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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:19 So 06.02.2005 | | Autor: | Robertus |
Ich suche eine Formel, mit der ich folgende Berechnugn ausführen kann:
Gegeben sind: Anfangskapital, Zinssatz, restl.Lebenserwartung - Wieviel darf man monatlich entnehmen, damit am Ende der restl. Lebenserwartung das Restkapital = 0 ?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:21 So 06.02.2005 | | Autor: | Max |
Es sei [mm] $K_0$ [/mm] das Anfangskapital, $N$ die Lebenserwartung, $q$ der monatliche Zinsfaktor. Nennen wir $a$ die monatliche Entnahme, die gefunden werden soll. [mm] $K_n$ [/mm] ist jeweils das Restkapital am Ende des $n$-ten Monates.
0. Monat: [mm] $K_0=K_0$
[/mm]
1. Monat: [mm] $K_1=(K_0-a)q=K_0q-aq$
[/mm]
2. Monat: [mm] $K_2=(K_0q-aq-a)q=K_0q^2-aq-aq^2$
[/mm]
3. Monat: [mm] $K_3=(K_0q^2-aq-aq^2)q=K_0q^3-aq-aq^2-aq^3$
[/mm]
n. Monat: [mm] $K_n=K_0q^n-aq-aq^2-aq^3-\cdots [/mm] - [mm] aq^n=K_0q^n-a\sum_{k=1}^{n}q^k$
[/mm]
Für die geometrische Reihe gilt [mm] $\sum_{k=0}^{n}q^k=\frac{1-q^{n+1}}{1-q}$. [/mm] Also kann man [mm] $K_n$ [/mm] vereinfachen:
[mm] $K_n=K_0q^n-a\cdot \left( \frac{1-q^{n+1}}{1-q}-1\right)$
[/mm]
Es soll gelten [mm] $K_N=0$, [/mm] dass führt zu einer Gleichung nach $a$:
[mm] $a=\frac{K_0q^n}{\left( \frac{1-q^{n+1}}{1-q}-1\right)}$
[/mm]
Zahlen einsetzen, fertig.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:51 Di 08.02.2005 | | Autor: | spring |
Hallo, die Frage beschäftigt mich auch z.Zt. und die Erklärung war wirklich prima. Allerdings bin ich offenbar zu blöd, hierzu selber ein Beispiel zu rechnen. Meine Ausgangsdaten: Anfangskapital K0=100000, Lebenserwartung N=25, monatlicher Zinsfaktor =0,005. Achtung, ich glaube mein Problem liegt bei der Berechnung des monatlichen Zinsfaktors: Bin von einer Jahresverzinsung von 6% ausgegangen, daraus ergibt sich bei mir 0,06/12=0,005 als monatlicher Zinsfaktor. Stimmt das? Und wenn das stimmen sollte, wieso erhalte ich völlig abstruse Zahlen als Lösung? Danke im voraus, Spring
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:14 Di 08.02.2005 | | Autor: | Bastiane |
Hallo spring! (Wollen wir mal hoffen, dass er bald kommt, der Frühling  )
> Hallo, die Frage beschäftigt mich auch z.Zt. und die
> Erklärung war wirklich prima. Allerdings bin ich offenbar
> zu blöd, hierzu selber ein Beispiel zu rechnen. Meine
> Ausgangsdaten: Anfangskapital K0=100000, Lebenserwartung
> N=25, monatlicher Zinsfaktor =0,005. Achtung, ich glaube
> mein Problem liegt bei der Berechnung des monatlichen
> Zinsfaktors: Bin von einer Jahresverzinsung von 6%
> ausgegangen, daraus ergibt sich bei mir 0,06/12=0,005 als
> monatlicher Zinsfaktor. Stimmt das? Und wenn das stimmen
> sollte, wieso erhalte ich völlig abstruse Zahlen als
> Lösung? Danke im voraus, Spring
Bei der Berechnung des monatlichen Zinsfaktors kann ich dir leider nicht weiterhelfen - war denn wenigstens die Jahresverzinsung von 6% gegeben?
Jedenfalls kann ich dir glaube ich sagen, warum du kein gescheites Ergebnis rausbekommst: wenn ich in meinen Taschenrechner [mm] 1-0,005^{26} [/mm] eingebe, gibt er mir 1 raus, dabei ist [mm] 0,005^{26} \not=0. [/mm] Das liegt wohl an der Rechenungenauigkeit des Taschenrechners. Leider funktioniert meine Speichertaste nicht - ich muss mir dringend einen neuen Taschenrechner zulegen... - ansonsten könnte man erst [mm] 0,005^{26} [/mm] rechnen, da gibt meiner noch etwas [mm] \not=0 [/mm] raus, dann speichern, und dann "1 minus das Gespeicherte" rechnen. Aber ob er dann etwas anderes als 1 ausgibt, weiß ich auch nicht. Eine andere Idee, wie man hier die Rechenungenauigkeit überlisten könnte, habe ich im Moment leider nicht. :-(
Viele Grüße
Bastiane
![[cap]](/images/smileys/cap.gif "[cap]")
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:28 Di 08.02.2005 | | Autor: | Max |
Hi,
dein Fehler liegt darin, dass du $p$ und $q$ verwechselst.
Wenn man [mm] $6\%$ [/mm] Jahreszinsen bekommt, hat man tatsächlich [mm] $p=0,005\%=0,00005$ [/mm] monatlich. Allerdings gilt für $q$:
$q=1+p=1+0,00005=1,00005$.
Sonst würde es sich ja nicht lohnen das Geld zur Bank zu bringen
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:11 Fr 11.02.2005 | | Autor: | spring |
Hallo,
in meiner Mitteilung hatte ich bereits mein Ergebnis auf Basis eines konkreten Beispiels angegeben. Habe nochmal darüber nachgedacht und mir ist aufgefallen, dass der monatliche Wert von 335,83 EUR zu niedrig sein muss, da dieser über 25 Jahre zu einem Wert von insgesamt 100.749 EUR an Auszahlungen führt. Bei einem Anfangskapital von K0=100000 dürfte das ja wohl nicht stimmen, da sich das Kapital zwischenzeitlich (wenn auch mit abnehmenden Raten) verzinst. Um die Sache nun endgültig abzuschließen, wäre es sehr hilfreich, mal eine konkrete Berechnung zu erhalten, die man dann nachvollziehen kann. Als Ausgangsdaten schlage ich wie oben K0=100.000, Lebenserwartung 25 Jahre und Verzinsung 6% p.A vor. Vielen Dank im voraus, Spring
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:31 Fr 11.02.2005 | | Autor: | Josef |
Hallo spring,
Ich verstehe die Aufgabe wie folgt:
Anfangskapital = 100.000 und wird zu 6 % verzinst.
Monatlich sollen über 25 Jahre vorschüssige Raten gezahlt werden.
Wie hoch ist die monatliche Rate?
[mm] 100.000*1,06^{25}*[/mm] [mm]\bruch{1,06-1}{1,06^{25}-1}[/mm] = 7.822,67
Das Ergebnis ist die jährliche Rate.
Die monatliche Rate berechnet sich hieraus wie folgt:
[mm]\bruch{7.822,67}{12+\bruch{0,06}{2}*(12-1)}[/mm] = 634,44
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