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Hallo zusammen!
Mal wieder sitzt der Ich vor den Matheaufgaben - diesmal war der Mathelehrer so frei mit einem grinsenden Seitenblick zu sagen, dass doch die "Aufgabe 15 nur von ein paar Menschen gelöst werden kann" - und wen guckt er dabei so freundlich an? Klar, oder? Na gut dann - den Bonus, den man hat, will man sich ja nicht unbedingt verspielen. Ein großer Teil der Aufgabe sind Dinge, die wir nie vorher gemacht haben. Ich denke, ich gehe die Aufgaben einfach durch?
Also los.
15.a) Bestimmen Sie die Koeffizienten einer ganz-rationalen Funktion dritten Gerades so, dass der Graph durch den Koordinatenursprung geht und im Wendepunkt [mm](k|k-\bruch{1}{3}k^3)[/mm] die Steigung 1 hat (für [mm]k\not=0[/mm]).
Klar - kein Problem. Da Bastiane (btw: :wink:) beim letzen Mal gemeint hatte, dass der Begriff "Waagpunkt" (= Nullstellen der ersten Ableitung -> "graphisch" hat der Graph an der Stelle halt eine waagerechte Tangente) nicht allgemein gebräuchlich wäre bin ich mir unsicher, ob denn "Wendepunkt" bekannt/standardkonform ist? Gemeint ist die Nullstelle der zweiten Ableitung - die Krümmung des Graphen ändert sich halt. Wie auch immer, die Lösung dieser Aufgabe ist kein Problem gewesen: [mm]f_{k}(x)=-\bruch{1}{3}x^{3}+kx^2+(1-k^2)x[/mm] - denke, dass ihr eure Zeit hier nicht hereinzustecken braucht.
b) Bestimmen Sie die Koordinaten der Hochpunkte der Kurven [mm]G_k[/mm] (der Graph der obengenannten Funktion ist gemeint). Ermitteln Sie die Gleichung der Ortskurve dieser Hochpunkte. Prüfen Sie, ob es einen Wert [mm]k[/mm] gibt, für den [mm]G_k[/mm] mit dieser Ortskurve zusammenfällt.
Auch nicht tragisch. [mm](1+k|-\bruch{5}{3}k^3+k^2+k-1)[/mm] sollten die Hochpunkte sein, [mm]-\bruch{1}{3}x^3+x^2[/mm] die entsprechende Ortskurve. [mm]G_k[/mm] fällt also für [mm]k=1[/mm] mit [mm]G_{k}[/mm] zusammen.
c)Bestimmen Sie nun die Gleichung für diejenige Kurvenschar, welche aus der in a) ermittelten (also: [mm]f_{k}(x)=-\bruch{1}{3}x^{3}+kx^2+(1-k^2)x[/mm])hervorgeht, wenn man die Kurven parallel zu den Koordinatenachsen so verschiebt, dass der Wengepunkt stets im Ursprung liegt.
Öhm - ja. Hier bin ich mir nicht mal sicher, die Frage richtig zu verstehen, jedenfalls sehe ich mich kaum in der Lage, das zu lösen. Hier wäre mir ein Wink mit dem ganzen Zaun sehr lieb. Daran schließt sich noch eine weitere problematische Frage an:
d) Welche Besonderheit zeigt die erhaltene Kurvengleichum im Vergleich mit der Gleichung aus a)? Welche geometrische Verwantschaft besteht demnach zwischen allen Kurven [mm]G_k[/mm]?
Naja - wenn ich die Lösung der Frage davor nicht habe kann ich kaum auf Besonderheiten eingehen, oder? Irgendwie deprimierend - nur komme ich selbst wirklich nicht weiter.
Letzte Teilaufgabe zu 15. ist dann, denn Graphen ("möglichst genau" - phh, gehts auch möglichst ungenau?!) zu zeichnen - aber das ist ja nun wieder gar nicht tragisch.
Würde mich wirklich freuen, wenn ihr mir zu c) und d) weiterhelfen könntet - ich selbst bin da weitesgehend am Ende meiner Überlegungen.
Wie immer ein Danke für eure Mühen
der_benni
nebenbei noch: Was ist eigentlich daraus geworden, das obligatorische "ich habe diese Frage in keinem anderen Internetforum und auf keiner anderen Internetseite gestellt" einfügen zu müssen? Steht jetzt nicht mehr über dem Eingabefeld. Wie auch immer: Die Frage steht nur hier.
