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| Aufgabe | Sei A eine quadratische, symmetrische Matrix mit reellen Einträgen.
Wahr oder falsch?
(a) Eine solche Matrix ist immer über den reellen Zahlen diagonalisierbar.
(b) Eine solche Matrix kann nur reelle Eigenwerte haben.
(c) Eine solche Matrix hat stets n verschiedene Eigenwerte.
(d) Ist eine solche Matrix positiv definit, so ist sie ähnlich zur Einheitsmatrix.
(e) Ist eine solche Matrix positiv definit, so ist sie kongruent zur Einheitsmatrix. |
Hallo,
bei diesen Wiederholungsfragen zur Linearen Algebra bitte ich euch um Mithilfe.
Meine Überlegungen:
(a) ist WAHR.
(b) ist WAHR.
(c) ist FALSCH. Die (n x n)-Einheitsmatrix besitzt den n-fachen Einheitswert 1.
(d) / (e) leider keine Ideen.
Sind meine Überlegungen richtig und könnte mir bitte jemand bei (d) und (e) weiterhelfen?
Vielen Dank!
Gruß
Jens
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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> Sei A eine quadratische, symmetrische Matrix mit reellen
> Einträgen.
> Wahr oder falsch?
>
> (a) Eine solche Matrix ist immer über den reellen Zahlen
> diagonalisierbar.
> (b) Eine solche Matrix kann nur reelle Eigenwerte haben.
> (c) Eine solche Matrix hat stets n verschiedene
> Eigenwerte.
> (d) Ist eine solche Matrix positiv definit, so ist sie
> ähnlich zur Einheitsmatrix.
> (e) Ist eine solche Matrix positiv definit, so ist sie
> kongruent zur Einheitsmatrix.
> Hallo,
>
> bei diesen Wiederholungsfragen zur Linearen Algebra bitte
> ich euch um Mithilfe.
>
> Meine Überlegungen:
> (a) ist WAHR.![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> (b) ist WAHR.
> (c) ist FALSCH. Die (n x n)-Einheitsmatrix besitzt den
> n-fachen Einheitswert 1.
> (d) / (e) leider keine Ideen.
>
> Sind meine Überlegungen richtig und könnte mir bitte
> jemand bei (d) und (e) weiterhelfen?
> Vielen Dank!
Das zielt ja darauf ab, ob du die Definitionen von ähnlich und kongruent kennst. Wie lauten sie?
zur Kongurenz
Du kennst bestimmt den Trägheitssatz von Sylvester?!
zur Ähnlichkeit:
Ähnliche Matrizen haben
- gleiche Eigenwerte
- gleichen Rang
- gleiche Spur
(- gleiche Jordansche Normalform)
- gleiche charakteristische Polynom
(- gleiche Minimalpolynom)
- gleiche Determinante
Und sind nun alle rellen, symmetrischen Matrizen ähnlich zur Einheitsmatrix?
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> Gruß
> Jens
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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Danke für die Hinweise:
Zu d):
FALSCH, Gegenbeispiel:
A = [mm] \pmat{ 2 & 1 \\ 1 & 2 } [/mm] ist quadratisch, symmetrisch, reell und besitzt nur positive Eigenwerte (nämlich 3 und 1) [mm] \Rightarrow [/mm] A ist positiv definit. Die (2 x 2)-Einheitsmatrix E besitzt den doppelten Eigenwert 1. Da ähnliche Matrizen die selben Eigenwerte besitzen, sind A und E nicht ähnlich. Korrekt?
Zu e):
Laut Definition gilt: Zwei Matrizen A und B sind kongruent, wenn es eine invertierbare Matrix P gibt, mit B = [mm] P^{T}AP. [/mm] Leider weiß ich immer noch weiter und kann den Trägheitssatz derzeit nicht auf dieses Problem anwenden ;-(.
Vielen Dank an euch alle!
P.S. Warum gab es bei (b) keinen erhobenen Daumen?
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Lass mal deine symmetrische, relle Matrix nicht positiv definit sein, z.B. mal negativ definit. Kann diese dann kongruent zur Einheitsmatrix sein?
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Ich habe noch einmal nachgeschaut und herausgefunden, dass für symmetrische und hermitesche Matrizen Ähnlichkeit und Kongruenz zusammenfallen. Daher müsste (e) auch FALSCH sein. Stimmt's?
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Ich kann nicht in dein Hefter schauen, aber probier mal die positiv definite symmetrische relle Matrix A=Einheitmatrix. Und die Einheitsmatrix ist zur Einheitsmatrix kongruent!!
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Du musst auch nicht in meinen Hefter hineinschauen  .
Mir geht langsam ein wenig der Überblick verloren, deswegen hier ein paar konkrete Fragen:
1. Stimmt es, dass für symmetrische/hermitesche Matrizen Ähnlichkeit und Kongruenz zusammenfallen oder habe ich eine Voraussetzung vergessen?
2. Ist (e) nun FALSCH - wie ich vermute - oder irre ich mich?
3. Ist (b) nun WAHR und (d) FALSCH - eine fachliche Bestätigung fehlt mir da noch?
Danke für deine Geduld!
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> Du musst auch nicht in meinen Hefter hineinschauen .
> Mir geht langsam ein wenig der Überblick verloren,
> deswegen hier ein paar konkrete Fragen:
>
> 1. Stimmt es, dass für symmetrische/hermitesche Matrizen
> Ähnlichkeit und Kongruenz zusammenfallen oder habe ich
> eine Voraussetzung vergessen?
> 2. Ist (e) nun FALSCH - wie ich vermute - oder irre ich
> mich?
b) ist richtig. Das ist eben das tolle bei symmetrischen rellen Matrizen.
> 3. Ist (b) nun WAHR und (d) FALSCH - eine fachliche
> Bestätigung fehlt mir da noch?
e) sollte auch richtig sein.
Positiv definite symmtrische Matrizen sind nachd em Trägheitssatz von Sylvester kongruent zu einer Diagonalmatrix mit positiven rellen Einträgen auf der Hauptdiagonalen. Man kann es auch hinbekommen, dass dort die Einheitsmatrix steht.
>
> Danke für deine Geduld!
>
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Was ist denn falsch an meinem Gegenbeispiel zu d) ?
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Sorry hab mich vertippt. Sollte kein d sondern ein e sein.
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Danke, wieschoo, für deine Hilfe!
Kann ein anderer Forumsuser noch einmal bestätigen, dass (d) FALSCH und (e) WAHR ist?
Warum gilt nicht, dass für symmetrische und hermitesche Matrizen Ähnlichkeit und Kongruenz zusammenfallen? Habe ich da eine Voraussetzung unterschlagen?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:23 Mi 15.12.2010 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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