Verknüpfung von Ereignissen < Stochastik < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 00:01 So 09.04.2006 | | Autor: | BigApple |
| Aufgabe | A, B und C symbolisieren drei Ereignisse aus einem Ergebnisraum Omega. Drücken Sie folgende Aussagen mengenalgebraisch aus:
a) Alle drei Ereignisse treten ein.
b) Keines der drei Ereignisse tritt ein.
c) Genau eines der drei Ereignisse tritt ein.
d) Mindestens eines der drei Ereignisse tritt ein.
e) Höchstens eines der drei Ereignisse tritt ein.
f) Genau zwei der drei Ereignisse treten ein.
g) Mindestens zwei der drei Ereignisse treten ein.
h) Höchstens zwei der drei Ereignisse treten ein.
i) Nur die Ereignisse B und C treten ein.
k) Nur das Ereigniss C tritt ein. |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Ich muss diese Aufgabe nach den Ferien an der Tafel vorrechnen. Ich weiß, das sie eigentlich ganz leicht ist, aber irgendwie stell ich mich bei Mengenalgebra und Verknüpfung von Ereignissen blöd an. Es wär nett, wenn ihr mir helfen könntet.
a) A [mm] \cap [/mm] B [mm] \cap [/mm] C
b) [mm] \overline{A} \cap \overline{B} \cap \overline{C} [/mm] = [mm] \overline{A \cup B \cup C} [/mm] (darf ich das de Morgan Gesetz auch bei drei Ereignissen einsetzen?)
c) (A [mm] \cap \overline{B \cup C}) \cup [/mm] (B [mm] \cap \overline{A \cup C}) \cup [/mm]
(C [mm] \cap \overline{A \cup B})
[/mm]
d) A [mm] \cup [/mm] B [mm] \cup [/mm] C
e) ich komm nur auf [mm] \overline{A} \cup \overline{B} \cup \overline{C} [/mm] aber das stimmt doch nicht, oder?
f) (A [mm] \cap [/mm] B [mm] \cap \overline{C}) \cup [/mm] (B [mm] \cap [/mm] C [mm] \cap \overline{A}) \cup [/mm]
(A [mm] \cap [/mm] C [mm] \cap \overline{B})
[/mm]
g) da hab ich keine Ahnung
h) ist das richtig???: ist nämlich das selbe wie e), aber e) ist meiner meinung nach falsch: [mm] \overline{A \cap B \cap C} [/mm] = [mm] \overline{A} \cup \overline{B} \cup \overline{C} [/mm] (darf ich das de morgan gesetz anwenden?)
i) B [mm] \cap [/mm] C [mm] \cap \overline{A}
[/mm]
j) C [mm] \cap \overline{A} \cap \overline{B}
[/mm]
Vielen Dank im Voraus!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:22 So 09.04.2006 | | Autor: | DaMenge |
Hallo und ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") ,
> a) A [mm]\cap[/mm] B [mm]\cap[/mm] C
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> b) [mm]\overline{A} \cap \overline{B} \cap \overline{C}[/mm] =
> [mm]\overline{A \cup B \cup C}[/mm] (darf ich das de Morgan Gesetz
> auch bei drei Ereignissen einsetzen?)
die linke Seite ist ok, aber ob dir rechte Seite so gewollt ist, kann ich nicht wirklich sagen - negationen über Vereinigungen sollte man grundsätzlich eher meiden, denke ich.
(in der W.theorie)
> c) (A [mm]\cap \overline{B \cup C}) \cup[/mm] (B [mm]\cap \overline{A \cup C}) \cup[/mm]
> (C [mm]\cap \overline{A \cup B})[/mm]
siehe oben, schöner fände ich:
[mm] $(A\cap \overline{B}\cap \overline{C})\cup (\overline{A}\cap B\cap \overline{C})\cup (\overline{A}\cap \overline{B}\cap [/mm] C)$
> d) A [mm]\cup[/mm] B [mm]\cup[/mm] C
, aber dies ist auch gleichzeitig das negierte von b) !
> e) ich komm nur auf [mm]\overline{A} \cup \overline{B} \cup \overline{C}[/mm]
> aber das stimmt doch nicht, oder?
nee, aber dies ist doch die Vereinigung aus b) und c)
>
> f) (A [mm]\cap[/mm] B [mm]\cap \overline{C}) \cup[/mm] (B [mm]\cap[/mm] C [mm]\cap \overline{A}) \cup[/mm]
> (A [mm]\cap[/mm] C [mm]\cap \overline{B})[/mm]
, aber auch das Gegenteil von e)
>
> g) da hab ich keine Ahnung
Vereinigung aus f) und a)
oder
Negierung von e)
>
> h) ist das richtig???: ist nämlich das selbe wie e), aber
> e) ist meiner meinung nach falsch: [mm]\overline{A \cap B \cap C}[/mm]
> = [mm]\overline{A} \cup \overline{B} \cup \overline{C}[/mm]
> (darf ich das de morgan gesetz anwenden?)
Vereinigung von b) , c) und f)
oder einfacher wie du es richtig vorgeschlagen hast:
Negierung von a)
(ob man die Umformung machen darf, kann ich allerdings nicht sagen :( )
>
> i) B [mm]\cap[/mm] C [mm]\cap \overline{A}[/mm]
>
> j) C [mm]\cap \overline{A} \cap \overline{B}[/mm]
meine Aussagen zu den Umformungen sind mit Vorsicht zu genießen, denn all dies habe ich das letzte mal in der Schule gemacht^^
viele Grüße
DaMenge
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:26 So 09.04.2006 | | Autor: | BigApple |
Danke schön Da Menge! Dann hab ich ja doch nicht alles falsch.
aber geht e) und g) nicht noch irgendwie kürzer, mein lehrer besteht immer auf die kürzeste Lösung bei Verknüpfungen.
Zu den de Morgan Gesetzen:
Wir haben gelernt, dass man [mm] \overline{A} \cap \overline{B} [/mm] immer als [mm] \overline{A \cup B } [/mm] schreiben muss und [mm] \overline{A} \cup \overline{B} [/mm] immer als [mm] \overline{A \cap B }. [/mm] Ich weiß nur nicht, ob das auch bei drei zu verknüpfenden Ereignissen genauso gilt. Weiß das jemand?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 08:34 Do 13.04.2006 | | Autor: | Sigrid |
Hallo BigApple,
> Danke schön Da Menge! Dann hab ich ja doch nicht alles
> falsch.
> aber geht e) und g) nicht noch irgendwie kürzer, mein
> lehrer besteht immer auf die kürzeste Lösung bei
> Verknüpfungen.
e) Höchstens eines der drei Ereignisse tritt ein.
Eine kürzere Lösung als die von DaMenge sehe ich nicht.
g) Mindestens zwei der drei Ereignisse treten ein.
Auch hier sehe ich nur die von DaMenge angegebenen Möglichkeiten.
> Zu den de Morgan Gesetzen:
> Wir haben gelernt, dass man [mm]\overline{A} \cap \overline{B}[/mm]
> immer als [mm]\overline{A \cup B }[/mm] schreiben muss und
> [mm]\overline{A} \cup \overline{B}[/mm] immer als [mm]\overline{A \cap B }.[/mm]
> Ich weiß nur nicht, ob das auch bei drei zu verknüpfenden
> Ereignissen genauso gilt. Weiß das jemand?
Das kannst du auch bei drei und mehr Ereignissen machen.
Gruß
Sigrid
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:36 Do 13.04.2006 | | Autor: | BigApple |
Danke, Sigrid und Da Menge, ihr habt mir sehr geholfen.
Liebe Grüße,
Big Apple
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