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c)
Du kannst ja den Wendepunkt [mm]W_k \left( u_k | v_k \right)[/mm] in Abhängigkeit von [mm]k[/mm] bestimmen. Um den Wendepunkt in den Ursprung zu verlegen, mußt du
[mm]g_k(x) = f_k \left( x + u_k \right) - v_k[/mm]
bestimmen. Und wundere dich nicht über das verblüffende Ergebnis ...
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Hallo Leopold-Gast!
Danke Dir für die Antwort - komme nur dooferweise nur zur Hälfte damit klar.
Sicher kann ich die Wendestelle in Abhängigkeit von k bestimmen: [mm](k|-\bruch{1}{3}k^3+k)[/mm]
Nur den Schritt, wie du den Punkt in den Ursprung verlegst, kann ich so noch nicht nachvollziehen. Verstehe ich dich richtig, wenn ich annehme, dass du [mm]g_{k}(x)=f_{k}(x+k)+\bruch{1}{3}k^3-k[/mm] sagen willst? Setzt du so für alle [mm]x[/mm] in [mm]f(x)[/mm] die Klammer ein - und am Ende der Funktion noch den Teil hinter der Klammer?
[mm]g_k(x)=-\bruch{1}{3}(x+k)^3+k(x+k)^2+(1-k^2)(x+k);[/mm]
[mm]g_k(x)=-\bruch{1}{3}x^3k^3+kx+k^2+x+k-k^2x-k^3[/mm]
[mm]g_k(x)=-\bruch{1}{3}x^3k^3-k^3+k^2+k-k^2x+kx+x[/mm]??
> Und wundere dich nicht über das verblüffende
> Ergebnis ...
Würde mich aber gerne wundern - dann hätte ich's verstanden -.-
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Also du hast das nicht richtig gerechnet. Denke bei (...)² und (...)³ an die entsprechenden binomischen Formeln. Zudem hast du [mm]v_k[/mm] nicht subtrahiert.
Aber ich denke, es fehlt dir noch das Verständnis für die Operation.
Wenn man bei einer Funktion [mm]y=f(x)[/mm] die Variable [mm]x[/mm] durch [mm]x+a[/mm] substituiert, so verschiebt sich der Graph um [mm]-a[/mm] in [mm]x[/mm]-Richtung ([mm]y=f(x+a)[/mm]). Und entsprechend verschiebt sich der Graph in [mm]y[/mm]-Richtung um [mm]-b[/mm], wenn man [mm]y[/mm] durch [mm]y+b[/mm] substituiert ([mm]y-b=f(x)[/mm]). Weiter unten in der Antwort von Mathe_Alex wird das für quadratische Funktionen durchgeführt. Aber das ist ein für alle Funktionen gültiger Prozeß.
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N'abend Leopold-Gast!
> Also du hast das nicht richtig gerechnet. Denke bei (...)² und (...)³ an die entsprechenden binomischen Formeln. Zudem hast du nicht subtrahiert.
Stimmt - ist mir einfach durchgegangen. Ich habe das dann jetzt einfach noch mal gemacht...
Demnach wäre [mm]g_k(x)=-\bruch{1}{3}(x+k)^3+k(x+k)^2+(1-k^2)(x+k)-(-\bruch{1}{3}k^3+k)[/mm]?
Also dann: gehen wir das mal durch. Ich denke, die binomische Formel bekomme ich noch hin - bei [mm]()^3 [/mm] habe ich das lieber noch mal per Hand gerechnet. Sollte aber egal sein - das Ergebnis ist, was zählt, oder?
[mm]-\bruch{1}{3}(x^3+9x^2+27x+27)+kx^2+2k^2x+k^3+x+k-k^2x-k^3+\bruch{1}{3}k^3-k[/mm]
Das sollte man wohl der Lesbarkeit halber zusammenfassen - so ist es halt nur in der Reihenfolge der Funktion aufgeschrieben um es nachvollziehbar zu halten.
[mm]-\bruch{1}{3}x^3-3x^2-8x+\bruch{1}{3}k^3+k^2x+kx^2-9[/mm]
Hoffe, dass ihr dem zustimmen könnt?
