\} [/mm] gibt es keine Möglichkeit, z Elemente aus einer einelementigen Menge auszuwählen. Man kann für solche z daher definieren
[mm] \binom{1}{z}:=0.
[/mm]
>
> dann hab ich bei (a):
>
> [mm]f \circ X[/mm] = [mm]f (X(x ))[/mm] = [mm]\left( {1 \choose x} \bruch{1}{3}^x \bruch{2}{3}^{1-x} \right)^2[/mm]
> = [mm]\left( \bruch{1!}{x!(1-x)!}\bruch{1}{3}^x \bruch{2}{3}^{1-x} \right)^2[/mm]
Warum setzt Du für X(x) eine Wahrscheinlichkeit ein? X nimmt doch nur die Werte 0 und 1 an (das sagt zum Beispiel aus, ob ein Münzwurf erfolgreich war, oder nicht).
Bei a) ist [mm] f(0)=0^2=0 [/mm] und [mm] f(1)=1^2=1. [/mm] Die Funktion [mm] $f\circ [/mm] X$ hat also die Werte 0 und 1. Nun ist nach der Verteilung von [mm] $f\circ [/mm] X$ gefragt.
Zu berechnen ist also [mm] $P(f\circ [/mm] X=0)$ und [mm] $P(f\circ [/mm] X=1)$.
LG
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:41 Di 06.12.2011 | | Autor: | ella87 |
danke, den ersten Teil habe ich glaub ich verstanden.
> Bei a) ist [mm]f(0)=0^2=0[/mm] und [mm]f(1)=1^2=1.[/mm] Die Funktion [mm]f\circ X[/mm]
> hat also die Werte 0 und 1. Nun ist nach der Verteilung von
> [mm]f\circ X[/mm] gefragt.
>
> Zu berechnen ist also [mm]P(f\circ X=0)[/mm] und [mm]P(f\circ X=1)[/mm].
Hierzu ist mir nicht ganz klar, wie ich das berechne, bzw. wie ich den Zusammenhang zur Binomialverteilung herstelle.
oder ist [mm]P(f\circ X=0)[/mm] das selbe wie [mm]P(X=0)[/mm]?
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> danke, den ersten Teil habe ich glaub ich verstanden.
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> > Bei a) ist [mm]f(0)=0^2=0[/mm] und [mm]f(1)=1^2=1.[/mm] Die Funktion [mm]f\circ X[/mm]
> > hat also die Werte 0 und 1. Nun ist nach der Verteilung von
> > [mm]f\circ X[/mm] gefragt.
> >
> > Zu berechnen ist also [mm]P(f\circ X=0)[/mm] und [mm]P(f\circ X=1)[/mm].
>
> Hierzu ist mir nicht ganz klar, wie ich das berechne, bzw.
> wie ich den Zusammenhang zur Binomialverteilung herstelle.
> oder ist [mm]P(f\circ X=0)[/mm] das selbe wie [mm]P(X=0)[/mm]?
Ja, hier ist das so, denn [mm] $f\circ [/mm] X$ ist genau dann Null, wenn auch $X$ Null ist.
>
LG
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:51 Di 06.12.2011 | | Autor: | ella87 |
dann bekomme ich aber bei der (b) ein Problem...
da hab ich ja dann
[mm]g(0)= \bruch{1}{4}[/mm] und auch [mm]g(1)= \bruch{1}{4}[/mm]
logisch wäre dann ja nur (zumindest nach meiner Logik...):
[mm]P(g \circ X =\bruch{1}{4} ) =1 [/mm]
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> dann bekomme ich aber bei der (b) ein Problem...
>
> da hab ich ja dann
> [mm]g(0)= \bruch{1}{4}[/mm] und auch [mm]g(1)= \bruch{1}{4}[/mm]
>
> logisch wäre dann ja nur (zumindest nach meiner
> Logik...):
>
> [mm]P(g \circ X =\bruch{1}{4} ) =1[/mm]
So ist es ![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]") !
LG
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:08 Di 06.12.2011 | | Autor: | ella87 |
danke! 
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