Verknüpfung von Potenzmengen < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 19:00 Sa 29.10.2005 | | Autor: | nukthem |
Hallo!
Ich soll folgendes zeigen oder widerlegen:
[mm]2^{A \cup B} = 2^A \cup 2^B[/mm]
Dazu muss man nach der definition der Gleichheit für Mengen zeigen dass:
[mm](1) \quad 2^{A \cup B} \subseteq 2^A \cup 2^B[/mm]
[mm](2) \quad 2^A \cup 2^B \subseteq 2^{A \cup B}[/mm]
Es ist mir bereits gelungen (2) zu beweisen.
Allerdings habe ich dann an einem einfachen Beispiel gesehen, dass (1) falsch ist.
Nun möchte ich wissen wie man (1) "beweistechnisch" korrekt widerlegt. Denn ich gehe mal davon aus, dass es nicht elegant ist einfach dieses konkrete Gegenbeispiel hinzuschreiben.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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> Hallo!
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> Ich soll folgendes zeigen oder widerlegen:
> [mm]2^{A \cup B} = 2^A \cup 2^B[/mm]
Hallo,
unter [mm] 2^A [/mm] kann ich mir nichts vorstellen. 2 hoch 'ne Menge?
WIE soll das definiert sein?
Das müßtest Du nochmal genauer erklären...
>
> Dazu muss man nach der definition der Gleichheit für Mengen
> zeigen dass:
> [mm](1) \quad 2^{A \cup B} \subseteq 2^A \cup 2^B[/mm]
> [mm](2) \quad 2^A \cup 2^B \subseteq 2^{A \cup B}[/mm]
>
> Es ist mir bereits gelungen (2) zu beweisen.
> Allerdings habe ich dann an einem einfachen Beispiel
> gesehen, dass (1) falsch ist.
> Nun möchte ich wissen wie man (1) "beweistechnisch"
> korrekt widerlegt. Denn ich gehe mal davon aus, dass es
> nicht elegant ist einfach dieses konkrete Gegenbeispiel
> hinzuschreiben.
Doch! Haargenau dies ist die Methode der Wahl. Schreib' Dein Gegenbeispiel auf, und Du bist fertig. Es ist das Eleganteste und Überzeugendste, was man sich vorstellen kann!!!
Gruß v. Angela
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> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:55 Sa 29.10.2005 | | Autor: | nukthem |
Hmm. Ich wusste nicht, dass "2 hoch" nicht klar ist.
[mm]2^M[/mm] soll die Potenzmenge von M sein.
Steht ja eigentlich auch im Diskussionsthema. 
Natürlich ist mir klar, dass ein Gegenbeispiel viel überzeugender als eine abstrakte Formel ist. Aber kann mir vielleicht trozdem jemand eine formale Lösung für (1) nennen?
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> Hmm. Ich wusste nicht, dass "2 hoch" nicht klar ist.
> [mm]2^M[/mm] soll die Potenzmenge von M sein.
> Steht ja eigentlich auch im Diskussionsthema.
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> Natürlich ist mir klar, dass ein Gegenbeispiel viel
> überzeugender als eine abstrakte Formel ist. Aber kann mir
> vielleicht trozdem jemand eine formale Lösung für (1)
> nennen?
Sei P(M) die Potenzmenge von M
Angenommen, es wäre P(A [mm] \cup [/mm] B)=P(A) [mm] \cup [/mm] P(B).
Seien A, B elementfremd.
Es ist A [mm] \cup [/mm] B [mm] \in [/mm] P(A [mm] \cup [/mm] B).
Aus der Annahme folgt (A [mm] \cup [/mm] B) [mm] \in [/mm] P(A) [mm] \cup [/mm] P(B)
==>(A [mm] \cup [/mm] B) [mm] \in [/mm] P(A) oder (A [mm] \cup [/mm] B) [mm] \in [/mm] P(B)
==> (A [mm] \cup [/mm] B) [mm] \subseteq [/mm] A oder (A [mm] \cup [/mm] B) [mm] \subseteq [/mm] B
==> B [mm] \subseteq [/mm] A oder A [mm] \subseteq [/mm] B. Widerspruch zu A, B elementfremd.
ABER ich sage es nochmal: dies hier ist um keinen Deut besser als ein Gegenbeispiel.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 01:09 So 30.10.2005 | | Autor: | nukthem |
> Sei P(M) die Potenzmenge von M
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> Angenommen, es wäre P(A [mm]\cup[/mm] B)=P(A) [mm]\cup[/mm] P(B).
>
> Seien A, B elementfremd.
> Es ist A [mm]\cup[/mm] B [mm]\in[/mm] P(A [mm]\cup[/mm] B).
> Aus der Annahme folgt (A [mm]\cup[/mm] B) [mm]\in[/mm] P(A) [mm]\cup[/mm] P(B)
> ==>(A [mm]\cup[/mm] B) [mm]\in[/mm] P(A) oder (A [mm]\cup[/mm] B) [mm]\in[/mm] P(B)
> ==> (A [mm]\cup[/mm] B) [mm]\subseteq[/mm] A oder (A [mm]\cup[/mm] B) [mm]\subseteq[/mm]
> B
> ==> B [mm]\subseteq[/mm] A oder A [mm]\subseteq[/mm] B. Widerspruch zu A,
> B elementfremd.
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> ABER ich sage es nochmal: dies hier ist um keinen Deut
> besser als ein Gegenbeispiel.
>
> Gruß v. Angela
Vielen Dank für die schnelle Hilfe. 
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