> Aber ich denke, es fehlt dir noch das Verständnis für die Operation.
Ich glaube, dass du da Recht hast. Aber ich kann deiner Erklärung grundsätzlich folgen - und kann sie als schlüssig erkennen. Du setzt halt den X-Wert des in Frage kommenden Wertes ein und subtrahierst den Y-Wert.
> Wenn man bei einer Funktion die Variable durch substituiert, so verschiebt sich der Graph um in -Richtung (). Und entsprechend verschiebt sich der Graph in -Richtung um , wenn man durch substituiert (). Weiter unten in der Antwort von Mathe_Alex wird das für quadratische Funktionen durchgeführt. Aber das ist ein für alle Funktionen gültiger Prozeß.
Gut, hier stehen wir jetzt also - nur, was mache ich aus dieser neuen Funktion? Was macht sie so besonders?
Dank' euch für eure Mühen, Grüße
der_Benni
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[mm]g_k(x) = - \frac{1}{3} (x+k)^3 + \ldots = - \frac{1}{3} (x^3 + 3k x^2 + 3k^2 x + k^3) + \ldots[/mm]
Du hast anscheinend mit 3 statt [mm]k[/mm] gerechnet.
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Hallo und guten Morgen Leopold-Gast!
Klar, wie immer, dann kommen auch noch die Kleinigkeiten dazu.
Wieder geht ein großes Danke in deine Richtung - ich habe das jetzt noch mal durchgerechnet, und jetzt verstehe ich auch ansatzweise, warum ich mich über das Ergebnis nicht wundern sollte:
[mm]g_k(x)=-\bruch{1}{3}x^3+x[/mm]
Kennt man das nicht irgendwoher? Diese Kurve ist doch prinzipiell jene, die auch für [mm]k=1[/mm] herauskommt, oder?
Mir bleibt dann noch als Frage, welche geometrische Verwandtschaft zwischen allen Kurven [mm]g_k[/mm] besteht...
Danke dir, und auch dir, Mathe-Alex, für deine/eure Hilfe,
Grüße
der_benni
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Irgendwie hat mich das System beim Beantworten deiner Frage herausgeworfen. Jetzt versuche ich es so.
Wenn man ein Dreieck so verschieben kann, daß es mit einem anderen Dreieck vollständig und ohne Überlappung zur Deckung kommt, in welcher elementaren geometrischen Verwandtschaftsbeziehung zueinander stehen dann die beiden Dreiecke?
Und hier mit den Graphen ist es genauso. Du kannst jeden Graphen der Schar durch Verschiebung vollständig mit einem festen Graphen zur Deckung bringen, also sind alle Graphen untereinander ... - na, was wohl?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:26 So 18.09.2005 | | Autor: | der_benni |
Hi Leopold-Gast!
:klick: - und ein wirklich großes Danke.
"kongruent" - folglich deckungsgleich sollte das sein, wonach hier gefragt ist...
Danke für deine Geduld!
Grüße
der_benni
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Wie ich das verstehe sollst Du $ [mm] f_{k}(x)=-\bruch{1}{3}x^{3}+kx^2+(1-k^2)x [/mm] $ um k Einheiten parallel zur x-Achse und [mm] $k-\bruch{1}{3}k^{3}$ [/mm] Einheiten parallel zur y-AChse verschieben.
Das geht doch, wenn mich nicht alles täuscht, wie bei quadratischen Funktionen auch:
[mm] $f(x)=x^{2}$ [/mm] um a Einheiten parallel zur x-Achse und b Einheiten parallel zur y-Achse
[mm] $f(x)=(x-a)^{2}+b$ [/mm] Bei den Vorzeichen bin ich mir aber nicht sicher. + verschiebt bei Gleichungen dritten Gerades nach rechts und nach oben. Bei quadratischen Gleichungen schiebt - nach rechts.
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Hi Mathe-Alex!
Auch dir danke ich für die Antwort - aber das hilft mir nicht so direkt weiter - wie soll ich das erweitern - was für einen Effekt hat das?
Wahrscheinlich stehe ich einfach nur wieder vor der Lösung auf die ihr beiden mich schubsen wollt - und seh' sie einfach nicht.
Danke für deine/eure Mühen, aber ich bräuchte noch einen Hinweis...
Grüße
der_benni
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